1989年数二真题及详解.docx
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1989年数二真题及详解
1989年理工数学二试题
(1)Umxcot2x=jr*®
(2)j*:
&infd£».
(3)曲线夕=r(e-l)(t-2)dt在点(0,0〉处的切线方程是
Je
(4)设/(才)=«(交+1)("+2)・"(工+«)•则十(0)=⑸设/(工)是连续函数,且FQ)=x+2£/(f)dt,W/(x)=
“+分1<0
(6)设在鼻*0处连续,则常数a与6应«足的关«是
Z>0
X
(7)设tany=x+y,则dy=
二JfX・(毎小■4分分20分)
(1)巳知y=aicsine"'^j求”•
(3)求nm(2sinj:
+cosx)i,£-*0
>-ln(l+F〉T"j2..
(4)已知<,求豎及山
b=arctanr
,求Jjc^/*(2x)dx.
1rz
(5)已知/X2)=y/
(2)=0及/(x)dx=1
zJo
三.选择AH毎小・3分•詢分18分)
(1)当X>0时♦曲筑y=xsin—
(A)有且仅有水平渐近线
(B)有且仅有铅直渐近钱
(C)既有水平渐赶銭.也有《宜渐近鏡(D)R无水平渐近疑,也无铅直渐近銭
⑵若3疋-56<0•则方程/+2ax'+3H+4e=0
(A)无实根
(B)有唯一实根
⑶曲线y-c«8x(-^f)与"轴所围成的图形,貌工轴旋转一周所成的
旋转体的体积为
⑷设两函数/(x)5tg(x)«S在』二a处取得极大值■则函数F(x)=/(x)g(x)
(5)微分方程/-y=+1的一个特解应具有形式(弍中a丄为#»〉
(AM+b
(B)axe^+b
(D)axr^+bx
(6)设A工)在工=a的菓个邻域内有定义,则/(£在e=a处可导的一个充分条件是
(A)litn办"(a4>〉-于(a)]存在
*-*♦*n
⑻limfa+2h)-fWf存在In
(C)limd也护今~h)存衣
⑴)limf⑷二&二仍存在
4*0n
四二本^»分6分)
求傲分方程xy*+仃-X)>=产(0 五J本fill分7分) K工八耐: -恥-"加,其中"连如敦,廉3六J本题«分7分) 证明方程怙文=f-f;在区间(0,+co)内有且仪有两个不同实根. 七■(本大BM分H分) 对a数y=兀gl填写下表・ X 单调«少区间 单词增加区间 极值点 极值 凹(U〉区闾 凸(门)区间 拐点 渐近銭 答案解析 应填湮■. 1 由于linixcot2xNlimcos2x•/=-r a—OlOSinZx£ 注释本题主要考*基本极限lim沁=1. ■tTX ⑵应填益 +1coszdr=穴0Jo 解Jrsinrd/=—J^dcosf=—扯os/ 注»本题主要考妄分部积分法. (3】应填y=2工・ 解y=(鼻一1〉(工一2)»》'(0)=2则所求切线方程为,一0=2(工一0〉,即,=2工 注释本《主要考查变上限衣分求导和曲线的切线. (4)应填神! ・ (81V/(x)=(j+l)(j+2)-(x+«)+x(r+2)(工+3)-4+巧+***+x{jr+l)(jr+2)***Cz+n-l) •: /(0)=/i! A解2由T/(x)J6多项式函数,则f(0)应等于其一次项系数,则f(0)H刑 A烬3由导数定文 伽=1屛上型=加凹吐如(+)胡 注S本求导的如本运*,解2是求多项式函ft导it时一种常用的方法. 7Of +l寺 kc wa)JX+十 Of*of0 H7P3JZ+HPHH召(H)、■Jc- II;3、 F—ho I 7Of D==DZ+十aGH7PQZ+")J .srss«« 育亳邑县丄亍(ij氓 .X: L 豊鹉£2(三嚴工壬+苣一乂H)寻匍青(ij生» II; 解等式tanyK工+y两边求微分得sec^ydy=dx+d^r 注释本题主要考查隱函数求导法. -3/7,丄、1 ——•e•(—=— F2772丘严/-0% I*Zg+awa-l Zttnx+eMT**1f 本《主要考查凑擞分法. 原式=】im】+C2siiir+cosj—1) (2siTir+cosx)*=[l+(2siru: +cosj: ^l>]7 limdsinx+cosjLl)•—=2 x-oJC 则原式=d w 尬隊祖iH煉)厂耙U下叙较舫ft濡娱欄了灯iU: 塔血(工)讪训(刃=«)』 1血心(工〉•^x)=A,«lim dyif1+产1d'y11 耐Ir士2t2八th? 2? 2t (4)TT? 注释本题主*考査參數方程求导法. (5》分析祓积函数申出现f(jr)的导数的积分、一般都¥用分部税分法. 