判定平行四边形五种方法.docx
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判定平行四边形五种方法
判别平行四边形的基本方法
如何判别一个四边形是平行四边形呢?
下面举例予以说明.
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别
例1如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
分析:
由于已知条件与对角线有关,故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.
解:
连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,
所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.
所以四边形DEBF是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
例2如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形,请你指出图中所有的平行四边形,并说明理由.
分析:
设每根木棒的长为1个单位长度,则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.
解:
设每根木棒的长为1个单位长度,则AF=BC=1,AB=FC=1,
所以四边形ABCF是平行四边形.
同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.
因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别
例3如图3,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,DF∥BE,试说明四边形ABCD是平行四边形.
分析:
题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形,但仔细观察可知,由已知条件可得△ADF≌△CBE,由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.
解:
因为DF∥BE,所以∠AFD=∠CEB.
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又DF=BE,
所以△ADF≌△CBE,所以AD=BC,∠DAF=∠BCE,
所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别
例4如图4,在平行四边形ABCD中,∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F,则四边形AECF是平行四边形吗?
为什么?
分析:
由平行四边形的性质易得AF∥EC,又题目中给出的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
解:
四边形AECF是平行四边形.
理由:
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,∠DAB=∠BCD,
所以AF∥EC.又因为∠1=
∠DAB,∠2=
∠BCD,
所以∠1=∠2.因为AD∥BC,所以∠2=∠3,
所以∠1=∠3,所以AE∥CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有:
(1)证两组对边分别平行;
(2)证两组对边分别相等;(3)证一组对边平行且相等;(4)证对角线互相平分;(5)证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、
两组对边分别平行
如图1,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。
解:
(1)选证△BDE≌△FEC
证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACD=60°
∵CD=CE,∴BD=AE,△EDC是等边三角形
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE,∴BD=FE,∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由:
由
(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF,BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评:
当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,错角相等或同旁角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知:
如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F
(1)求证:
△BCG≌△DCE;
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,判断四边形E′BGD是什么特殊四边形?
并说明理由。
分析:
(2)由于ABCD是正方形,所以有AB∥DC,又通过旋转CE=AE′已知CE=CG,所以E′A=CG,这样就有BE′=GD,可证E′BGD是平行四边形。
解:
(1)∵ABCD是正方形,
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE,△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′,
∴CE=AE′,∵CE=CG,∴CG=AE′,
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG,AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG,即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评:
当四边形一组对边平行时,再证这组对边相等,即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF。
求证:
四边形DAEF是平行四边形;
分析:
利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等,从而四边形DAEF是平行四边形。
解:
∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA,BF=BC∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评:
题设中存在较多线段相等关系时,可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知:
如图4,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,AE⊥BD于E,BF⊥AC于F,CG⊥BD于G,DH⊥AC于H,求证:
四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析:
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这些条件与四边形EFGH的对角线有关,若能证出OE=OG,OF=OH,则问题可获得解决。
证明:
∵AE⊥BD,CG⊥BD,
∴∠AEO=∠CGO,
∵∠AOE=∠COG,OA=OC
∴△AOE≌△COG,∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评:
当已知条件与四边形两对角线有关时,可证两对角线互相平分,从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗?
理由。
(1)如图2,将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形吗?
说出你的结论和理由:
。
分析:
因为题设与四边形角有关,故考虑四边形的两组角相等解决问题。
解:
(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°,
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°,∠C=60°,
∴∠ABC=∠ADC,∠A=∠C
(2)四边形ABC1D1是平行四边形,理由如下:
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时,有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D,∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1,∠BC1D1=
∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
点评:
(2)也可这样证明:
由
(1)知ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时,始终有AB∥C1D1,故ABC1D1是平行四边形。
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分容后,对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑:
一、考虑“对边”关系
思路1:
证明两组对边分别相等
例1如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.求证:
四边形ACEF是平行四边形.
证明:
∵DE是BC的垂直平分线,
∴DF⊥BC,DB=DC.
∴∠FDB=∠ACB=90°.
∴DF∥AC.∴CE=AE=
AB.
∴∠1=∠2.
又∵EF∥AC,AF=CE=AE,
∴∠2=∠1=∠3=∠F.
∴△ACE≌△EFA.
∴AC=EF.
