人教版六年级数学下册第三单元知识总结+练习题附答案.docx
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人教版六年级数学下册第三单元知识总结+练习题附答案
知识总结:
一、圆柱
1、圆柱是由3个面围成的。
分别是上底面、下底面、侧面。
2、底面:
圆柱的上、下两个面叫做底面。
侧面:
圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。
圆柱的高:
圆柱上下两个底面之间的距离叫做高。
一个
圆柱有无数条高,所有的高都相等。
图一
3、如图一,圆柱的侧面沿着任意一条高剪开,展开后的图形可
能是一个长方形,也可能是一个正方形。
4、如图一,如果圆柱的侧面展开后是长方形,那么,这个长方
形的宽等于圆柱的高,长方形的长等于圆柱的底面周长。
如
果圆柱的侧面展开后是正方形,那么,圆柱的高和底面周长
相等,正方形的边长=圆柱的高=圆柱的底面周长。
5、如图一,任何一个圆柱都是由三个面围成的,分别是两个大
小相等的圆形底面和一个侧面,所以:
圆柱的表面积=底面面积×2+侧面面积。
底面积:
即底面圆的面积,S底=
侧面积:
即展开后的长方形(或正方形)的面积,已知:
S侧=S长=长×宽,
而此时长方形的长为底面圆的周长,宽为圆柱的高,
底面周长:
C底=πd,或,C底=2πr
高:
用字母h表示
所以,
S侧=S长=底面圆的周长×圆柱的高=πd×h=2πr×h
所以:
圆柱的侧面积:
S侧=πdh,或,S侧=2πrh
圆柱的表面积:
S表=S底×2+S侧 ,即:
S表=2πr2+2πrh,或,S表=2πr2+πdh
在解决与圆柱表面积有关的实际问题时,一定要仔细读题,弄清楚所
求的表面积包含几个面。
比如排水管,就只用求侧面积;未开封的油桶,
则要求两个底面和一个侧面。
6、圆柱的体积:
一个圆柱所占空间的大小就是圆柱的体积。
根据我们已
经学过的正方体和长方体的体积公式,我们知道体积都可
以用“底面积×高”来计算。
同样的圆柱的体积也可以用这
个方法。
圆柱的体积=底面积×高,字母表示为,V柱=Sℎ,
底面积即为底面圆的面积,S底=
所以
V柱=Sℎ=πr2ℎ
圆柱体积公式的应用:
(r为半径,d为直径,C为周长)
(1)已知圆柱的底面积和高,求体积可用公式:
V柱=Sℎ。
(2)已知圆柱的底面半径和高,求体积可用公式:
V柱=πr2ℎ;
(3)已知圆柱的底面直径和高,求体积,可用公式:
V柱=π(
)2ℎ;
(4)已知圆柱的底面周长和高,求体积,可用公式:
V柱=π(
)2ℎ;
(5)已知圆柱的体积和高,求底面积,可用公式:
S底=V柱÷h
(6)已知圆柱的体积和底面积,求高,可用公式:
h=V柱÷S底
7.圆柱形容器的容积也可以用圆柱体积的公式进行计算,但计算出的结
果要转化成容积单位。
8、圆柱的高不变,半径扩大2倍,则直径扩大2倍,底面周长扩大2倍,
侧面积扩大2倍,底面积扩大2的平方倍,体积扩大2的平方倍。
9、圆柱的半径不变,高扩大2倍,则侧面积扩大2倍,体积扩大2倍。
二、圆锥
1、圆锥的特征:
①底面的特征:
圆锥的底面是一个圆。
②侧面的特征:
圆锥的侧面是一个曲面。
③高的特征:
是从顶点到底面圆心之间的距高。
圆锥有一条高。
2、 圆柱的切割:
①横切:
切面是圆
②竖切(过顶点和直径),切面是等腰三角形;该等腰三角形的高
是圆锥的高,底是圆锥的底面直径,面积增加两个等腰三角
A点为圆锤的顶点,
O点为圆锥底面圆的圆心
AO为圆锥的高
BO和CO为底面圆的半径
形的面积。
3、圆锥的体积:
通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是
圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的
。
(注意:
等底等高的圆柱和圆锥,是指圆柱和圆锥的底面积相等,高相等。
)
所以,圆锥的体积公式是:
圆锥的体积=
×等底等高圆柱的体积,用字母表示则为
V锥=
Sℎ
若已知圆锥的底面半径和高,计算体积则可以直接利用公式:
V锥=
πr2ℎ
三、圆柱和圆锥的关系。
①、圆柱与圆锥等底等高,圆柱的体积是圆锥的3倍,圆锥的
体积是圆柱体积的
。
②、圆柱与圆锥等底等体积,圆锥的高是圆柱的3倍。
③、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:
是底面积而
不是底面半径)是圆柱的3倍。
④、圆柱与圆锥等底等高 ,圆锥体积比圆柱体积少
,圆柱体
积比圆锥体积多2倍。
四、浸水体积问题
当物品完全浸没于水中时,上升的(或下降)的水的体积
等于放入或取出的物体的体积。
五、等体积转换问题
