㈡检查预习、交流展示
1.函数的定义域是 ,值域 .
2.函数.
当a>1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1;
当0<a<1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.
3.函数是 函数(就奇偶性填).
㈢合作探究、精讲精练
探究点一:
平移指数函数的图像
例1:
画出函数的图像,并根据图像指出它的单调区间.
解析:
由函数的解析式可得:
=
其图像分成两部分,一部分是将
(x<-1)的图像作出,而它的图像可以看作
的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将的图像作出,而它的图像可以看作将的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的.
解:
图像由老师们自己画出
单调递减区间[-,-1],单调递增区间[-1,+].
点评:
此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。
变式训练一:
已知函数
(1)作出其图像;
(2)由图像指出其单调区间;
解:
(1)
的图像如下图:
(2)函数的增区间是(-∞,-2],减区间是[-2,+∞).
探究点二:
复合函数的性质
例2:
已知函数
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
解析:
求定义域注意分母的范围,判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。
解:
(1)要使函数有意义,须-1,即x1,所以, 定义域为(-,0)(0,+).
(2)
则f(-x)=
=
所以,f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
点评:
此问题难度不是太大,但是很多同学不敢尝试去化简,只要按照常规的方式去推理,此函数的奇偶性很容易判断出来。
变式训练二:
已知函数,试判断函数的奇偶性;
简析:
∵定义域为,且
是奇函数;
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】
一、指数函数性质
1.图像
2.性质
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.1.2指数函数的性质的应用
课前预习学案
1.预习目标
能熟练说出指数函数的定义及其性质.
2.预习内容
1.函数的定义域是 ,值域 .
2.函数.
当a>1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1;
当0<a<1时,若x>0时,y 1,
若x<0时,y 1;若x=1时,y 1.
3.函数是 函数(就奇偶性填).
3.提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标:
(1)能熟练说出指数函数的性质。
(2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。
(3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。
教学重点:
指数函数的性质的应用。
教学难点:
指数函数的性质的应用。
二、教学过程
探究点一:
平移指数函数的图像
例1:
画出函数的图像,并根据图像指出它
的单调区间.
解:
变式训练一:
已知函数
(1)作出其图像;
(2)由图像指出其单调区间;
解:
探究点二:
复合函数的性质
例2:
已知函数
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
解:
变式训练二:
已知函数,试判断函数的奇偶性;
3.反思总结
四.当堂检测
1.函数y=a|x|(0<a<1)的图像是( )
2.函数,,若恒有,那么底数a的取值范围是( )
A.a>1 B.0<a<1 C.0<a<1或a>1 D.无法确定
3.函数y=2-x的图像可以看成是由函数y=2-x+1+3的图像平移后得到的,平移过程是[]
A.向左平移1个单位,向上平移3个单位
B.向左平移1个单位,向下平移3个单位
C.向右平移1个单位,向上平移3个单位
D.向右平移1个单位,向下平移3个单位
4.函数y=ax+2-3(a>0且a≠1)必过定点________.
参考答案:
1.C 2.B 3.A 4.(-2,-2)
课后练习与提高
1.函数是()
A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
2.函数的单调递减区间是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞)D.(-∞,0)和(0,+∞)
3.函数的图象如图,其中a、b为常数,则下列
结论正确的是()
A.B.
C.D.
4.已知函数y=f(x)满足对任意,
有f(+)=f()f(),且x>0时,f(x)<1,那么函数f(x) 在定义域上的单调性为 .
5.函数y=4x与函数y=4-x的图像关于________对称.
6.已知函数,若为奇函数,求a的值。
2019-2020年高中数学2.1.2.1函数的表示方法教学设计新人教B版必修1
教学分析
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:
列表法,图象法,解析法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.
三维目标
1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.
2.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.
重点难点
教学重点:
函数的三种表示方法.
教学难点:
分段函数的表示及其图象的初步认识.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!
”用繁体中文为:
生日快樂!
英文为:
HappyBirthday!
法文是BonAnniversaire!
德文是AllesGuteZumGeburtstag!
西班牙文中称iFelizCumpleaRos!
印度尼西亚文是SelamatUlangTahun!
荷兰文的生日快乐为VanHarteGefeliciteerdmetjeverjaardag!
在俄语中则是Сднемрождения!
……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?
引出课题:
函数的表示法.
思路2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢?
这节课我们就来研究这个问题(板书课题).
推进新课
讨论结果:
(1)列表法:
列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.
(2)图象法:
以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.
(3)解析法:
用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫作解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.
思路1
例1作函数y=
的图象.
分析:
已知函数的定义域是[0,+∞),在直角坐标系中,由函数y=
所确定的有序实数对有无限多个.可以想象,当自变量x在区间[0,+∞)上从0开始连续无限增大时,相应的点(x,y)会形成一条连续不断的曲线.我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象,只能画出它在有限区间上的图象.也不可能作出函数图象上的无限多个点,但可以画出有限个坐标为(x,y)的点.现在的问题是,如何选取x值,通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象.
解:
在这个函数的定义域内,从0开始适当地取若干个x的值:
0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,….
算出对应的函数值,列出函数的对应值表(精确到0.1):
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
…
y
0
0.7
1
1.2
1.4
1.6
1.7
1.9
2
2.1
2.2
…
以这11个有序数对(x,y)为坐标,在直角坐标系中画出所对应的11个点,由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y=
的图象,如下图所示.