1ft[云八纟乂巾工2工£产/7f)& =严d#3=寻护f(“ 1p2 厂tEhe _Q"〉»+t]^ "-T仙⑺= =iT+V=0 注廉本题主要考査定积分的变*代换和分部积分决. /(rtd/ H)应选(A人 解由于 [sin— r■■■丄4■- hmxsin—*=lim——-——工1 X 又hmx5in^=0则原曲线有且仅有水平惭近线y=l r-*(l工 注释本题主要考查渐近线的求法. (2)应选(E)- «由于(+24^+3肚+4尸0为5舫亀贱方程至轉-个燃倚舫程谿有-咚勳 令/(! )=? +2fl? +36i+4c»/(x)=5? +6flj^-t36而4=(6*-60口2(3卜56)<0侧f(游0 因此源方程财-个实札放原痒有唯哎根. 揀林以林桂細问息这里胭斛经to踊以堵划 1)机代舫和分+山严+“十厂]卄©=06为林)幼肓一牛述; 2)黠(讪)內严C)M0川禅俭)=0鈍』)内耐"偉札 ⑶应选(C)・ 壬_COS^J^dx=TtJ*^(1-f-cos2x)d-x=号 应选(D)・ 本酗关鮭于由題师知在口的删如有他切⑺竝)为(工),由雌飜到g(小 他)勿(工)伦)或血)弘)«对(必这在-般戕下鞠不到此结论亂 若取他)"(j-Q)UgS)n-Gr-d湿时OfhCc)在m处W大HO個/h)g(jr)二Cr吐沪曲取fiH'(M(A)(C)都不正确諾取他)=l-(E)y⑺RTr)/他和g(加有机大『両他)曲二[1-(厂阳Sm踊狱(11制(哋不正為W只有(确・ (5〉应选(B)・ 解/->=e^+lWW解应为方程y-y=和/-y=1的特解之和,而特征方程为/-I=0,解得r〒士1 B此『一y=e*的待解应为y: =flxeS /->=1的符解应为y;=b 则原方程持解应具有形式 y=ax^十b 注释本题主要考查践性常系4Ug齐次微分方程的待定特解形式. 《6〉应选(D). »也+炉叫训(吩"加聡側畑朋制鼬和 魁讪导嫦卸B)QM不肌因为他堆沖如輙歙M)(c)申的齢辭£册 加峠如m性型他) 贩选(叽 抹林左对対MJtJC我和就联苦他)缸綱导川本对舸林M轴M衬f(必酿iU,財(D)申的即轴才解盯(质札 四、 分析本題所给方程是一个r阶a柱微分方程. 解原方程改写为标准形式 <+中十WVF 由一阶线性微分方稈通解公式得 y=討宁[J2°虹•』宁4牡+c]=丄[Ce*+尹] 代人初始条件: yd)=0,得C=一e 故所求解为 注釋本题主要考查一阶钱桂微分方程的求解方法. 五、 /(z)-sinx-Xf(t)i.t+tf(t)dt JoJo 上式两端对富求导得 Cj f(.t)it—xf(x)+工(戸文二cosjc-/(Odt 两端再对工求导得/(X)=一sinx一/(z) 即工)十/(jt)=—sinx 这是一个二阶线性非齐次方程,由原方程知/(0)=0,由(*)式知/(0)=t 特征方程为*+1=0,r=±i 齐次通解为y=Clsiitr+GcOsj; 设非齐次方程特解为『=工SiTLT+曲S刃,代人 fCJ)十/(X)=—sitir得 fl=0,6=y 则非齐次方程的通解为 1X y=Clsitlx+Gcosjr+-^cosx 由初始条件y(0)=0和y(0)=1可知 Cj=—1Ca=0 ㈱本舲如主妥料更上曲牛求显歸斛节統林烛分禪的梆・ 分析朝-个方餐制胰邂曲存在楼可由连腕教曲介離理込明.有且饥酬不同 实根可由单调性来确定, 证由于||^yi—cos2xdx= 原方程转化为 则FCx)f令P'\x)=0得X—e eX 当0<工 当£ 个輪 XfW=-272<0,F伍7)=#-Z历土4>[) F(』)=#-幼切-4<0 由駆肚连貓敷般点定理可亂FCr)在(汽e)和馆占内分别至少有-个雾点煤上所述,方 ycos^dx在内有且仅有两个不同的实根. 程ln_r=—•— eJo 注释本題主要考叠才程根的问题. 七、 Q1,1/12工+2期2j62U+3> 令y=0希工=-2;令/=0S1=亠3, ! 0函竝1,0)上斡沽在(-呵-2)和(0,+<^°)上单輛准尸-2戕小萨亍康册在 (—3,0)和(0,+8〉上是凹的F在(―™f—3>上是凸的,拐点为(一旅—). 又~0,Iim/(j: )=Utn^-^^—OO h-HX上-►8X工―"0工 则该曲线有水甲渐近线y=0和垂宜渐近线07=0.注释本題主*<*导敦逵用. 八、 由抛物线y=-hte+e过原点可知,e=0 S=J*(ai"+62》<Lc=晋+#=寺得右=令(1—QV,=寸: C心+亦任=VyriU爭十存) 221.4 135^~27^^27 =0得4=一寻*6=寻 所以,当血=一+,b=A,c=0时*体积V最小, 注释本题是一道燃舍题*主矣考i平面城的面积*蛙转体体积及幽敷的极值.
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