数学建模自习室管理.docx

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数学建模自习室管理

一．问题重述：

近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。

根据题目所给出的数据，有以下问题。

数据见表。

1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。

问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。

2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。

这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。

学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。

假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。

请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

另外尽量安排开放同区的教室。

3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。

这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。

假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。

搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。

问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

表格见附录1。

需要研究的问题：

1．统计出上自习的人数和所需要的座位数

2．把节约用电作为问题一的约束条件求解

3．根据宿舍区到自习区的距离（附录1表2）构造学生上自习满意程度的函数

4．在解决问题一的基础上，同时考虑节约用电和满意程度配置开放自习教室，进行多目标规划。

5．改变约束条件，重新计算上自习人数和所需要的座位数

6．考虑搭建若干个教室提供足够座位给期末时上自习人数，同时兼顾提高满意度和节约用电的要求

二．模型设计和求解：

（一）．模型假设：

1．每个同学上自习相互独立，且概率相同

2．每个同学随机选择自习教室，不受距离、楼层等因素的干扰

3．计算过程中，座位数和教室数满足整数的要求

4．满意度只与学生区到自习区的距离有关

5．情况1：

学生人数共8000人，学生区不对总人数进行平均分配即不考虑10个学生区人数的居住分配情况

情况2：

10个学生区，每个区域平均配置即居住有学生800名

6．问题3中在未搭建临时教室之前10个学生区中没有座位的人数相同

7．若某教室开放，则此教室所有灯管全部打开

8．不考虑搭建临时教室的成本问题

（二）．符号说明：

符号

含义

n

样本容量

上自习事件的概率分布

为0或1，分别表示第i号自习教室关闭或开放

k

上自习的可能人数

为第

号教室单盏灯管消耗功率（瓦/每只）

为第

号教室所含灯管数

为第

号教室消耗总功率

为第

号教室拥有座位数

r

所需座位数

，

满意度函数所用系数

从i学生区到j自习区的满意度

从i学生区到j自习区的人数

从i学生区到j自习区的距离

第

号自习区提供的座位数

可在第

号自习区的上自习人数上限

目标函数的加权系数

Ai

设宿舍区依次为A1,A2,…,A10

Bi

自习区为B1,B2,…,B9

与第

号教室规格相同的搭建教室

的选择变量

q

所有教室总座位数

所有教室总的最小功率

总的最大满意度

（三）．解题思路及过程：

问题1

基于题目情况，根据题目所给的表格，运用概率统计的相关知识，分析和计算学生上自习的人数以及所需要的座位数目。

然后根据节约用电的原则，把耗电最小作为教室选择的约束条件，得到结果。

具体步骤如下：

（1）．计算所需座位数

此问题符合概率统计中的二项分布。

由于样本值较大，则可以用正态分布对二项分布进行近似计算。

应用“棣莫弗一拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理”进行样本计算。

将满足程度不低于95％理解为上自习得同学有95％都有自习座位坐。

即每个上自习人能够正常上自习的概率为0.95。

由此可以计算出上自习所需座位数。

再由开放教室的满座率求得座位数的上限和下限。

计算过程：

样本容量n=8000,所需座位数为r

有

（i=1,2,…8000）

表示上自习的人数，

。

要使得

由棣莫弗一拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）中心极限定理，有

查正态分布表得，

解得

由满座率介于80％至90％之间，求得座位上限

座位下限

由所有教室总座位数

，所以座位上限是虚约束。

（2）．优化选择教室

方法一：

由于教室的选择只有两种方式：

选择与不选择。

顾此部分采用0，1整数规划方法。

为抉择变量，有

设目标函数：

，即开放教室用电总功率的最小值。

构造约束条件：

由Lingo软件实现（见附录2）。

得到结果：

开放2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，14，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43号自习教室；

