运筹学知识点总结.docx
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运筹学知识点总结
运筹学
考试时间:
2009-1-410:
00-12:
00
考试地址:
金融1、2:
(二)201,会计1、2:
(二)106人资1、2:
(二)203,工商1、2:
(二)205林经1、2:
(二)306
答疑时间:
17周周二周四上午8:
00-11:
00
18周周一周三上午8:
00-11:
00
地址:
基础楼201
线性规划
怎样成立线性规划的数学模型;
线性规划的标准形有哪些要求?
怎样把一般的线性规划化为标准形式?
怎样用图解法求解两个变量的线性规划问题?
由图解法总结出线性规划问题的解有哪些性质?
怎样用纯真形方法求解线性规划问题?
怎样确立初始可行基或怎样求初始基本可行解?
(两阶段方法)
怎样写出一个线性规划问题的对偶问题?
假如已知原问题的最
优解怎样求解对偶问题的最优解?
(对偶的性质,互补松紧条件)对偶纯真形方法合适解决什么样的问题?
怎样求解?
关于已经求解的一个线性规划问题假如改变价值向量和右端向
量原最优解/基能否还是最优解/基?
假如不是,怎样进一步求解?
1、成立线性规划的数学模型:
特色:
(1)每个行动方案可用一组变量(x1,,xn)的值表示,这些变量一般取非负值;
(2)变量的变化要受某些限制,这些限制条件用一些线性等式或不等式表示;
(3)有一个需要优化的目标,它也是变量的线性函数。
2、线性规划的标准形有哪些限制?
怎样把一般的线性规划化为
标准形式?
目标求极小;拘束为等式;变量为非负。
minzCTX
AXb
X0
例:
把以下线性规划化为标准形式:
max
z2x13x2
x1
2x2
8
x1
x2
1
x1
2
x1
0,x2
0
解:
令x1
x3,x2
x4
x5,标准型为:
min
z,
2x3
3(x4
x5)
x3
2(x4x5)x6
8
x3
(x4
x5)x7
1
x3
+x8
2
xi
0,i
3,4,5,6,7,8
3、怎样用图解法求解两个变量的线性规划问题?
由图解法总结
出线性规划问题的解有哪些性质?
例:
参看ppt(独一最优解、无量多最优解、无界解、无解)
线性规划解的性质:
(基、基本解、基本可行解、凸集、极点)
定理1线性规划的可行域是凸集。
定理2X是线性规划基可行解的充足必需条件是X是可行域的极点。
定理3线性规划假如有可行解,则必定有基可行解;假如有最优解,
则必定有基可行解是最优解。
4、怎样用纯真形方法求解线性规划问题?
(纯真形表)
纯真形法的基本法例
法例1最优性判断法例(查验数所有小于等于零时最优)
法例2换入变量确立法例(谁最正谁进基)
法例3换出变量确立法例(最小比值原则)
法例4换基迭代运算法例
minz
2x1
5x2
x1
2x2
x3
8
5x1
2x2
x4
20
4x2
x5
12
x1,x2,x3,x4,x5
0
x1x2x3x4x5RHS
z250000
x3
1
2
1
0
0
8
x4
5
2
0
1
0
20
x5
0
[4]
0
0
1
12
z
2
0
0
0
-5/4
-15
x3
[1]
0
1
0
-1/2
2
x4
5
0
0
1
-1/2
14
x2
0
1
0
0
1/4
3
z
0
0
-2
0
-1/4
-19
x1
1
0
1
0
-1/2
2
x4
0
0
-5
1
2
4
x2
0
1
0
0
1/4
3
最优解X*=(2,3,0,4,0)T,z*=-2×2-5×3=-19。
5、怎样确立初始可行基或怎样求初始基本可行解?
