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九年级上期数学学案
直角三角形(第一课时)
教学目标:
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能,能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
学习过程:
引入:
我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。
实际上,利用公理及其推导出的定理,我们能够证明勾股定理。
定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
已知:
如图,在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证:
△ABC是直角三角形。
定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理。
这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
练习题:
随堂作业
作业:
P20:
1、2、3
直角三角形(第二课时)
教学目标:
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能,能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
学习过程:
复习:
1、勾股定理即其逆定理。
2、全等三角形的证明。
新授:
引入:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
如果其中一边所对的角是直角呢?
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。
已知:
如图,△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°,且AB=A’B’,BC=B’C’,
求证:
△ABC≌△A’B’C’
做一做:
用三角尺可以作角平线,如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M、N,使OM=ON,再过点M作OA的垂线,过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线
请证明:
议一议:
如图,已知∠ACB=BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要什么条件?
把它们分别写出来。
随堂练习
判断下列命题的真假,并说明理由。
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
作业:
P231、2
第二章一元二次方程
花边有多宽
教学目标:
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
2、渗透“夹逼”思想
教学重点难点:
用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解。
教学方法:
讲授法
教学用具:
幻灯机
学习程序:
一、复习:
1、什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
一般形式:
ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)―
x2=0
二、学习内容
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8―2x)(5―2x)=18
也就是:
2x2―13x+11=0
你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时,5―2x<0,x>2.5时,5―2x<0.
(3)完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
从左至右分别11,4.75,0,―4,―7,―9
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流。
地毯花边1米,另,因8―2x比5―2x多3,将18分解为6×3,8―2x=6,x=1
2、例题讲析:
例:
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)x的整数部分是几?
十分位是几?
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1 进一步计算 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x―15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以1.1 因此x的整数部分是1,十分位是1 注意: (1)估算的精度不适过高。 (2)计算时提倡使用计算器。 三、巩固练习: P47,随堂练习1 四、小结: 估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。 五、作业: P47,习题2.2: 1、2 配方法(第一课时) 教学目标: 1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程; 2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 3、体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程。 学习程序: 一、复习: 1、解下列方程: (1)x2=9 (2)(x+2)2=16 2、什么是完全平方式? 利用公式计算: (1)(x+6)2 (2)(x- )2 注意: 它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 3、解方程: (梯子滑动问题) x2+12x-15=0 二、新授: 1、引入: 像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢? 2、解方程的基本思路(配方法) 如: x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51 两边开平方,得 x+6=± ∴x1= ―6x2=― ―6(不合实际) 因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根。 3、配方: 填上适当的数,使下列等式成立: (1)x2+12x+=(x+6)2 (2)x2―12x+=(x―)2 (3)x2+8x+=(x+)2 从上可知: 常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题: 例1: 解方程: x2+8x―9=0 5、配方法: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二闪方程的方法称为配方法。 三、巩固练习: P50,随堂练习: 1 四、小结: (1)什么叫配方法? (2)配方法的基本思路是什么? (3)怎样配方? 五、作业: P50习题2.31、2 六、教学后记 配方法 (二) 教学目标: 1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。 2、进一步理解配方法的解题思路。 教学重点、难点: 用配方法解一元二次方程的思路;给方程配方。 学习程序: 一、复习: 1、什么叫配方法? 2、怎样配方? 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程: (1)x2+4x+3=0 (2)x2―4x+2=0 二、新授: 1、例题讲析: 例3: 解方程: 3x2+8x―3=0 分析: 将二次项系数化为1后,用配方法解此方程。 2、用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把二次项系数化为1; (2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。 (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 (4)用直接开平方法求出方程的根。 