∴四边形ACEF是平行四边形.
思路2:
证明两组对边分别平行
例2已知:
如图2,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,D在BC上,延长ED到F,使ED=DF=EB.连结FC.
求证:
四边形AEFC是平行四边形.
证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵ED=EB,∴∠B=∠EDB.
∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.
∵E是AB的中点,∴BD=CD.
∵∠EDB=∠FDC,ED=DF,
∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.
∴AB∥CF.
∴四边形AEFC是平行四边形.
思路3:
证明一组对边平行且相等
例3如图3,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点.
求证:
四边形ENFM是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C.
又∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF.
∴∠1=∠2,DE=BF.
∵M、N分别是DE、BF的中点,
∴EM=FN.
∵DC∥AB,∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.∴EM∥FN.
∴四边形ENFM是平行四边形.
4
二、考虑“对角”关系
思路:
证明两组对角分别相等
例4如图4,在正方形ABCD中,点E、
F分别是AD、BC的中点.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
证明:
(1)在正方形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=
90°,∵AE=
AD,CF=
BC,
∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.
(2)由
(1)△ABE≌△CDF知,∠1=∠2,∠3=∠4.
∴∠BED=∠DFB.
∵在正方形ABCD中,∠ABC=∠ADC,
∴∠EBF=∠EDF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路:
证明两条对角线相互平分
例5如图5,在平行四边形ABCD中,P1、P2是对角线BD的三等分点.
求证:
四边形AP1CP2是平行四边形.
证明:
连结AC交BD于O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BP1=DP2,∴OP1=OP2.
∴四边形AP1CP2是平行四边形.
平行四边形的识别浅析
平行四边形是初中数学中的基本图形,正确识别平行四边形,是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。
识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点,而且只需要两个条件,为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形,我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
1.1两组对边分别平行,如图1,AB∥CD,AD∥BC。
1.2两组对边分别相等,如图1,AB=CD,AC=BC。
1.3两组对角分别相等,
如图1,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD。
1.4一组对边平行且相等,如图1,AB∥CD,AB=CD。
1.5两条对角线互相平分,如图1,OA=OC,OB=OD。
2利用定义和定理间接识别平行四边形
2.1一组对边平行且一组对角相等,如图1,AB∥CD,∠ABC=∠ADC。
证明:
∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC∴∠ADC+∠BCD=180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行)
2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线,如图1,AB∥CD,OA=OC。
证明:
∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA在⊿AOB和⊿COD中,∠BAC=∠DCA,OA=OC,∠AOB=∠COD∴⊿AOB≌⊿COD(ASA)∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等)
2.3两组邻角互补,而且两组邻角要有一个公共角,
如图1,∠DAB+∠ABC=180°,∠ABC+∠BCD=180°。
证明:
∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC又∵∠ABC+∠BCD=180°
∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边平行)
3不能识别为平行四边形
3.1两组不同的邻角互补,
如图2,∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,可以画出梯形。
3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角,涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。
两组邻边相等,如图3,AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。
两对邻角相等,如图4,∠A=∠D,∠B=∠C,可以画出等腰梯形。
3.3一组对边平行且另一组对边相等,
如图4,AD∥BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。
3.4一组对边相等,一组对角相等,不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图5:
①作∠ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,②过点A、B、C作⊙O1,③以点C为圆心,以线段AB长为半径作⊙C,④以AC为弦作⊙O1的等圆⊙O2,交⊙C于D、E两点,则四边形ABCD为平行四边形,而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形,即AB=CE,∠ABC=∠AEC。
3.5一组对边相等,对角线交点平分一条对角线,不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图6:
①作线段AB,②过线段AB的中点O作直线CD,③过点B作BE⊥CD,垂足为E,④以点E为圆心,小于线段OE的长为半径作⊙E,交CD于F、G两点,⑤以点A为圆心,BF长为半径作⊙A,交直线CD于H、I两点,则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形,而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形,如在四边形AGBI中,AI=BG,OA=OB。
说明一个四边形是平行四边形的思路
于秀坤
平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形.如何说明一个四边形是平行四边形呢?
要说明一个四边形是平行四边形,一般可以根据题目中所给的条件,分别通过下列的思路进行说明.
一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时,考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.
