人教版八年级数学上册第14章《整式的乘法与因式分解》培优试题.docx
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人教版八年级数学上册第14章《整式的乘法与因式分解》培优试题
人教版八年级数学上册第14章《整式的乘法与因式分解》培优试题
一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列运算正确的是( )
A.x2+x2=x4B.3a3•2a2=6a6
C.(﹣a2)3=﹣a6D.(a﹣b)2=a2﹣b2
2.下列分解因式正确的是( )
A.m4﹣8m2+64=(m2﹣8)2
B.x4﹣y4=(x2+y2)(x2﹣y2)
C.4a2﹣4a+1=(2a﹣1)2
D.a(x﹣y)﹣b(y﹣x)=(x﹣y)(a﹣b)
3.小明做了如下四个因式分解题,你认为小明做得对得不完整一题是( )
A.x2y﹣xy2=xy(x﹣y)B.m2﹣2mn+n2=(m﹣n)2
C.a3﹣a=a(a2﹣1)D.﹣x2+y2=(y+x)(y﹣x)
4.(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,则m的值是( )
A.0B.
C.﹣
D.﹣
5.下列计算正确的是( )
A.(2a﹣b)(﹣2a+b)=4a2﹣b2B.(2a﹣b)2=4a2﹣2ab+b2
C.(2a﹣b)2=4a2﹣4ab+b2D.(a+b)2=a2+b2
6.若a+b=1,则a2﹣b2+2b的值为( )
A.4B.3C.1D.0
7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(﹣b)2B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.﹣x2+9
8.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x﹣3)(x+1),则b、c的值为( )
A.b=3,c=﹣1B.b=﹣6,c=2C.b=﹣6,c=﹣4D.b=﹣4,c=﹣6
9.下列运算正确的是( )
A.(x3)4=x7B.﹣(﹣x)2•x3=﹣x5
C.x+x2=x3D.(x+y)2=x2+y2
10.观察下列两个多项式相乘的运算过程:
根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x2﹣7x+12,则a,b的值可能分别是( )
A.﹣3,﹣4B.﹣3,4C.3,﹣4D.3,4
二.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
11.分解因式:
x2﹣4= .
12.分解因式:
2a3﹣8a= .
13.x2﹣
x+ =(x﹣ )2.
14.分解因式:
ba2+b+2ab= .
15.因式分解:
(x+2)x﹣x﹣2= .
16.已知xm=2,xn=3,则x2m+n= .
17.多项式x2﹣9,x2+6x+9的公因式是 .
18.若a+b=2,ab=﹣3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 .
三.计算与分解因式(共2小题,每小题16分,共32分)
19.计算
(1)(﹣3xy)•(﹣4yz)
(2)(2x﹣1)(3x+2)
(3)﹣(a2b)3+2a2b•(﹣3a2b)2
(4)(a+2b﹣c)(a﹣2b+c)
20.分解因式:
(1)4xy2﹣4x2y﹣y3
(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)
(3)16(a﹣b)2﹣9(a+b)2
(4)5mx2﹣10mxy+5my2
四.解答题(共4小题,21、22每小题7分;23、24每小题10分)
21.已知a、b、c是△ABC的三条边长.若a、b、c满足
a2+
b2+5=4a+b﹣|c﹣2|,试判断△ABC的形状,并说明你的理由.
22.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)按要求填空:
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ;
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积:
方法1:
方法2:
③观察图②,请写出代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系:
;
(2)根据
(1)题中的等量关系,解决如下问题:
若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图③,它表示了 .
23.
(1)已知实数a、b满足(a+b)2=3,(a﹣b)2=27,求a2+b2的值.
(2)先化简,再求值:
3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.
24.观察下列计算过程,发现规律,利用规律猜想并计算:
1+2=
=3;1+2+3=
=6,1+2+3+4=
=10;1+2+3+4+5=
=15;…
(1)猜想:
1+2+3+4+…+n= .
(2)利用上述规律计算:
1+2+3+4+…+200;
(3)尝试计算:
3+6+9+12+…3n的结果.
2018—2019学年人教版八年级数学上册第14章《整式的乘法与因式分解》培优试题参考简答
一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.C.2.C.3.C.4.C.5.C.6.C.7.D.8.D.
9.B.10.A.
