弦切角定理证明方法.docx

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弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

（1）连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

（2）连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有

∠acd+∠aco=90°

=（1/2）（∠aco+∠cao+∠aoc）

=（1/2）（2∠aco+∠aoc）

=∠aco+（1/2）∠aoc,

所以∠acd=（1/2）∠aoc，

而∠cba=（1/2）∠aoc（同弧上的圆周角等于圆心角的一半），

得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，

所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2

证明一：

设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠boc=2∠cab（圆心角等于圆周角的两倍）

∴∠tcb=∠cab（定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：

ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证：

（弦切角定理）

证明：

分三种情况：

（1）圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角

（2）圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么，连接ec、ed、ea

则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴（弦切角定理）

（3）圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴（弦切角定理）

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.

解：

连结oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a（rt△中30°角所对边等于斜边的一半）

例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

求证：

ef∥bc.

证明：

连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：

如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

求证：

ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

证明：

∵ab是⊙o直径

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：

bc平分∠ncd.

第二篇：

弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线

证明：

连接ao并延长交圆o于d，连接cd，

则角adc=角abc=角cae

而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae为切线

第三篇：

弦切角定理证明

弦切角定理证明

弦切角定理

编辑本段弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（弦切角就是切线与弦所夹的角）

如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理

弦切角定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：

证明一：

设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠boc=2∠cab（圆心角等于圆周角的两倍）

∴∠tcb=∠cab（定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：

ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证：

（弦切角定理）

证明：

分三种情况：

（1）圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角

（2）圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么，连接ec、ed、ea

则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴（弦切角定理）

（3）圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴（弦切角定理）

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.

解：

连结oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a（rt△中30°角所对边等于斜边的一半）

例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

求证：

ef∥bc.

证明：

连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：

如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

求证：

ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

证明：

∵ab是⊙o直径

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：

bc平分∠ncd.

第四篇：

弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：

定义弦切角定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.（弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

证明：

设圆心为o，连接oc，ob，oa。

过点a作tp的平行线交bc于d，

则∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠o（转载需注明来源

∴,∠boc=2∠tcb

证明：

分三种情况：

（1）圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

（2）圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

那么

.

（3）圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么

2

连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。

（弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：

证明一：

设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠tcb=∠cab（定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：

ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：

（弦切角定理）证明：

分三种情况：

（1）圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧

（2）圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴（弦切角定理）（3）圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴（弦切角定理）编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：

连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a（rt△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：

ef∥bc.证明：

连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：

如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：

ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：

∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：

bc平分∠ncd.

第五篇：

弦切角定理

高二数学（文）选修4-1编写：

杨社锋编号：

07-08

教研组长：

贾敏教研室主任：

田土娟校审：

王宏奇

弦切角定理

学习目标：

理解弦切角定理的推导过程，掌握切线长定理、弦切角定理的内容及其推论学习重点：

切线长定理及弦切角定理

学习难点：

切线长定理、弦切角定理及其推论的应用

一、基础知识回顾:

1切线的判定定理及性质：

2.切线长定理

切线长：

我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

以上结论叫做切线长定理：

___________________________________________________________________________________________________________

注意：

切线长与切线的区别：

______________________________________________________

______________________________________________________

________________________

（1）写出图中所有的垂直关系:

（2）写出图中所有的全等三角形:

（3）写出图中所有的相似三角形:

（4）写出图中所有的等腰三角形：

2弦切角定理及其推论

圆周角∠cab，让射线ac绕点a旋转，产生无数个圆周角，当ac绕点a旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠bae

问：

这时∠bae还是圆周角吗？

为

什么？

像∠bae这样的角叫做弦切角，请你仿照圆周角的定义，给出弦切角的定义：

________________________________________________________________________________________________问题：

以下各图中的角哪个是弦切角？

思考：

（1）弦切角的三要素是什么？

（2）弦切角相对于圆心的位置，分为哪几类？

请在右上方画出图。

问题:

已知如图，ab是⊙o的一条切线，a为切点，ac是⊙o的一条弦，则∠adc与∠bac有什么关系?

请给出证明。

（提示：

类比圆周角定理的证明方法）

结论：

弦切角定理：

________________________________________________________问题：

若两个弦切角所夹的弧相等，，那么这两个弦切角相等吗？

为什么？

结论：

弦切角定理的推论：

___________________________________________________三质疑互探

例5已知如图?

1?

?

2，ef切圆与点d。

求证：

ef//bc

例6已知：

如图pa，pb分别与圆o相切于点a和点b，ac是圆o的直径。

求证：

?

apb?

2?

bac

四、当堂检测

1.如图，pa、pb是⊙o的切线，切点分别是a、b，直线ef也是⊙o的切线，切点为q，交pa、

pb为e、f点，已知pa?

12cm，求△pef的周长.

2.如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交

于e，f.求证：

ef∥bc.

3.已知：

如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，a和b是切点，bc是直径．求证：

ac∥op．

课时作业

1.在△abc中，ab=5cmbc=7cmac=8cm,⊙o与bc、ac、ab分别相切于d、e、f，则af=_____,bd=_______、cf=________

2.已知pa、pb切⊙o于a、pa=4，则⊙o的半径为。

3.已知⊙o的半径为3，点p到圆心o的距离为23，则过点p的两条切线的夹角为度，切线长为。

4.bc是⊙o的弦，p是bc延长线上一点，pa与⊙o相切于点a，∠abc=25°，∠acb=80，则∠p的度数为_______．

★5.已知⊙o1和⊙o2外切于点b，pb是两圆公切线，pa、pb分别与⊙o1、⊙o2相切于a、c，如果ap=2x-3,pc=x+3，则x=。

6.已知：

△abc内接于⊙o，∠abc=25°，∠acb=75°，过a点作⊙o的切线交bc的延长线于p，则∠apb等于（）a．62.5°b．55°c．50°d．40°．7.已知：

如图7－149，pa，pb切⊙o于a，b两点，ac为直径，则图中与∠pab相等的角的个

数为（）a．1个；b．2个；c．4个；d．5个．8.已知如图7－150，四边形abcd为圆内接四边形，ab是直径，mn切⊙o于c点，∠bcm=38°，那么∠abc的度数是（）a．38°；b．52°；c．68°；d．42°．9.已知：

如图6，四边形abcd的边ab、bc、cd、da和⊙o分别相切于点l、m、n、p.

想一想：

ab+cd与ad+bc之间有什么关系？

说明你结论的正确性。

b，∠apb=60o，

da

ol

cmb

10.如图，ab是⊙o的弦，cd是经过⊙o上的点m的切线.求证：

⑴如果ab//cd，那么am=mb；⑵如果am=bm，那么ab//cd.

★11.如下图，△abc的∠bac的平分线交外接圆于d，交圆的切线be于e．求证：

（1）．∠ebd=∠dbc；

（2）．ab·be=ae·dc．