一个圆柱融化后做成圆锥,圆柱的体积在做成圆锥后是不
变的(不考虑损耗)。
同样的道理,圆柱中的溶液倒入圆锥,
倒入的溶液的体积也是不变的。
六、单位换算。
面积单位:
(常用单位:
平方米、平方分米、平方厘米)
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米(相邻两个单位之间的进率是100)
特别注意:
1平方千米=100公顷=1000000平方米 1公顷=10000平方米
体积及容积单位:
(常用单位:
立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升)
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米1升=1000毫升
1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米(相邻两个单位之间的进率是1000)
巩固练习
一、填空题。
1.8050毫升=()升()毫升
5.8平方分米=()平方厘米
3.52立方米=()立方分米
5平方米4平方分米=()平方米
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,高是25.12cm,
这个圆柱的底面半径是()cm。
3.用一个长20cm,宽12cm的硬纸板围成一个圆柱,这个
圆柱的侧面积是()cm2。
4.一个圆柱的底面直径是15cm,高是8cm,这个圆柱的侧
面积是()cm2。
5.如图,以长方形10cm长的边所在直线为轴旋转一周,会
得到一个(),它的表面积是()cm2,体积是()cm3。
6.把一个圆锥沿底面直径纵切开,切面是一个()形。
7.如图是一个直角三角形,以6cm的直角边所在直线为轴旋
转一周,所得到的图形是(),它的体积是()cm3。
8.一个圆柱和一个圆锥等底等高,如果圆柱比圆锥的体积多
42dm3,则圆柱的体积是(),圆锥的体积是()。
9.一个圆柱的体积是100.48dm3,它的底面半径是2dm,高
是()dm。
10.把一根2.5m长的圆木锯成三段小圆木,表面积增加了
24dm2,这根圆木的体积是()dm3。
二、判断题。
1.圆锥的体积比圆柱的体积少
。
()
2.圆锥的底面积不变,高扩大为原来的6倍,则体积扩大为
原来的2倍。
()
3.圆柱的侧面展开图一定是长方形。
()
4.圆柱的底面直径是3cm,高是9.42cm,它的侧面沿高展开
后是一个正方形。
()
5.圆柱有无数条高,而圆锥只有一条高。
()
三、选择题。
1.如果把圆柱体的底面半径和高都扩大为原来的2倍,则它
的体积将扩大为原来的()。
A.2倍B.4倍
C.6倍D.8倍
2.做一个无盖的圆柱形水桶,求至少需要多少铁皮,就是求
水桶的()。
A.底面积B.侧面积
C.表面积D.侧面积+一个底面积
3.一根圆柱形木料,底面半径是6dm,高是4dm,把这根木
料沿底面直径锯成两个相等的半圆柱,表面积比原来增加
()dm2。
A.226.08B.24
C.48D.96
4.一个圆柱的底面半径是5dm,若高增加2dm,则侧面积增
加()dm2。
A.20B.31.4
C.62.8D.109.9
5.右图中圆锥的体积与下列圆柱()的体积相等。
四、按要求计算。
1.计算下面圆柱的表面积和圆锥的体积。
2.求右面立体图形的体积。
(单位:
cm)
3.求右面立体图形的表面积和体积。
(单位:
cm)
五、按要求完成下列各题。
1.一个圆柱和圆锥等底等体积,那么圆柱的高是圆锥高的(),
圆锥的高是圆柱高的()。
2.一个圆柱和圆锥等体积等高,那么圆柱的底面积是圆锥底面
积的(),圆锥的底面积是圆柱底面积的()。
3.用玻璃做一个圆柱形鱼缸,底面半径是2.5dm,高是4dm,
做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃?
这个鱼缸最多能装水多
少升?
六、解决问题。
1.一个圆柱形纸筒的底面半径是4cm,它的侧面展开后是一
个正方形,这个圆柱形纸筒的侧面积是多少平方厘米?
2.一堆圆锥形黄沙,底面周长是12.56m,高是1.2m,将它
铺在一个长8m,宽2.5m的沙坑里,可以铺多少厘米厚?
3.一个圆柱形玻璃容器里装有水,在水里浸没一个底面半径是
3cm,高是10cm的圆锥形铁块(如图),如果把铁块从圆柱形
容器里取出,那么容器里的水面要下降多少厘米?
4.学校教学楼大厅里有4根立柱,每根立柱的底面半径是
2dm,高是4.5m。
现要给立柱的侧面包上装饰板,包好
这些立柱共需装饰板多少平方米?
5.两个底面积相等的圆锥,一个高为6cm,体积是72cm3,
另一个高为9cm,它的体积是多少立方厘米?