点评:
“数形结合”是我们研究函数的重要方法,画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能.在学习中要养成画图的习惯,并会利用函数的图象来理解函数的性质.
例2某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
活动:
学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.
解:
这个函数的定义域是{1,2,3,4,5},
用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y=f(x)表示为如下图所示.
思路2
例1设x是任意的一个实数,y是不超过x的最大整数,试问x和y之间是否是函数关系?
如果是,画出这个函数的图象.
解:
对每一个实数x,都能够写成等式:
x=y+α,其中y是整数,α是一个小于1的非负数.例如,
6.48=6+0.48,6=6+0,π=3+0.141592…,
-1.35=-2+0.65,-12.52=-13+0.48,….
由此可以看到,对于任一个实数x,都有唯一确定的y值与它对应,所以说x和y之间是函数关系.
这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y=[x].
这个函数的定义域是实数集R,值域是整数集Z.
例如,当x=6时,y=[6]=6;当x=π时,y=[π]=3;
当x=-1.35时,y=[-1.35]=-2.这个函数的图象,如下图所示.
点评:
本题中的函数通常称为取整函数,记为y=[x],x∈R.
例2已知函数y=f(n),满足f(0)=1,且f(n)=nf(n-1),n∈N+.求f
(1),f
(2),f(3),f(4),f(5).
分析:
这个函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值.
解:
因为f(0)=1,所以
f
(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1,
f
(2)=2·f(2-1)=2·f
(1)=2×1=2,
f(3)=3·f(3-1)=3·f
(2)=3×2=6,
f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24,
f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120.
点评:
例题中的函数定义所用到的运算,通常叫做递归运算.这种定义函数的方法在计算机语言中经常使用.
变式训练
已知函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+2,x∈R,且f(0)=0,求f
(1),f
(2),f(3),f(4),f(5).
解:
∵f(0)=0,
∴f
(1)=f(1+0)=f(0)+2=2,
f
(2)=f(1+1)=f
(1)+2=4,
f(3)=f(2+1)=f
(2)+2=6,
f(4)=f(3+1)=f(3)+2=8,
f(5)=f(4+1)=f(4)+2=10.
1.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则( )
A.y=10-x(0<x≤10)
B.y=10-x(0<x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(5<x<10)
解析:
根据等腰三角形的周长列出函数解析式.
∵2x+y=20,∴y=20-2x.
则20-2x>0.∴x<10.
由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20-2x,得x>5,
∴函数的定义域为{x|5<x<10}.
∴y=20-2x(5<x<10).
答案:
D
2.定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则y=f(x+1)的值域为( )
A.[a,b]B.[a+1,b+1]
C.[a-1,b-1]D.无法确定
解析:
将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数y=f(x+1)的图象,由于定义域均是R,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以y=f(x+1)的值域也是[a,b].
答案:
A
3.函数f(x)=
(x∈R)的值域是( )
A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
解析:
(观察法)定义域是R,由于x2≥0,则1+x2≥1,从而0<
≤1.
答案:
B
4.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={2,4,6,8}.集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量,B中的元素为因变量,能形成函数吗?
解:
不能.因为A中的元素5的2倍为10,并没有在集合B中.
5.在矩形中,若面积值作为自变量,其中一边长为因变量,能形成函数吗?
解:
不能.因为面积一定时,其中一边的长不确定.
6.某人骑车的速度是20千米/时.他骑1.5小时,走的路程是多少?
你能写出时间与路程的函数吗?
解:
1.5小时走的路程是20×1.5=30(千米).设时间为t,路程为s,则s=20t(t≥0).
7.由下列式子是否能确定y是x的函数?
(1)x2+y2=2;
(2)
+
=1;
(3)y=
+
.
解:
(1)由x2+y2=2,得y=±
,因此由它不能确定y是x的函数.
(2)由
+
=1,得y=(1-
)2+1,
所以当x在{x|x≥1}中任取一值时,
由它可以确定一个唯一的y与之对应,
故由它可以确定y是x的函数.
(3)由
得x∈,故x无值可取,y不是x的函数.
问题:
画函数图象时,除去描点法外,还有其他方法吗?
解答:
还有变换法作图.变换法画函数的图象有三类:
1.平移变换:
(1)将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y=f(x+a)的图象;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;
(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;
(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.
简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.
2.对称变换:
(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;
(2)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0即x轴对称;
(3)函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.
3.翻折变换:
(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.
(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分图象即可得到.
函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质.当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.
本节课学习了:
函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数.
课本本节练习B 2、3.
本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用.
[备选例题]
例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.
(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;
(2)若估计前来停放的3500辆次中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
活动:
让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.
解:
(1)由题意得
y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N+且0≤x≤3500.
(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,
则3500×(1-40%)≤x≤3500×(1-25%),即2100≤x≤2625,
画出函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的图象,可得
函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330],
即收入在1225元至1330元之间.
点评:
本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案.
例2水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口).
给出以下三个论断:
①0点到3点只进水不出水;
②3点到4点不进水只出水;
③4点到6点不进水不出水;
其中一定正确的论断是( )
A.①B.①②C.①③D.①②③
解析:
由上图甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v进水=
v出水.
由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.
由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.
由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.
综上所述,论断仅有①正确.
答案:
A