例1如图1,在△ABC中,AD是角的平分线,DE//AC交AB于点E,EF//BC交AC于点F,试说明AE=CF.
图1
分析:
由AD是角的平分线,可知∠1=∠2,由DE//AC,可知∠2=∠3,所以∠1=∠3,即可得AE=ED,要说明AE=CF,可转化为说明ED=EC,因此,只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了.
解:
因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3,所以AE=ED,
又因为DE//AC,EF//BC,所以四边形EDCF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
所以ED=CF,所以AE=CF.
二、当已知条件出现在四边形是对角上时,考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”.
例2如图2,AE、CF分别是ABCD的角∠DAB、∠BCD的平分线,试说明四边形AECF是平行四边形.
图2
解:
在ABCD中,因为∠DAB=∠BCD,又因为∠1=
∠DAB,∠2=
∠BCD,
所以,∠1=∠2,
因为AB//CD,所以∠3=∠1,∠4=∠2,
所以∠3=∠4,所以∠5=∠6,
所以四边形AECF是平行四边形.
三、当已知条件出现在四边形的对角线上时,考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
例3如图3,在□ABCD中,AC、BD相交于O,EF过O分别交AD、BC于E、F,GH过O分别AB、CD交于G、H.试说明四边形EGFH是平行四边形.
图3
解:
在□ABCD中,因为AB//CD,所以∠1=∠2,
因为OA=OC,∠3=∠4,所以△AOG≌△COH,所以OG=OH,
同理OE=OF,
所以四边形EGFH是平行四边形.
构造平行四边形解题
邹殿敏
平行四边形是一种特殊的四边形,它的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助线,构造平行四边形加以解决.
一、求线段的长
例1如图1,在正△ABC中,P为边AB上一点,Q为边AC上一点,且AP=CQ.今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm,则P点到C点的距离等于cm.
分析:
作QD//AB,交BC于点D,连接PD,MD.由△ABC为正三角形,易知BP=BD,AP=DQ,所以四边形APDQ为平行四边形.所以AMD是平行四边形APDQ的对角线.所以AD=2AM=2×19=38(cm).由△ABD≌△CBP可得PC=AD.所以PC=38cm.
二、证明线段相等问题
例2如图2,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连接AE.求证:
AE=AC.
分析:
连接BD.由AD与BE平行且相等,易知四边形AEBD是平行四边形,所以BD=AE.因为AC=BD,所以AE=AC.
三、证明线段和差问题
例3如图3,△ABC中,D,F是AB边上两点,且AD=BF,作DE//BC,FG//BC,分别交AC于点E,G.求证:
DE+FG=BC.
分析:
作GH//AB交BC于点H.则四边形BHGF是平行四边形.所以GH=BF=AD,FG=BH.因为DE//BC,GH//AB,所以∠1=∠C,∠A=∠2.所以△ADE≌△GHC.所以DE=HC.因为BH+CH=BC,所以DE+FG=BC.
四、证明线段倍分问题
例4如图4,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于O,连接OF.试说明:
AB=2OF.
分析:
连接BE.易知四边形ABEC为平行四边形.由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF,AO=OC,所以OF为△CAB的中位线,从而得出AB=2OF.
五、证明两直线平行问题
例5如图5,△ABC中,E,F分别是AB,BC边的中点,M,N是AC的三等分点,EM,FN的延长线交于点D.求证:
AB//CD.
分析:
连接BD交AC于点O,连接BM,BN.
由AE=BE,AM=MN可得ED//BN;由BF=CF,MN=NC可得BM//FD.所以四边形BMDN是平行四边形.所以OB=OD,OM=ON.所以OA=OC.由此可得出四边形ABCD是平行四边形.所以AB//CD.
六、证明两直线垂直问题
例6如图6,分别以△ABC的边AB,AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH,M为FH的中点.求证:
MA⊥BC.
分析:
设MA的延长线交BC于点D,延长AM至点N,使MN=AM,连接FN,HN.则四边形AHNF为平行四边形.所以FN=AH=AC,∠AFN+∠FAH=180°.因为∠BAC+∠FAH=180°,所以∠AFN=∠BAC.因为AF=AB,所以△AFN≌△BAC.所以∠1=∠2.
因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,所以∠ADB=90°.从而得出MA⊥BC.
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