===================我是分割线===================
答案:
一、1.850
580
3520
5.04
2.4
3.240
4.376.8
5.圆柱904.322009.6
6.等腰三角
7.圆锥25.12
8.63dm321dm3
9.8
10.150
二、1.×2.×3.×4.√5.√
三、1.D2.D3.D4.C5.C
四、1.圆柱的表面积:
25.12÷3.14÷2=4(cm)
3.14×42×2+25.12×10=351.68(cm2)
易错点拨:
先根据底面圆的周长求出圆的半径,进而求出底面积,侧面积
根据知识总结中的图一可知,可用底面圆的周长×圆柱的高来算。
圆锥的体积:
12÷2=6(dm)
×3.14×62×15=565.2(dm3)
2.方法一:
10÷2=5(cm)......大圆柱底面半径
4÷2=2(cm)......小圆柱底面半径
52×3.14×12=942(cm3)......大圆柱的体积
22×3.14×12=150.72(cm3)......小圆柱的体积
942-150.72=791.28(cm3)
易错点拨:
大圆柱-中间的小圆柱,所得的结果即为所求立体图形的体积。
也可用更简单的方法:
大圆柱底面半径的平方-小圆柱底面半
径的平方,再×π×圆柱的高,即为所求图形的体积。
如下:
方法二:
10÷2=5(cm)
4÷2=2(cm)
3.14×(52-22)×12=791.28(cm3)
3.表面积:
(10×8+10×4+8×4)×2=304(cm2)......长方体的表面积
6×3.14×8=150.72(cm2)......圆柱的侧面积
304+150.72=454.72(cm2)
易错点拨:
该立体图形为下方的长方体加上方的圆柱,通过观察图形
我们可知,圆柱的上底面=下底面,那么在计算表面积时,
可直接将圆柱的上底面归入到下方长方体的上面中,也就
是用圆柱的上底面来补长方体上面被圆柱遮挡的部分。
所
以,在求该图形的表面积时,只需求长方体的表面积和圆
柱的侧面积,再将它们相加,即可。
体积:
10×8×4=320(cm3)......长方体的体积
3.14×(6÷2)2×8=226.08(cm3)......圆柱的体积
320+226.08=546.08(cm3)
五、1.
3倍
2.
3倍
3.3.14×2.5×2×4=62.8(dm2)......鱼缸的侧面积
3.14×2.52=19.625(dm2)......鱼缸的底面积
62.8+19.625=82.425(dm2)
3.14×2.52×4=78.5(dm3)=78.5(L)
答:
做这个鱼缸至少需要82.425dm2的玻璃,这个鱼缸最
多能装水78.5L。
易错点拨:
鱼缺需要的玻璃是一个底面积与侧面积的和。
仔细看题,注意单位。
六、1.3.14×4×2=25.12(cm2)......纸筒底面圆的周长
25.12×25.12=631.0144(cm2)
答:
这个圆柱形纸筒的侧面积是631.0144cm2。
易错点拨:
题目告诉我们,侧面展开后是一个正方形,那么,也就是说,
该圆柱形纸筒的底面圆的周长和圆柱的高是相等的(可参考
知识总结中圆柱的相关知识点)。
2.12.56÷3.14÷2=2(m).....圆锥形黄沙底面圆的半径
×3.14×22×1.2=5.024(m).....黄沙的体积
5.024÷(2.5×8)=0.2512(m)=25.12(cm)
答:
可以铺25.12cm厚。
易错点拨:
圆锥形的黄沙铺在沙坑里,黄沙的体积是固定的,就是圆锥
的体积。
而根据题目的意思,我们可以知道沙坑是一个长方
体,也就是说,现在要把圆锥型的黄沙铺成长方体形的黄沙,
现在已知长方体的长和宽,同时知道倒入长方体里黄沙
的体积,也就是长方体的体积,求高。
根据
V长=长×宽×高的公式,即可求高。
3.
×3.14×32×10=94.2(cm3).....圆锥形铁块的体积
3.14×(10÷2)2=78.5(cm2).....圆柱形玻璃容器的底面积
94.2÷78.5=1.2(cm)
答:
容器里的水面要下降1.2cm。
易错点拨:
为什么铁块拿出来后水面下降了?
是因为铁块占用了水的体积,
铁块占用的水的体积即为铁块本身的体积,所以现在所求的是
被铁块占用的水再倒回容器里,水会有多高,这个高度就是水
面下降的高度。
现已知容器的底面直径,可以算出半径,进而
算出底面积。
同时可以通过计算铁块的体积知道被占用的水的
体积,而容器的底面积也已经算出来了,根据圆柱的体积公式:
V柱=Sℎ,我们可以算出高度。
4.2dm=0.2m
3.14×0.2×2×4.5=5.652(m2).....一根立柱的侧面积
5.652×4=22.608(m2)
答:
包好这些立柱共需装饰板22.608m2。
易错点拨:
装饰板的面积即为立柱的侧面积,侧面积公式可参考知识总
结中的公式。
5.72×3÷6=36(cm2).....圆锥的底面积
36×9×
=108(cm3)
答:
它的体积是108cm3。
易错点拨:
圆锥的体积公式为V锥=
Sℎ,所以,S=V锥×3÷ℎ。
圆锥的
体积一定要先×3。
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