山东省枣庄市学年高一上学期期末数学试题含答案解析.docx

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山东省枣庄市学年高一上学期期末数学试题含答案解析

山东省枣庄市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．已知命题，，则p的否定是（）

A．B．

C．D．

3．的值为（　　）

A．B．C．D．

4．函数的零点所在的区间是（）

A．B．C．D．

5．设，则（）

A．B．C．3D．2

6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）

A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度

7．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：

如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度T将满足，其中是环境温度，h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？

（）（1g2≈0.3010，1g3≈0.4771）

A．12B．14C．16D．18

8．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（）

A．-1B．1C．D．3

10．已知、、、是实数，则下列一定正确的有（）

A．B．

C．若，则D．若，，则

11．下列化简正确的是（）

A．B．

C．D．

12．设函数，已知在有且仅有个零点，则（）

A．在上存在、，满足

B．在有且仅有个最小值点

C．在上单调递增

D．的取值范围是

三、填空题

13．已知:

，用表示__________．

14．已知扇形面积为，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是________.

15．已知函数，若函数有4个零，且，则_________.

16．已知，，，则的最小值为______.

四、解答题

17．已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

18．已知函数的最小正周期为.

（1）求的单调递增区间；

（2）用“五点作图法”，画出函数在一个周期上的图象.

19．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上.则

（1）求的值；

（2）已知，，求的值.

20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：

函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.

（1）若.

①求此函数图象的对称中心；

②求的值；

（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.

21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.

（1）设，求三角形木块面积；

（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.

22．已知函数，.

（1）证明：

为偶函数；

（2）若函数的图象与直线没有公共点，求a的取值范围；

（3）若函数，是否存在m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

参考答案

1．B

【分析】

直接根据交集的概念进行运算可得解.

【详解】

因为，，

所以.

故选：

B．

2．A

【分析】

直接根据全称命题的否定写出结论.

【详解】

命题，为全称命题，故p的否定是：

.

故选：

A

【点睛】

全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．

3．B

【详解】

由诱导公式可得，故选B.

4．C

【分析】

计算出的值，由零点存在性定理即得解.

【详解】

由题得，

，

所以，

又因为函数是连续函数，

所以零点所在的区间为.

故选：

C

【点睛】

方法点睛：

判断连续函数零点所在的区间，一般利用零点存在性定理，若，则函数在区间上至少有一个零点.

5．D

【分析】

利用诱导公式化简，代入可得选项.

【详解】

∵，

∴，

故选：

D.

6．B

【分析】

先化简函数，再根据三角函数的图象变换，即可求解．

【详解】

由题意，函数，

所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.

故选：

B．

7．C

【分析】

先根据条件计算的值，利用换底公式计算，即可得答案；

【详解】

根据题意有：

，

，

故选：

C.

8．C

【分析】

先证明，可得，构造函数可得是奇函数，根据复合函数的性质可判断在上单调递增，所解不等式等价于，可得，即可求解.

【详解】

即，所以，

设，则，

可得是奇函数.

因为和都是增函数，所以为增函数，

因为单调递增，所以在上单调递增，

所以函数，在上单调递增，

所以在上单调递增，

由可得，

即，所以，整理得：

，

解得：

，

故选：

C

【点睛】

关键点点睛：

本题解题的关键点是计算出，构造函数是上的奇函数且是增函数，原不等式等价于，根据奇偶性和单调性脱掉即可求解.

9．BD

【分析】

根据幂函数的图像和性质判断可能的值即可.

【详解】

当为时，定义域不是R；当为时，定义域不是R；

当为时，是定义域为R的奇函数；当为时，是定义域为R的奇函数.

故选BD

【点睛】

本题主要考查了常见幂函数的定义域，奇偶性，属于中档题.

10．AD

【分析】

利用作差法可得A正确；利用不等式的性质可得B错误；举例可说明C错误；利用不等式的性质可得D正确．

【详解】

因为，所以A正确；

当时，，故B错误；

当，时，，但，故C错误；

若，，则，，且，，所以，又，所以，故D正确；

故选：

AD

【点睛】

本题考查不等式的性质的应用，考查作差法比较大小，属于基础题．

11．ABD

【分析】

逆用正弦的二倍角公式可判断选项A；利用余弦的二倍角公式可判断选项B；对所给的等式左边通分化简计算可判断选项C；对所给等式左边利用余弦的二倍角公式和同角三角函数基本关系化简即可判断D，即可得正确选项.

