海南省学年高二下学期期末考试数学试题及答案.docx
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海南省学年高二下学期期末考试数学试题及答案
海南省2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.命题“
”的否定是( )
A.
B.
C.
D.
3.设
,则“
”是“复数
为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.
的展开式中
的系数是( )
A.
B.
C.
D.
5.函数
的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知某批零件的长度
(单位:
毫米)服从正态分布
,且
,从中随机取一个零件,其长度落在区间
内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.某机构为研究中老年人坚持锻炼与患糖尿病、高血压、冠心病、关节炎四种慢性疾病之间的关系,随机调查部分中老年人,统计数据如下表
至表
,则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是( )
表
表
患糖尿病
未患糖尿病
坚持锻炼
6
14
不坚持锻炼
7
25
患高血压
未患高血压
坚持锻炼
2
18
不坚持锻炼
11
21
表
表
患冠心病
未患冠心病
坚持锻炼
4
16
不坚持锻炼
9
23
患关节炎
未患关节炎
坚持锻炼
7
13
不坚持锻炼
6
26
A.糖尿病B.高血压C.冠心病D.患关节炎
8.如图,在平行四边形
中,
,
相交于点
,点
在线段
上,且
,若
(
,
),则
( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.某型号汽车的平均油耗
(单位:
/
)与使用年数
具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为
,则下列结论正确的是( )
A.
与
具有正的线性相关关系B.所有的样本点都在回归直线上
C.若该型号汽车多使用一年,则其平均油耗约增加
/
D.预计该型号汽车使用到第
年平均油耗会超过
/
10.若
,则下列不等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数
,则下列结论正确的是( )
A.
的最小正周期为
B.直线
是
图象的一条对称轴
C.
的值域为
D.
为奇函数
12.已知函数
,则下列结论正确的是( )
A.
的图象关于直线
对称
B.
在
上单调递增,在
上单调递减
C.曲线
与直线
至多有两个公共点
D.函数
的零点个数为
三、填空题
13.甲、乙、丙、丁
个人站成一排合影,若甲和乙不相邻,且丙和丁相邻,则不同的站法有_____种.
14.从某市随机抽取
名
~
岁的儿童,将他们的身高(单位:
)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在
,
,
三组内的儿童中,按人数比例用分层抽样的方法抽取
人参加一项活动,则从身高在
内的儿童中抽取的人数应为_____.
15.若奇函数
的定义域为
,
,且当
,
,则
_____.
四、双空题
16.已知
,函数
,当
时,函数
的单调递增区间为_________,若
仅有
个零点,则
的取值范围是________.
五、解答题
17.在
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,满足
.
(1)求
的大小;
(2)若
,
,求
边上的中线长度.
18.如图所示,在长方体
中,
,点
为侧棱
上一动点.
(1)证明:
;
(2)若
,求
与平面
所成角的大小.
19.已知数列
的前
项和
(
).
(1)求
的通项公式;
(2)从①
,②
,③
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
设数列
满足,
为
前
项和,是否存在
,使得
?
若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
20.某人计划到某城市出差,准备随机选择
月
日至
月
日中的一天到达该市,并停留
天.他查询了该城市
月
日至
日的天气预报(假设天气预报是准确的),如下表所示:
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
12日
13日
14日
15日
天气
多云
晴
多云
小雨
中雨
小雨
晴
多云
阴
多云
小雨
阴
大雨
小雨
晴
最高气温(°C)
29
32
33
33
28
29
31
34
35
34
32
30
27
29
35
(1)求此人到达当日最高气温低于
的概率;
(2)设此人停留期间下雨的天数为
,求
的分布列和数学期望.
21.已知函数
,
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若
恒成立,求
的取值范围.
22.已知椭圆
:
(
)的离心率为
,分别过左、右焦点
,
作两条平行直线
和
.
(1)求
和
之间距离的最大值;
(2)设
与
的一个交点为
,
与
的一个交点为
,且
,
位于
轴同侧,求四边形
面积的最大值.
参考答案:
1.C
【解析】
【分析】
求出
中
的范围确定出
,再求出两集合的交集即可.
【详解】
由
中
,得到
,
由
,
则
.
故选:
.
2.D
【解析】
【分析】
由特称命题否定知改为全称命题即可.
【详解】
命题“
”的否定是:
“
”.