二.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
11. (x+2)(x﹣2) .12. 2a(a+2)(a﹣2) .13.
.
14. b(a+1)2 .15. (x+2)(x﹣1) .
16. 12 .17. x+3 .18. ﹣12 .
三.计算与分解因式(共2小题,每小题16分,共32分)
19.计算
(1)(﹣3xy)•(﹣4yz)
(2)(2x﹣1)(3x+2)
(3)﹣(a2b)3+2a2b•(﹣3a2b)2
(4)(a+2b﹣c)(a﹣2b+c)
【解】:
(1)(﹣3xy)•(﹣4yz)=12xy2z;
(2)(2x﹣1)(3x+2)=6x2+4x﹣3x﹣2=6x2+x﹣2;
(3)原式=﹣a6b3+2a2b•9a4b2
=﹣a6b3+18a6b3
=17a6b3
(4)原式=[a+(2b﹣c)][a﹣(2b﹣c)]
=a2﹣(2b﹣c)2
=a2﹣(4b2﹣4bc+c2)
=a2﹣4b2+4bc﹣c2
20.分解因式:
(1)4xy2﹣4x2y﹣y3
(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)
(3)16(a﹣b)2﹣9(a+b)2
(4)5mx2﹣10mxy+5my2
【解】:
(1)4xy2﹣4x2y﹣y3
=﹣y(﹣4xy+4x2+y2)
=﹣y(2x﹣y)2;
(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)
=(x﹣y)(9a2﹣4b2)
=(x﹣y)(3a+2b)(3a﹣2b);
(3)16(a﹣b)2﹣9(a+b)2
=[4(a﹣b)+3(a+b)][4(a﹣b)﹣3(a+b)]
=(7a﹣b)(a﹣7b).
(4)原式=5m(x2﹣2xy+y2)=5m(x﹣y)2.
四.解答题(共4小题,21、22每小题7分;23、24每小题10分)
21.已知a、b、c是△ABC的三条边长.若a、b、c满足
a2+
b2+5=4a+b﹣|c﹣2|,试判断△ABC的形状,并说明你的理由.
【解】:
△ABC为等边三角形.
∵a2+
b2+5=4a+b﹣|c﹣2|,
∴a2+
b2+5﹣4a﹣b+|c﹣2|=0,
∴(a﹣2)2+(
b﹣1)2+c﹣2|=0,
∴a﹣2=0,
b﹣1=0,c﹣2=0,
∴a=b=2,
∴△ABC为等边三角形.
22.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)按要求填空:
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 m﹣n ;
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积:
方法1:
(m﹣n)2
方法2:
(m+n)2﹣4mn
③观察图②,请写出代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系:
(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn ;
(2)根据
(1)题中的等量关系,解决如下问题:
若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图③,它表示了 (2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2 .
【解】:
(1)①阴影部分的正方形边长是m﹣n.
②方法1:
阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积,
即(m﹣n)2,
方法2:
边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m,宽为n的长方形面积,即(m+n)2﹣4mn;
③(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn.
(2))∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,
∴m+n﹣6=0,mn﹣4=0,
∴m+n=6,mn=4
∵由
(1)可得(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn
∴(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn=62﹣4×4=20,
∴(m﹣n)2=20;
(3)根据大长方形面积等于长乘以宽有:
(2m+n)(m+n),
或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有:
2m2+3mn+n2,
故可得:
(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.
故答案为:
(1)m﹣n;
(2)①(m﹣n)2,②(m+n)2﹣4mn,③(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;(3)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.
23.
(1)已知实数a、b满足(a+b)2=3,(a﹣b)2=27,求a2+b2的值.
(2)先化简,再求值:
3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.
【解】:
(1)∵(a+b)2=3,(a﹣b)2=27,
∴a2+2ab+b2=3①,a2﹣2ab+b2=27②,
∴①+②得:
2a2+2b2=30,
∴a2+b2=15;
(2)3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)
=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
=﹣20a2+9a,
当a=﹣2时,原式=﹣98.
24.观察下列计算过程,发现规律,利用规律猜想并计算:
1+2=
=3;1+2+3=
=6,1+2+3+4=
=10;1+2+3+4+5=
=15;…
(1)猜想:
1+2+3+4+…+n=
.
(2)利用上述规律计算:
1+2+3+4+…+200;
(3)尝试计算:
3+6+9+12+…3n的结果.