关闭1，11，15，16，33，44，45号自习教室。

由题目所提供表1确定：

共提供座位6301个，消耗总功率为80577瓦。

方法二：

方法二采用穷举法。

顾名思义，穷举法就是把所有的可能情况一一列出来，进行验算。

穷举法用时间上的牺牲换来了解的全面性保证，尤其是随着计算机运算速度的飞速发展，穷举法的形象已经不再是最低等和原始的无奈之举。

此题，可以通过穷举法进行计算。

根据题意，要使自习教室提供的座位在6298到7085之间，则设变量

设单行矩阵Z=

单列矩阵C=

则耗电总功率

＝

让

按二进制递增到

，取

的最小值就是所求的最小耗电总功率。

现按照单位座位耗电功率进行排序，见下表：

次序

教室号

座位数

教室单位座位耗电功率

1

24

160

10.125

2

32

160

10.125

3

40

200

11.52

4

14

210

11.905

5

28

210

11.905

6

36

210

11.905

7

39

210

11.905

8

13

190

12.126

9

27

190

12.126

10

29

190

12.126

11

35

190

12.126

12

37

190

12.126

13

38

190

12.126

14

30

205

12.195

15

18

195

12.308

16

3

193

12.435

17

4

193

12.435

18

17

192

12.5

19

5

128

12.656

20

19

128

12.656

21

43

180

12.8

22

9

110

13.091

23

23

110

13.091

24

31

110

13.091

25

26

256

13.184

26

34

256

13.184

27

6

120

13.5

28

8

120

13.5

29

10

120

13.5

30

20

120

13.5

31

22

120

13.5

32

12

247

13.664

33

7

120

14.4

34

21

120

14.4

35

42

150

15.36

36

25

70

15.429

37

33

70

15.429

38

41

150

16.667

临界点：

6283

39

11

64

16.875

40

44

70

17.857

41

45

120

18

42

2

88

19.091

43

16

85

19.765

44

15

70

24

45

1

64

26.25

其中

为已知，Z矩阵具有

可能情况。

穷举次数过多，计算机运算时间过长，因此需要减少穷举次数。

观察此表，当排到如表所示的临界点时，已经包括座位数6283个，要达到6298个的座位下限，12号教室单位座位的消耗功率为13.664W，7号教室单位座位的消耗功率为14.4W，差别较大。

因此，只对上表所列的后13个教室进行穷举，即次序为33～45号的教室开放情况进行穷举（13个教室已经远大于临界点后的7个教室，完全可以实现对教室耗电总功率的最小配置，即这里的局部最优解就是全局最优解）。

此时，次序号1～32号的教室全部座位综合为5603个，消耗功率68557W。

即次序号1～32号教室的

全部为1。

则单行矩阵Z=

单列矩阵C=

则耗电总功率（68557+

）W，

取最小值。

由Matlab软件编程得：

tic

min=100000;

fori=0:

2^13-1

xi=dec2bin（i）;

xi=xi*1-48;

l=length（xi）;

xishu=zeros（1,13）;

forj=（13-l+1）:

13

if（j~=13）

xishu（j）=xi（13-j+1）;

end

end

fenliang=[120;120;150;70;70;150;64;70;120;88;85;70;64];

dan=[14.4;14.4;15.36;15.429;15.429;16.667;16.875;17.857;18;19.091;19.765;24;26.25];

sum=69557+xishu*（fenliang.*dan）;

zuo=5603+xishu*fenliang;

if（zuo>6297&&sum

min=sum;

z=xishu;

azuo=zuo;