故选:
D
3.C
【解析】
【分析】
根据复数的概念和充分必要条件的概念可得选项.
【详解】
当
时,
且
,所以复数
为纯虚数;
当复数
为纯虚数时,
且
,所以
,
所以“
”是“复数
为纯虚数”的充分必要条件,
故选:
C.
4.B
【解析】
【分析】
根据二项式定理求出答案即可.
【详解】
的展开式中
的系数是
故选:
B
5.A
【解析】
分析函数
的奇偶性以及函数
在区间
上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.
【详解】
根据题意,
,定义域为
,定义域关于原点对称.
有
,即函数
为偶函数,排除B、D;
当
时,
,
,有
,排除C.
故选:
A.
【点睛】
本题考查函数的图象分析,注意分析函数的奇偶性以及特殊值,属于基础题.
6.A
【解析】
【分析】
由题意知
,得到
,再由对称性计算
的值.
【详解】
由题意知
,所以
,
所以
,又
,
所以
,由正态密度曲线的对称性可得
故选:
.
7.B
【解析】
【分析】
根据独立性检验计算
,比较可得选项.
【详解】
解:
由表1得:
,
由表2得:
,
由表3得:
,
由表4得:
,
所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是高血压,
故选:
B.
8.C
【解析】
【分析】
以
为基底表示出
,求得
,
,从而确定正确答案.
【详解】
由
为平行四边形,
,
∴
,又
,
∴
,而
(
,
),
∴
,
,则
.
故选:
C.
9.AD
【解析】
【分析】
根据回归方程及意义,可知ABC的正误,将
代入回归直线,可得D正确.
【详解】
由回归方程为
,
,所以
与
具有正的线性相关关系,故A正确;
回归直线过样本点的中心
,
,样本点不一定在回归直线上,故B错误;
因为回归方程为
,
该型号汽车多使用一年,则其平均油耗约增加
/
,故C错误;
时,
,所以预计该型号汽车使用到第
年平均油耗会超过
/
,D正确.
故选:
AD.
10.BD
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性可判断AB选项的正误,利用函数
在
上的单调性可判断CD选项的正误.
【详解】
因为函数
在
上为增函数,且
,则
,A错,B对;
构造函数
,其中
,则
,
所以,函数
在
上为增函数,
因为
,则
,即
,则
,C错,D对.
故选:
BD.
11.BC
【解析】
【分析】
运用二倍角公式将
化为
,就可以对每一个选项进行判断.
【详解】
因为
,所以其周期为
,故选项A不正确;
当
时,
有最小值,故选项B正确;
由于
,所以
的值域为
,故选项C正确;
,不是奇函数,故选项D不正确.
故选:
BC
12.ACD
【解析】
【分析】
借助于
为偶函数及图像平移的性质,得到选项A正确;将
去绝对值化简,得到选项B错误;利用数形结合得到选项C和D正确.
【详解】
令
,则
,
所以
为偶函数,
所以
关于直线
对称,
又
的图像是由
的图像向右平移2个单位得到的,
所以
的图象关于直线
对称,选项A正确;
对于
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,选项B错误;
因为
,作出图像如图:
因为直线
恒过(2,0),曲线
也过(2,0),
所以曲线
与直线
如图,至多有两个公共点,所以选项C正确;
对于选项D,作出
与
的图像,
如图,
有3个交点,所以函数
的零点个数为
,正确;
故选:
ACD
13.4
【解析】
【分析】
根据题意,丙丁看成整体,并且在甲和乙之间,从而得到结果.
【详解】
∵甲和乙不相邻,且丙和丁相邻,
∴丙和丁必在甲和乙之间,
∴不同的站法有
,
故答案为:
4
14.
【解析】
【分析】
先由频率之和等于
求出
,再由分层抽样的性质计算身高在
内的儿童中抽取的人数.
【详解】
,解得
则从身高在
内的儿童中抽取的人数应为
故答案为:
15.
【解析】
【分析】
根据题意,由函数的奇偶性以及
分析可得函数
为周期为4的周期函数,据此计算可得答案.
【详解】
根据题意,
是定义域为
的奇函数,则
,
又由
满足
,
所以
,即
,
所以函数
为周期为4的周期函数;
则
,当
,
,
可得
,
所以
,
故答案为:
16.
或
【解析】
【分析】
在同一坐标系中作出
的图象,运用数形结合的思想可得出答案.