【详解】

对于选项A：

，

故选项A正确；

对于选项B：

，故选项B正确；

对于选项C：

，故选项C不正确；

对于选项D：

，

故选项D正确；

故选：

ABD.

12．AD

【分析】

化简函数的解析式为，令，由可求得，作出函数的图象，可判断AB选项的正误；由图象得出可判断D选项的正误；取，利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误.

【详解】

，

当时，，令，则，

作出函数的图象如下图所示：

对于A选项，由图象可知，，，

所以，在上存在、，满足，A选项正确；

对于B选项，在上有个或个最小值点，B选项错误；

对于D选项，由于函数在有且仅有个零点，则，解得，D选项正确；

对于C选项，由于，取，当时，，

此时，函数在区间上不单调，C选项错误.

故选：

AD.

【点睛】

关键点点睛：

本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元，将问题转化为函数在区间上的零点个数问题，数形结合来求解.

13．

【分析】

根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.

【详解】

解：

，，又，

故答案为：

【点睛】

本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.

14．

【分析】

设扇形圆心角的弧度数是，利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】

设扇形圆心角的弧度数是，

由扇形的面积公式可得：

，解得：

，

故答案为：

.

15．8

【分析】

设，将问题转化为图像和有4个交点，从而找到，，，关系，然后进行求解即可.

【详解】

令，画出图像

函数，

函数4个零点即和有4个不同交点，

其横坐标分别为，，，且，易得

由，即

即，即，所以

可得

故答案为：

8

【点睛】

关键点睛：

此题考查函数的零点问题转化为另一函数与直线交点问题，解答本题的关键是将问题转化为和有4个不同交点，作出函数的图象得到和，属于中档题.

16．16

【分析】

由条件可知，则原式变形为，展开后，利用基本不等式求最小值.

【详解】

原式；

当且仅当即，时取等.

所以的最小值为16.

故答案为：

16

【点睛】

关键点点睛：

本题的关键是结合“1”的妙用，利用基本不等式求最值.

17．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）当时，分别求出集合与集合，再进行交集运算即可求解.

（2）先求出集合与集合，由题意可得A是B的真子集，结合数轴即可求解.

【详解】

（1）∵，

当时，或，所以.

（2），或.

又是的充分不必要条件，所以A是B的真子集.

所以或，

解得或；

即实数m的取值范围为.

【点睛】

结论点睛：

集合的观点分析充分与必要条件

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．

18．

（1）；

（2）答案见解析.

【分析】

（1）由可得进而可得的解析式，再解不等式

即可求解；

（2）按照五点法作图的步骤列表、描点、连线即可求解.

【详解】

（1）由，得，所以.

由.

得.

所以的单调递增区间为.

（2）列表：

0

0

2

0

0

描点，连线可得：

19．

（1）；

（2）

【分析】

（1）由条件利用任意角的三角函数的定义可得＝2，再利用两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．

（2）利用同角三角函数基本关系式求得再利用两角差的余弦函数化简求解即可．

【详解】

（1）依题意

c

=

.

（2），

，

∴

，

∴

.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和与差的三角函数、同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于中档题．

20．

（1）①；②；

（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.

【分析】

（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；

②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；

（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.

【详解】

解：

（1）①设函数图象的对称中心为，，

则为奇函数，故，故，

即，

即.

整理得，故，解得，

所以函数图象的对称中心为；

②因为函数图象的对称中心为，

所以，，

故

；

（2）推论：

函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.

【点睛】

结论点睛：

本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：

①函数的图象关于点对称，则；

②函数的图象关于直线对称，则.

21．

（1）；

（2）,的面积最大值为

【分析】

（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；

（2）根据第

（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.

【详解】

解：

（1）过点作交于点，设交于点，

所以,

，

所以；

（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，

所以可只分析时的情况，

，

，

所以

，

令，，

故，

，

，

，

，

，

函数在单调递增，

所以当时，的面积最大，最大值