【解】:
(1)1+2+3+4+…+n=
;
故答案为:
;
(2)1+2+3+4+…+200=
=20100.
(3)3+6+9+12+…3n=3(1+2+3+4+…+n)=
.
人教版八年级数学上册第十四章整式乘法与因式分解单元测试
一、单选题
1.下列运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.-2mn-mn=-mn
2.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1),则mn的值是( )
A.100B.0C.﹣100D.50
3.下列运算正确的是( )
A.2a﹣a=1B.2a+b=2abC.(a4)3=a7D.(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a5
4.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则b、c的值为( )
A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6
5.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪拼成一个矩形(如图).通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.a2﹣ab=a(a﹣b)
6.下面是一位同学做的四道题:
①
.②
.③.
④
.其中做对的一道题的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
7.将多项式4x2+1再加上一项,使它能分解因式成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是( )
A.2xB.﹣4xC.4x4D.4x
8.下列因式分解正确的是( )
A.x2﹣4=(x+4)(x﹣4)B.x2+x+1=(x+1)2
C.x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4D.2x+4=2(x+2)
9.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A.a2-1B.a2+aC.a2+a-2D.(a+2)2-2(a+2)+1
10.已知a=8131 ,b=2741 ,c=961 ,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>c>a
二、填空题
11.
=____________ 12.目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米,而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米,已知1纳米=10﹣9米,用科学记数法将16纳米表示为________米.
13.因式分解:
_________.
14.如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7,那么代数式4y2﹣2y+5的值为__________.
15.若x+y=1,xy=-7,则x2y+xy2=_____________.
16.随着数系不断扩大,我们引进新数i,新i满足交换率、结合律,并规定:
i2=﹣1,那么(2+i)(2﹣i)=________(结果用数字表示).
17.计算:
(2+3x)(-2+3x)=_____________,(-a-b)2=_________________.
18.若(2x﹣3)x+5=1,则x的值为________.
19.记x=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)…(1+2n),且x+1=2128,则n=______.
三、计算题
20.已知:
x2﹣y2=12,x+y=3,求2x2﹣2xy的值.
21.设y=ax,若整式(x+y)(x﹣2y)+3y(x+y)化简的结果为x2,请你求出满足条件的a值.
22.因式分解
(1)﹣2a3+12a2﹣18a
(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)
23.计算:
(1)
(2)
(3)
(4)(3x+y)(-y+3x)
(5)2a(a-2a3)-(-3a2)2;(6)(x-3)(x+2)-(x+1)
24.
(1)若3a=5,3b=10,则3a+b的值.
(2)已知a+b=3,a2+b2=5,求ab的值.
25.某同学化简a(a+2b)﹣(a+b)(a﹣b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab﹣(a2﹣b2)(第一步)
=a2+2ab﹣a2﹣b2(第二步)
=2ab﹣b2 (第三步)
(1)该同学解答过程从第_____步开始出错,错误原因是____________;
(2)写出此题正确的解答过程.
26.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:
设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( )
A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底_______.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
答案:
1-5.CCDDA6-10.CADCA
11.
12.
13.
14.-11
15.-7
16.5
17.9x
-4;a
+b
+2ab
18.2;1或-5
19.64
20.28
21.-2或0
22.
(1)
(2)
23.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
24.
(1)50
(2)2
25.
(1)二去括号时没有变号
(2)2ab+b
26.
(1)C
(2)不彻底(x-2)
(3)(x-1)
人教版八年级数学上册单元检测卷:
第十四章整式的乘法与因式分解单元测试(word版,含答案)
一、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
1.计算:
-x2·x3=________;
=________;
×22016=________.
2.因式分解:
a-ab2=______________.
3.已知2a2+2b2=10,a+b=3,则ab=________.
4.对于实数m,n定义如下的一种新运算“☆”:
m☆n=m2-mn-3,下列说法:
①0☆1=-3;②x☆(x-2)=-2x-3;③方程(x+1)☆(x-1)=0的解为x=
;④整式3x☆1可进行因式分解.其中正确的说法是__________(填序号).