end

end

toc

解得

，则此教室关闭。

解得需要关闭的教室号为33，11，44，45，16，15，1。

其余教室开放。

此时共提供座位6301个，消耗总功率为80577瓦。

与方法一同解。

问题1两种方法的比较：

方法一是在考虑选择问题时的规范解法，考虑抉择变量和约束条件即可，具有通用性和普遍性。

方法二在很多领域也都可以用到，但是此题的穷举次数是相当庞大的，因此需要选取好的局部最优解来实现全局最优解。

所以第二种方法的重点是放在如何选取好的局部最优解来减少穷举次数。

但穷举法具有的通俗性以及其通过计算机的易实现的特点是其优势。

问题2

方法一：

使用分层序列法实现双目标规划

由题目可知，问题2可以在问题1的基础上构建，再考虑分区问题和满意度问题。

在此，采用多目标规划方法中的分层序列法。

所谓分层序列法，就是把多目标规划问题中的p个目标按其重要程度排出一个次序，假设

最重要，

次之，

再次之，最后一个目标为

。

先求出以第一个目标

为目标函数。

这里把节约用电作为首要目标，即以问题1作为第一目标函数。

问题1解得的所开放教室为最节约用电时的选择。

由于该目标函数的最优解已在问题1中求得，在此只考虑满意程度的问题（第二目标函数），即分配区域让上自习学生获得最大满意度。

（1）由表2构造满意度矩阵

由题目可知，自习的满意程度只和从学生区到自习区的距离有关系，则可以利用距离关系构造满意度矩阵，为目标规划确定满意系数。

此处采用线性构造方法，能够直观体现满意程度和距离的关系。

由表2可以得到，学生区距离自习区最近的路程为305米，最远的路程为696米。

设距离305米时，满意度为1

距离696米时，满意度为0

构造线性方程组

解二元一次方程得

得满意度计算公式：

由此计算公式得到满意度矩阵

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A1

0.87212

1

0.097187

0.80818

0.70844

0.33504

0.72123

0.53197

0.94629

A2

0.002558

0.41688

0.58056

0.48593

0.67008

0.57033

0.78261

0.41944

0.23529

A3

0.47059

0.35806

0.79795

0.62404

0.21228

0.31714

0.5422

0.43223

0.19949

A4

0.95141

0.39642

0.96164

0.58824

0.70077

0.11765

0.99744

0.22762

0.02046

A5

0

0.2046

0.56522

0.50384

0.79284

0.3555

0.68542

0.030691

0.26854

A6

0.59079

0.25064

0.73913

0.56266

0.058824

0.31458

0.7954

0.15345

0.36829

A7

0.87468

0.80051

0.3913

0.36829

0.63427

0.42455

0.54987

0.96675

0.98465

A8

0.69309

1

0.61893

0.31458

0.91816

0.97698

0.38619

0.3913

0.99744

A9

0.99488

0.81841

0.41176

0.95396

0.63683

0.36573

0.27877

0.30435

0.92583

A10

0.54731

0.5601

0.65217

0.85678

0.32225

0.29668

0.26854

0.5243

0.44501

（2）采用分层序列法，在问题1结果基础上考虑满意度实现多目标规划

设目标函数

即所有上自习学生总的满意程度

条件1：

情况1：

不考虑10个学生区的人数平均分配情况，即可能出现一个学生区上自习的人数为0的情况。

情况2：

在问题1中，解得上自习人数为5668人，若分为十个学生区，则简化模型，设每个学生区上自习的人数为567人。

条件2：

由问题1结论可得具体的开放教室，按照题目要求分组，则每个自习区的座位数固定，见下表：

自习区

提供座位数

＝提供座位数×0.9

B1

602

542

B2

590

531

B3

647

582

B4

635

572

B5

580

522

B6

1051

946

B7

716

644

B8

1000

900

B9

480

432

总和

6301

5671

由此表得约束条件：

即从不同的10个学生区到j号自习区的人数不得高于j号自习区的人数上限

条件3：

由问题1的结论确定座位上限

座位下限

由Lingo软件编程得到如下结果：

情况1

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A1

A2

A3

A4

582

644

A5

A6

A7

900

A8

531

522

946

432

A9

542

572

A10

满意度：

97.38%

结论：

情况1为一极限情况：

开放教室与问题1结论相同，即开放全部9个自习区，以达到最大程度的节约用电的目的。

上表所示，在不考虑学生区分配居住人数的情况下，第4学生区的同学有582人到第三自习区上自习，有644人到第七自习区上自习；第7学生区的同学有900人去第八自习区上自习；第8学生区各有531，522，946，432人分别去第二，第五，第六，第九自习区上自习。