(两阶段方
法)
例求以下LP问题的最优解
minz3x1x2x3
x1
2x2
x3
11
4x1
x2
2x3
3
2x1
x3
1
x1,x2,x3
0
用两阶段法来求解
它的第一阶段是先解协助问题:
min
g
x6x7
x1
2x2
x3
x4
11
4x1
x2
2x3
x5x6
3
2x1
x3
x7
1
x1,L
x7
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
g
0
0
0
0
0
-1
-1
0
x4
1
-2
1
1
0
0
0
11
x6
-4
1
2
0
-1
1
0
3
x7
-2
0
1
0
0
0
1
1
g
-6
1
3
0
-1
0
0
4
x4
1
-2
1
1
0
0
0
11
x6
-4
1
2
0
-1
1
0
3
x7
-2
0
[1]
0
0
0
1
1
g
0
1
0
0
-1
0
-3
1
x4
3
-2
0
1
0
0
-1
10
x6
0
[1]
0
0
-1
1
-2
1
x3
-2
0
1
0
0
0
1
1
g
0
0
0
0
0
-1
-1
0
x4
3
0
0
1
-2
2
-5
12
x2
0
1
0
0
-1
1
-2
1
x3
-2
0
1
0
0
0
1
1
第二阶段:
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
-3
1
1
0
0
0
x4
3
0
0
1
-2
12
x2
0
1
0
0
-1
1
x3
-2
0
1
0
0
1
z
-1
0
0
0
1
-2
x4
3
0
0
1
-2
12
x2
0
1
0
0
-1
1
x3
-2
0
1
0
0
1
原问题无界。
6、怎样写出原问题的对偶问题?
假如已知原问题的最优解,如
何求解对偶问题的最优解?
min
cT
x
max
bT
w
s.t.
aiT
x
bi
i
1,L
p
s.t.
wi
0
aTi
xj
x
0
bi
i
j
p1,L
1,L,q
m
wi
ATj
w
0
cj
xj
0j
q1,L
n
ATj
w
cj
例写出下边线性规划问题的对偶问题
minz2x1
3x2
5x3
x4
x1
x2
3x3
x4
5
2x1
2x3
4x4
4
x2
x3
x4
6
x1,x2,x3
0,x4
0
解:
原问题的对偶问题为:
maxy5w1
4w2
6w3
w1
2w2
2
w1
w3
3
3w1
2w2
w3
5
w1
4w2
w3
1
w1,w2
0,
w3
0
7、对偶纯真形方法合适解决什么样的问题?
怎样求解?
例:
min
z15x1
24x2
5x3
6x2
x3
x4
2
5x1
2x2
x3
x51
x1,x2,x3,x4,x5
0
对偶纯真形法的基本法例
法例1最优性判断法例(查验数所有小于等于零时最优)
法例2换出变量确立法例(谁最负谁出基)
法例3换入变量确立法例(最小比值原则)
法例4换基迭代运算法例
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
-15
-24
-5
0
0
0
x4
0
[-6]
-1
1
0
-2
x5
-5
-2
-1
0
1
-1
z
-15
0
-1
-4
0
8
x2
0
1
1/6
-1/6
0
1/3
x5
-5
0
[-2/3]
-1/3
1
-1/3
z
-15/2
0
0
-7/2
-3/2
17/2
x2
-5/4
1
0
-1/4
1/4
1/4
x3
15/2
0
1
1/2
-3/2
1/2
写出对偶问题并求解?
(利用互补松紧条件)
8、关于已经求解的一个线性规划问题假如改变价值向量和右端
向量原最优解/基能否还是最优解/基?
假如不是,怎样进一步求
解?