3、做一做: 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15t―5t2 小球何时能达到10m高? 三、巩固: 练习: P51,随堂练习: 1 四、小结: 1、用配方法解一元二次方程的步骤。 (1)化二次项系数为1; (2)移项; (3)配方: (4)求根。 五、作业: P33,习题2.41、2 六、教学后记 配方法(三) 教学目标: 1、经历到方程解决实际,问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力; 2、进一步掌握用配方法解题的技能 教学重点、难点: 列一元二次方程解方程。 学习程序: 一、复习: 1、配方: (1)x2―3x+=(x―)2 (2)x2―5x+=(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解下列一元二次方程? (1)3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题: 我们已经学习了用配方法解一元二次方程,在生产生活中常遇到一些问题,需要用一元二次方程来解答,请同学们将课本翻到54页,阅读课本,并思考: 如图所示: (1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程? (16-2x)(12-2x)= ×16×12 (2)一元二次方程的解是什么? x1=2x2=12 (3)这两个解都合要求吗? 为什么? x1=2合要求,x2=12不合要求,因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。 2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程? x2π= ×12×16 (2)一元二次方程的解是什么? X1= ≈5.5 X2≈-5.5 (3)合符条件的解是多少? X1=5.5 3、你还有其他设计方案吗? 请设计出来与同伴交流。 (1)花园为菱形? (2)花园为圆形 (3)花园为三角形? (4)花园为梯形 四、练习: P56随堂练习 五、小结: 1、本节内容的设计方案不只一种,只要合符条件即可。 2、设计方案时,关键是列一元二次方程。 3、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解。 六、作业: P56,习题2.5,1、2 七、教学后记: 为什么是0.618(第一课时) 知识目标: 1、掌握黄金分割中黄金比的来历; 2、经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决问题的过程,认识方程模型的重要性。 教学重点难点: 列一元一次方程解应用题,依题意列一元二次方程 学习程序: 一、复习 1、解方程: (1)x2+2x+1=0 (2)x2+x-1=0 2、什么叫黄金分割? 黄金比是多少? (0.618) 3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解? (方程一边为零,另一边可分解为两个一次因式) 二、学习内容 1、黄金比的来历 如图,如果 = ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 由 = ,得AC2=AB·CB 设AB=1,AC=x,则CB=1-x ∴x2=1×(1-x)即: x2+x-1=0 解这个方程,得 x1= x2= (不合题意,舍去) 所以: 黄金比 = ≈0.618 注意: 黄金比的准确数为 ,近似数为0.618. 上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题,其实,很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。 2、例题讲析: 例1: P64题略(幻灯片) (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里? (结果精确到0.1海里) 三、巩固: 练习,P65随堂练习: 1 四、小结: 列方程解应用题的三个重要环节: 1、整体地,系统地审清问题; 2、把握问题中的等量关系; 3、正确求解方程并检验解的合理性。 五、作业: P66习题2.8: 1、2 为什么是0.618(第二课时) 教学目标: 1、分析具体问题中的数量关系,列出一元二次方程; 2、通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 列一元一次方程解应用题,找出等量关系列方程。 学习程序: 一、复习: 1、黄金分割中的黄金比是多少? [准确数为 ,近似数为0.618] 2、列方程解应用题的三个重要环节是什么? 3、列方程的关键是什么? (找等量关系) 4、销售利润=- [销售价][销售成本] 二学习内容 在日常生活生产中,我们常遇到一些实际问题,这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。 1、讲解例题: 例2、新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明,为销售价为2900元时,平均每天能售出8台,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价为多少元? 分析: 每天的销售量(台) 每台的利润(元) 总利润(元) 降价前 8 400 3200 降价后 8+4× 400-x (8+ )×(400-x) 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元 如果设每台冰箱降价为x 元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元。 这样就可以列出一个方程,进而解决问题了。 关键: 找等量关系列方程。 2、做一做: 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明这种台灯的售价每上涨一元,某销售量就减少10个,为了实现平均每月20000的销售利润,这种台灯的售价应定为多少? 这时应进台灯多少个? 四、小结: 五、作业: P68习题2.9 第二章 一元二次方程复习 学习目标: 1、经历抽象一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。 重点: 认识产生一元二次方程知识的必要性 难点: 列方程的探索过程 学习过程: 一、简要回顾,方程思想 简要回顾方程知识,方程在生活中的应用,以及用方程思想解决实际问题时的大致思路: 1、把待求的量用字母表示出来; 2、把已知量与未知量放在同等地位进行运算; 3、寻求建立等量关系 4、解方程(组) 体会感悟: 往往解决一个未知数的问题,就需要建立一个等量关系;解决两个未知数的问题,则需要建立两个等量关系。 …… 二、展示素材,创设情境 在处理下面的每一个素材时,都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程,并从中激发学生的学习兴趣。 1、艺术设计 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示,它的长为8m,宽为5m。 如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽? 这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题,此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。 拉钦斯基(1836~1902)一度曾在大学中任自然科学教授,后来辞去大学的职务,成为一名普通的乡村教师,在这期间,对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。 从惊奇与趣味中激发学生思考: 这样的数组还有吗? 如何求解? 设未知数的技巧。 联想勾股定理中: ,…… 3、梯子移动 如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。 如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米? 及时教育学生,要学会用数学的眼光观察生活中的现象,培养自己发现问题与解决问题的能力。 此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗(Bhaskara;1114~1185)之手。 