第9学生区各有542，572人分别去第一和第四自习区上自习。

这种情况下，学生的满意程度为最大，达到97.38％。

但是，这种情况与实际情况不相符。

所以设计了第二种情况：

情况2

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A1

531

36

A2

379

188

A3

423

144

A4

376

159

32

A5

522

45

A6

567

A7

567

A8

567

A9

166

5

396

A10

567

542

531

582

572

522

946

644

899

432

满意度：

85.04%

结论：

上表所示为假设每个学生区居住有800名学生，根据问题1可知，每个学生区有567名同学上自习。

得到以下结果。

第1学生区各有531人，36人分别去第二和第九自习区自习；

第2学生区各有379人，188人分别去第六和第八自习区自习；

第3学生区各有423人，144人分别去第三和第八自习区自习；

第4学生区各有376人，159人，32人分别去第一，第三和第七自习区自习；

第5学生区各有522人，45人分别去第五和第七自习区自习；

第6学生区有567人去第七自习区自习；

第7学生区有567人去第八自习区自习；

第8学生区有567人去第六自习区自习；

第9学生区各有166人，5人，396人分别去第一，第四和第九自习区自习；

第10学生区有567人去第六自习区自习；

此时，上自习学生的满意程度为85.04％，此种情况也是在一个理想情况下，首先考虑节约用电，然后考虑学生满意程度的优先顺序下实现的优化分配。

由于题目要求尽量把所关闭的教室放到同一个区内，但是在最节电情况下，开放的教室分散于9个自习区中，并且任何一个区关闭的总的座位数与所需的座位数之和都超出了自习室所能提供最大的座位数，因此不可能实现关闭一个区的情况。

方法二：

采用加权系数法

根据题目要求，满意度只与从学生区到自习区的距离有关。

构造关于最大满意度和最小消耗功率的目标函数，并从这两个函数中寻找约束关系，应用Lingo软件求解。

如果每个学去自习区的路程最短，则所有学生去自习区的总路程也是最短的，同时满意度函数达到最大值。

从而对总距离和总消耗的功率进行线性加权求和，通过对加权系数的调整改变功耗和路程在目标函数中所占的比重，考虑约束条件限制，可以求得不同权重下的最优解。

建立目标函数

其中

为

号教室的耗电功率，

为选择变量，

表示从

号学生区到

号自习区的距离，

表示从

号学生区到

号自习区的人数，

为加权系数，其和为1，若改变权重，则意为考虑优先程度的讨论。

若

则考虑节约用电的目标优先于满意度的要求。

越大，则节约用电的考虑程度所占比重越大，相应地，满意度的考虑程度越小：

反之

越大，则满意度的考虑程度所占比重越大，节约用电的考虑程度越小。

如方法一中表格所示，行为学生区，列为自习区，条件约束如下：

（1）行约束：

此种方法假设使用方法一中情况2的条件，由于总自习的人数为5668人，则设每个学生区有567名学生上自习，由此得到约束条件：

（2）列约束：

设

为

号自习区的座位数，

为

号教室的座位数，

为选择变量，此条件仍然满足问题1的结论，即开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。

由

号自习区座位数＝区内被选中教室座位数之和

构造约束条件：

通式：

即从各个学生区到第

号自习区的自习人数位于自习区座位数的80％到90％区间内。

使之符合满座率的要求。

（3）座位总数约束：

提供的所有教室座位总和必须大于问题1所求的座位下限，由此构造约束条件：

其中

为

号教室的座位数。

由Lingo软件编程实现如下结果：

问题2结论表

线性系数

关闭的的教室号

功耗（w）

路程

（m）

满意度：

97.91％

情况一

0.1

0.9

16

37

38

44

83649

2018763

宿舍到对应自习区的人数

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A1

531

36

A2

373

194

A3

567

A4

531

36

A5

522

45

A6

99

468

A7

558

9

A8

567

A9

68

4

495

A10

567

情况二

0.3

0.7

1

15

16

37

81683

2036487

满意度：

84.27％

45

宿舍到对应自习区的人数

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A1

531

36

A2

378

37

152

A3

567

A4

437

72

58

A5

522

45

A6

567

A7

567

A8

567

A9

104

4

459

A10

567

情况三

0.7

0.3

1

2

15

16

80717

2056993

满意度：

69.18％

41

44

宿舍到对应自习区的人数

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A1

531

36

A2

378

189

A3

435

132

A4

268