例:
线性规划
maxz5x14x2
x13x290
2x1x280
x1x245
x1,x20
已知最优表:
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
0
0
0
-1
-3
-215
x3
0
0
1
2
-5
25
x1
1
0
0
1
-1
35
x2
0
1
0
-1
2
10
(1)确立x2的系数c2的变化范围,使原最优解保持最优;
(2)若c2=6,求新的最优计划。
解
(1)将上表中的第0行从头计算查验数,获得:
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
5
c2
0
0
0
0
x3
0
0
1
2
-5
25
x1
1
0
0
1
-1
35
x2
0
1
0
-1
2
10
z
0
0
0
c2-5
5-2c2
2
-175-10c
x3
0
0
1
2
-5
25
x1
1
0
0
1
-1
35
x2
0
1
0
-1
2
10
令c2-5≤0,5-2c2≤0,解得5/2≤c2≤5,即当c2在区间[5/2,
5]中变化时,最优解X*=(35,10,25,0,0)T保持不变。
(2)当c2=6时,c2-5=1>0,原最优解失掉最优性,在表中改正第0行后,用纯真形法简单求得新的最优表以下:
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
0
0
0
1
-7
-235
x3
0
0
1
[2]
-5
25
x1
1
0
0
1
-1
35
x2
0
1
0
-1
2
10
z
0
0
-1/2
0
-9/2
-495/2
x4
0
0
1/2
1
-5/2
25/2
x1
1
0
-1/2
0
3/2
45/2
x2
0
1
1/2
0
-1/2
45/2
故新的最优解为x
*
=45/2
,x
*
=45/2
,x
*
=25/2
*
*
=0,最优
,x
=x
1
2
4
3
5
值z*=495/2,
例关于上例中的线性规划作以下剖析:
(1)b3在什么范围内变化,原最优基不变?
(2)若b3=55,求出新的最优解。
解原最优基为B=(P3,P1,P2),由表2-6可得:
B-1=
1
2
-5
0
1
1
0
-1
2
()由B-1
90
1
2
-5
90
250-5b3
80
=
0
1
180=
80b3
≥
0
1
b3
0
-1
2
b3
802b3
解得40≤b3≤50,即当b3∈[40,50]时,最优基B不变,最优解为:
x3*
250-5b3
x1*
=80
*
*
*
=5×(80-b3)+4×(-80+2b3)
b3,x4
=x5
=0,z
x2*
80
2b3
=80+3b3
(2)当b3=55时,
250-5b3
25
,以它取代表的b列,用对偶纯真形法持续求解。
80
b3
=25
80
2b3
30
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
0
0
0
-1
-3
-245
x3
0
0
1
2
[-5]
-25
x1
1
0
0
1
-1
25
x2
0
1
0
-1
2
30
z
0
0
-3/5
-11/5
0
-230
x5
0
0
-1/5
-2/5
1
5
x1
1
0
-1/5
3/5
0
30
x2
0
1
2/5
-1/5
0
20
故新的最优解为x1
*
=30,x2
*
*
*
*
*
=230。
=20,x5
=5,x3
=x4
=0,最优值z
整数线性规划0-1规划
怎样成立整数线性规划的数学模型?
怎样用图解法求解两个变量的整数线性规划问题?
割平面方法的基本思想?
怎样用割平面方法求解整数线性规划问题?
分支定界方法的基本思想?
怎样用分支定界方法求解整数线性规划问题?
怎样成立0-1规划问题的数学模型?
怎样用隐列举法求解0-1规划和匈牙利法求解指派问题?
1、怎样成立整数线性规划的数学模型?
2、怎样用图解法求解两个变量的整数线性规划问题?
3、割平面方法的基本思想?
怎样用割平面方法求解整数线性
规划问题?
例考虑纯整数规划问题
maxzx1x2
2x1x26
4x15x220
x10,x20且为整数
解先不考虑整数条件,求得其废弛问题的最优纯真形表为:
x1
x2
x3
x4
RHS
z
0
0
-1/6
-1/6
-13/3
x1
1
0
5/6
-1/6
5/3
x2
0
1
-2/3
1/3
8/3
由第二行能够生成割平面:
1
x3+
1
x4>=
2
3
3
3
1
x3
1
x4
2
引入废弛变量s1后得:
-
-
+s1=-
3
3
3
将此拘束条件加到表中持续求解以下:
x1
x2
x3
x4
s1
RHS
z
0
0
-1/6
-1/6
0
-13/3
x1
1
0
5/6
-1/6
0
5/3
x2
0
1
-2/3
1/3
0
8/3
s1
0
0
[-1/3]
-1/3
1
-2/3
z
0
0
0
0
-1/2
-4
x1
1
0
0
-1
5/2
0
x2
0
1
0
1
-2
4
x3
0
0
1
1
-3
2
*
*
*
=4。
因此原问题的最优解为:
x1
=0,x2=4,最优值z
4、分支定界方法的基本思想?