诗文简洁,数学內容也不太难。 同时,也可介绍《九章算术》第九章第六题“葭生中央”问题: 三、观察归纳,抽象命名 从上面的几个素材中可以看出,这类方程在生活中大量出现,回忆前面在学习“黄金分割”时,我们曾经得到方程 ,其中 ,这 是如何解出的,当时我们不得而知,但数学应该而且必定能为生活服务,因此我们很有必要对这类方程作一个系统的研究。 上述三个方程有什么共同特点? 上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为 (a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程 注: 形式上是一元二次方程,但化简整理后的方程却未必是一元二次方程,例如“印度莲花问题”,其实这仅仅是知识上的简单分类,目的是便于语言叙述与更有利于知识学习,因此没有必要过多计较。 四、学生编题,深化理解 在感受前面四个素材及归纳一元二次方程形式特点的基础上,启发学生编拟一条与自己身边生活有关的应用题,使列出来的方程是一元二次方程。 五、随堂练习,及时巩固 一元二次方程的复习 教学目标: 1、熟练掌握一元二次方程的解法,能灵活选择方法解一元二次方程。 2、能利用方程解决有关实际问题,提高学生的应用能力。 教学重点、难点: 一元二次方程的几种解法;列一元二次方程解应用题。 学习程序: 一、复习: 1、什么叫一元二次方程? 它的一般形式是什么? 它的二次项系烽,一次项系数,常数项各是什么? 2、一元二次方程有哪些解法? 3、一元二次方程的求根公式是什么? 4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么? 关键是什么? 二、新课讲析: 1、解下列方程: (1)2(x+3)2=x(x+3) (2)x2-2 x+2=0 1、解下列方程: (1)x(x-8)=0 (2)x2+12x+32=0 2、当x为何值时,代数式x2-13x+12=0的值等于42? 3、已知2+ 是方程x2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值。 4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长。 四、课堂小结: 1、一元一次方程的一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0) 2、一元二次方程的解法: (1)配方法: 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 (2)公式法: : x= (b2-4ac≥0) (3)分解因式法: 方程一边为0,另一边分解为两个一次式的积。 3、列一元一次方程解应用题: (1)步骤: a、设未知数;b、列方程;c、解方程;d、检验;e、作答。 (2)关键: 寻找等量关系。 五、作业: P69复习题: 4、6、7、8六、教学后记: 反比例函数 教学目标: 经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。 学习程序: 一、导入: 1、从现实情况和已有知识经验出发,讨论两个变量之间的相依关系,加强对函数概念的理解,导入反比例函数。 2、U=IR,当U=220V时, (1)你能用含R的代数式表示I吗? (2)利用写出的关系式完成下表: R(Ω) 20 40 60 80 100 I(A) 当R越来越大时,I怎样变化? 当R越来越小呢? (3)变量I是R的函数吗? 为什么? 答: 二、学习内容: 1、反比例函数的概念 一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y= (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。 反比例函数的自变量x不能为零。 2、做一做 一个矩形的面积为20cm2,相邻两条边长分别为xcm和ycm,那么变量y是变量x的函数吗? 是反比例函数吗? 解: y= ,是反比例函数。 三、课堂练习: P133,12 四、作业: P133,习题5.11、2题 反比例函数的图象与性质 教学目标: 使学生会作反比例函数的图象,并能理解反比例函数的性质。 培养提高学生的计算能力和作图能力。 教学重点、难点: 作反比例函数的图象。 理解反比例函数的性质。 学习程序: 一、复习: 1、函数有哪几种表示方法? 2、一次函数y=kx+b有什么性质? 二学习内容 1、作反比例函数y= 的图象: 列表: X -8 -4 -3 -2 -1 - - 1 2 4 8 y= 描点: 以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点。 连线: 用光滑的曲线顺次连结各点,即可得到函数y= 的图象。 2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题? 列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点。 3、作反比例函数y= 的图象。 4、观察函数y= 和y= 的图象,它们有什么相同点和不同点? 图象分别都是由两支曲线组成的,它们都不与坐标轴相交,两个函数图象都是轴对称图形,它们各自都有两条对称轴。 5、反比例函数y= 的图象是由两支曲线组成的,当k>0时,两支曲线分别位于一、三象限内,当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内。 三、随堂练习 P136: 1、2 四、作业: P137习题5.21 反比例函数的图象与性质 知识目标: 使学生理解反比例函数y= (k≠0)的增减性质。 培养、提高学生的空间想象能力。 教学难点: 反比例函数的对称性质 学习程序: 一、学习内容 1、观察反比例函数y= ,y= ,y= 的图象,回答下列问题? (1)函数图象分别位于哪几个象限内; (2)在每一个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化的? 能说明这是为什么吗? (3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗? 可能与y轴相交吗? 为什么? 2、考察当k=―2,―4,―6时,反比例函数y= 的图象,回答 (1)中的三个问题。 3、反比例函数图象的性质: 反比例函数y= 的图象,当k>0时,在第一象限内,y的值随x的增大而减小;当k<0时,在每一象限内,y的值随x的增大而增大。 4、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,过点Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的面积为S2,S1与S2有什么关系? 为什么? S1=S2=|K| 5、将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图象重合吗? 反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形; 反比例函数是一个以y=±x为对称轴的轴对称图形。 二、随堂练习: P1391、2 三、作业: P141习题5.31、2 反比例函数的应用 教学目标: 使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。 教学重点: 反比例函数的应用 学习程序: 一、学习内容 1、实例1: (1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗? 为什么? (2)、当木板面积为0.2m2时,压强是多少? (3)、如果要求压强不超过6000Pa,木板的面积至少要多少? (4)、在直角坐标系中,作出相应的函数图象。 (5)、请利用图象 (2)和(3)作出直观解释,并与同伴进行交流。 二、做一做 1、 (1)蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图5-8所示。 (2)蓄电池的电压是多少? 你以写出这一函数的表达式吗? 电压U=36V,I= 2、完成下表,并回答问题,如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内? R(Ω) 3 4 5 6 7 8 9 10 I(A) 3、如图5-9,正比例函数y=k1x的图象与反比例函
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