二、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
5.计算(-2a)2的结果是( )
A.-4a2B.2a2
C.-2a2D.4a2
6.下列运算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2B.x2·x5=x10
C.x+y=2xyD.2x3÷x=2x2
7.下列四个多项式中,能因式分解的是( )
A.a2+b2B.a2-a+2
C.a2+3bD.(x+y)2-4
8.若(x-2)(x+3)=x2-ax+b,则a、b的值是( )
A.a=5,b=6B.a=1,b=-6
C.a=-1,b=-6D.a=5,b=-6
9.如果关于x的代数式9x2+kx+25是一个完全平方式,那么k的值是( )
A.15B.±5
C.30D.±30
10.已知x+y=-4,xy=2,则x2+y2的值为( )
A.10B.11
C.12D.13
11.已知3a=5,9b=10,则3a+2b的值为( )
A.50B.-50
C.500D.-500
12.若a、b、c为一个三角形的三边长,则式子(a-c)2-b2的值( )
A.一定为正数B.一定为负数
C.可能是正数,也可能是负数D.可能为0
13.图①是一个长为2a、宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )
A.ab
B.(a+b)2
C.(a-b)2
D.a2-b2
14.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时,小林发现:
从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍,于是她设:
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①,然后在①式的两边都乘以6,得6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②,②-①得6S-S=610-1,即5S=610-1,所以S=
.得出答案后,爱动脑筋的小林想:
如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1),能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2018的值?
你的答案是( )
A.
B.
C.
D.a2018-1
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:
(1)x·x7;
(2)a2·a4+(a3)2;
(3)(-2ab3c2)4;(4)(-a3b)2÷(-3a5b2).
16.化简:
(1)(a+b-c)(a+b+c);
(2)(2a+3b)(2a-3b)-(a-3b)2.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.若关于x的多项式(x2+x-n)(mx-3)的展开式中不含x2和常数项,求m,n的值.
18.分解因式:
(1)4x3y+xy3-4x2y2;
(2)y2-4-2xy+x2.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.观察下列关于自然数的等式:
32-4×12=5; ①
52-4×22=9; ②
72-4×32=13; ③
……
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第四个等式:
92-4×________2=________;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
20.小红家有一块L形菜地,把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜.已知这两个梯形的上底都是a米,下底都是b米,高都是(b-a)米.
(1)请你算一算,小红家的菜地面积共有多少平方米?
(2)当a=10,b=30时,面积是多少平方米?
六、(本题满分12分)
21.先化简,再求值:
(1)[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y=1;
(2)(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2,其中m、n满足方程组
七、(本题满分12分)
22.
(1)已知a-b=1,ab=-2,求(a+1)(b-1)的值;
(2)已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,求ab的值;
(3)已知x-y=2,y-z=2,x+z=5,求x2-z2的值.
八、(本题满分14分)
23.先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料:
因式分解:
(x+y)2+2(x+y)+1.
解:
将“x+y”看成整体,令x+y=A,则
原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:
1+2(x-y)+(x-y)2=__________;
(2)因式分解:
(a+b)(a+b-4)+4;
(3)求证:
若n为正整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
参考答案
1.-x5
a6b3 -
2.a(1+b)(1-b)3.2 4.①③④
5-14:
.D .D .D .C .D .C .A .B.C .B
15.解:
(1)原式=x8.(2分)
(2)原式=a6+a6=2a6.(4分)
(3)原式=16a4b12c8.(6分)
(4)原式=a6b2÷(-3a5b2)=-
a.(8分)
16.解:
(1)原式=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2.(4分)
(2)原式=4a2-9b2-(a2-6ab+9b2)=3a2+6ab-18b2.(8分)
17.解:
原式=mx3+(m-3)x2-(3+mn)x+3n.(3分)∵展开式中不含x2和常数项,得到m-3=0,3n=0,(6分)解得m=3,n=0.(8分)
18.解:
(1)原式=xy(2x-y)2.(4分)
(2)原式=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2).(8分)
19.解:
(1)4 17(3分)
(2)第n个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1.(5分)左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1.右边=4n+1.左边=右边,∴(2n+1)2-4n2=4n+1.(10分)
20.解:
(1)小红家的菜地面积共有2×
(a+b)(b-a)=(b2-a2)(平方米).(5分)
(2)当a=10,b=30时,面积为900-100=800(平方米).(10分)
21.解:
(1)原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x=x-y.当x=3
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- 整式的乘法与因式分解 人教版 八年 级数 上册 14 整式 乘法 因式分解 试题