怎样用分支定界方法求解整数
线性规划问题?
例求解下边整数规划
maxz
3x1
2x2
2x1
x2
9
2x1
3x2
14
x1
0,
x2
0且为整数值
(P0)
x1=
2
x=
z(0)
=
X2<=2
X2>=3
(P1)
(P2)
x1=
x1=
x2=2
x2=3
z
(1)=
z
(2)=
X1<=3
X1>=4
(P3)
(P4)
x=3
x
1
=4
1
x2=2
x2=1
z(3)=13
z(4)=14
×
*
5、怎样成立0-1规划问题的数学模型?
6、怎样用隐列举法求解0-1规划和匈牙利法求解指派问题?
例maxz5x14x23x3
x1
3x2
2x3
5
①
2x1
7x2
3x3
5
②
2x2
x3
2
③
5x1
3x2
2x3
7
④
xj
0或1j=1,2,3
5x1
4x23x34
◎
满
足
条
件?
知足所有
z值
(x,x,x
)
◎
①
②
③
④
条件?
1
2
3
(0,0,0)
×
×
(0,0,1)
×
×
(0,1,0)
√
4
(0,1,1)
√
√
√
×
(1,0,0)
√
√
×
×
(1,0,1)
√
√
√
√
√
√
8
(1,1,0)
√
√
√
√
√
√
9
(1,1,1)
√
×
×
动向规划
认识基本观点(如多阶段决议问题、阶段、策略);
认识最优性原理;
怎样用动向规划方法求解最短路问题?
(图上作业、公式求解)
怎样用动向规划方法求解旅游售货员问题?
怎样求解多阶段的资源分派问题?
网络剖析
认识图的基本观点(如无向图、有向图、点、边、关系、毗邻、次、关系矩阵、毗邻矩阵、握手定理);
树,支撑树,怎样找最小树?
(破圈法、避圈法、反圈法;)
最短路问题?
(图上标号法、列表法)
最大流问题?
(找增广路)
1、树,支撑树,怎样找最小树?
(破圈法、避圈法、反圈法;)
例设树有7条边,则它有(8)个结点;
例一个由3个分支组成的丛林,假如有15个结点,则该丛林起码有(12)条边。
例一棵树T有5个度为2的结点,3个度为3的结点,4个度为4的结点,2个度为5的结点,其他均是度为1的结点,问T有几个度为1的结点?
解设T有x个度为1的结点,则有
5?
2+3?
3+4?
4+2?
5+x=2m
m=n–1
5+3+4+2+x=n
解以上三个方程得x=19
例:
公园路径系统见以下图,S为进口,T为出口,A、B、C、D、E
为5个景点。
现安装电话线连结各景点,则最小线路安装是什么?
假如某旅客刚进入进口就急需从出口走开,那么该旅客应当怎样走最快?
2、最短路问题?
(图上标号法、列表法)
3、最大流问题?
(找增广路)
从甲地到乙地的公路网纵横交织,每日每条路上的通车量有上限.从
甲地到乙地的每日最多能通车多少辆?
B
6
D
6
5
4
(甲)A
4
F(乙)
7
5
1
C
3
E
排队论
认识排队论模型的基本观点和模型。
决议剖析
认识决议剖析的基本观点;(状态集、决议集、酬劳函数:
基本
因素;评论准则)
会成立决议剖析问题的数学模型;(决议表、决议树)
怎样求解不确立型决议剖析问题;(乐观法;消极法;乐观系数
法;懊悔值法;等可能法)
怎样求解风险型决议剖析问题;(最大可能法;希望值法)
功效函数的观点;会用功效函数来进行决议(希望功效值);会
计算信息的价值、完整信息的价值。
对策论
例A、B两人分别有1角、5分和1分的硬币各一枚。
在两方互不知道的状况下,各出一枚硬币,并规定当和为奇数时,A博得B所出硬币;当和为偶数时,B博得A所出硬币。
据此写出对策模型,并说明该游戏对两方能否公正合理。
解局中人:
A、B或记为1、2;
策略集:
S1={10,5,1};S2={10
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