【详解】
解:
在同一坐标系中作出
的图象,如下图所示,所以
当
时,函数
,所以函数
的单调递增区间为
;
当
时,函数
仅有1个零点:
;
当
时,函数
有3个零点,
,
和
;
当
时,函数
有2个零点,
和
;
当
时,函数
有2个零点,
和
;
所以要使函数
仅有
个零点,则
的取值范围是
或
,
故答案为:
;
或
.
17.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理及两角和正弦公式可得
,从而可得结果;
(2)设
的中点为
,易得
为等边三角形,从而得到
边上的中线长度.
(1)
∵
,
∴
,
又
,
∴
,
,
∴
;
(2)
设
的中点为
,
则
∴
为等边三角形,(也可用余弦定理求中线长)
∴
边上的中线
.
18.
(1)证明见解析;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)连接
,证明出
平面
,利用线面垂直的性质可证得结论成立;
(2)设
,则
,以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得
与平面
所成角的大小.
(1)
证明:
连接
,在长方体
中,
,即
,
所以,四边形
为正方形,所以,
,
因为
平面
,
平面
,故
,
,
平面
,
平面
,故
.
(2)
解:
设
,则
,
以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为
,则
、
、
、
、
,
设平面
的法向量为
,
,
,
,
由
,取
,可得
,
,故
与平面
所成角的正弦值为
.
因此,
与平面
所成角的大小为
.
19.
(1)
(2)答案不唯一,见解析
【解析】
【分析】
(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式;
(2)利用
(1)的结论,求出数列
的通项公式,求出数列的和
,解方程
即可.
(1)
当
时,
,
当
时,
(首项符合通项),
故
;
(2)
若选①:
,由
(1)得:
,则
若存在
,使得
,则
,得到
,无解
若选②:
,
则
,若存在
,使得
,则
,所以
,无解;
若选③:
,则
,
所以
,
若存在
,使得
,则
.所以存在且
.
20.
(1)
(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)设
表示事件“此人于7月
日到达该市”,
,2,
,
.根据题意,
,由此能求出此人到达当日最高气温低于
的概率.
(2)由题意可知,
的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出其概率,由此能求出
的分布列和数学期望.
(1)
设
表示事件“此人于7月
日到达该市”,
,2,
,
.
根据题意,
,且
,
设
为事件“此人到达当日最高气温低于
”,
则
,
所以
(B)
.
(2)
由题意可知,
的所有可能取值为0,1,2,3,
且
,
,
,
,
所以
的分布列为:
0
1
2
3
故
的期望
21.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)求出
的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;
(2)分析可知
对任意的
恒成立,验证
满足条件,在
时,可得
,构造函数
,利用导数求出函数
的最小值,即可得出实数
的取值范围.
(1)
解:
因为
,则
,
则
,故曲线
在点
处的切线方程为
.
(2)
解:
由
,得
.
当
时,则有
,原不等式成立;
当
时,则由
,构造函数
,其中
,
则
,列表如下:
减
极小值
增
减
极小值
增
构造函数
,则
,即函数
单调递增,
因为
,
,所以,存在
,使得
,
当
时,
;当
时,
,
所以,当
时,
;当
且
时,
.
所以,
,故
.
综上所述,实数
的取值范围是
.
【点睛】
结论点睛:
利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
(1)
,
;
(2)
,
;
(3)
,
;
(4)
,
.
22.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由题意先明确椭圆方程,设直线
:
;直线
:
,利用两平行线间距离公式可得结果;
(2)不妨设直线
与椭圆
交于A、D两点,直线
与椭圆
交于B、N两点,四边形
面积为四边形ABND面积的一半,表示面积,利用均值不等式可得结果.
(1)
∵椭圆
:
(
)的离心率为
,且
,
∴
,
∴
,
设直线
:
;直线
:
.
∴
和
之间距离
,
当
时,
;
(2)
根据题意,不妨设直线
与椭圆
交于A、D两点,直线
与椭圆
交于B、N两点,
则
,且
,即四边形ABND为平行四边形,
∴四边形
面积为四边形ABND面积的一半,
由
(1)知,
,
联立方程
则
,
∴
,
∴
,
∴
,
令
,
,
∵
,∴
,
∴
,当且仅当
时,取等号.
故四边形
面积的最大值
.
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