初中数学实际问题与二次函数详解与练习.docx

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初中数学实际问题与二次函数详解与练习

初中数学专项训练：

实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题

一、围成图形面积的最值

1、只围二边的矩形的面积最值问题

例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形xx。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，所围成的xx面积最大？

最大面积是多少？

分析：

关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。

解：

（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），

根据题意，得：

；

又∵

（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，

即当时，

故当x=9米时，xx的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：

在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、只围xx的矩形的面积最值

例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

分析：

关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确xx出函数关系式

解：

设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），

根据题意，得：

；

又∵

∵中，a=＜0，∴y有最大值，

即当时，

故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。

点评：

如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？

请读者自己完成。

3、围成正方形的面积最值

例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的xx为周长做成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的xx分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的xx；若不能，请说明理由．

（1）解：

设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

由题意得：

解得：

当时，20-x=4；当时，20-x=16

答：

这段铁丝剪成两段后的xx分别是16厘米、4厘米。

（2）不能

理由是：

设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，

根据题意，得：

，

∵中，a=2＞0，∴y有最小值，

即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）正方形EFGH有没有最大面积？

若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1如图

（1）是一个横断面为抛物线形状的xx，当水面在l时，拱顶（xx洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是.

.

【解析】

试题分析：

由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：

y=ax2，利用待定系数法求解.

试题解析：

设此函数解析式为：

，；

那么（2，-2）应在此函数解析式上．

则

即得，

那么．

考点：

根据实际问题列二次函数关系式.

练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图

（1）所示.图

（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：

（1）柱子OA的高度是多少米？

（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1某市政府大力扶持大学生创业．xx在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看做一次函数：

y＝－10x＋500.

（1）设xx每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（6分）

（2）如果xx想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果xx想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）（3分）

答案：

（1）35；

（2）30或40；（3）3600.

【解析】

试题分析：

（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．

试题解析：

（1）由题意得出：

，

∵，

∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得：

，

解这个方程得：

x1=30，x2=40．

∴xx想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．

（3）∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，W≥2000.

∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.

设成本为P（元），由题意，得：

，

∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小．

∴当x=32时，P最小=3600．

答：

想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

考点：

二次函数的应用．

练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．

（1）平均每天的销售量y（只）与销售价x（元／只）之间的函数关系式为；

（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售只x（元／只）之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？

最大利润是多少元

一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：

.设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了

3．某公司营销两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：

销售种产品所获利润（万元）与所售产品（吨）之间存在二次函数关系

.当时，；当时，．

信息2：

销售种产品所获利润（万元）与所售产品（吨）之间存在正比例函数关系．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．xx按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：

．

（1）xx在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设xx获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果xx想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：

以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.

（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；

（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？

最大利润是多少元？

6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：

x

3000

3200

3500

4000

y

100

96

90

80

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:

租出的车辆数

未租出的车辆数

租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？

请求出公司的最大月收益是多少元．

初中数学专项训练：

实际问题与二次函数

参考答案

一、1

（1）y=2x2-2ax+a2

（2）有.当点E是AB的中点时，面积最大.

【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式；

（2）先将

（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．

解：

∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD=a米．

∵四边形EFGH为正方形，

∴∠FEH=90°，EF=EH．

在△AEF与△DHExx，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

∴△AEF≌△DHE（AAS），

∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2，

即y=2x2-2ax+a2；

（2）∵y=2x2-2ax+a2=2（x-）2+，

∴当x=时，S有最大值．

故当点E是AB的中点时，面积最大．

二、练习1

（1）

（2）（3）

【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案．

（2）通过抛物线的顶点坐标求得

（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案．

解：

（1）把x=0代入抛物线的解析式

得：

y=，即柱子OA的高度是

（2）由题意得：

当x=时，y=,即水流距水平面的最大高度

（3）把y=0代入抛物线

得：

=0，解得，x1=（舍去，不合题意），x2=

故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外

2．

（1）①；②10；

（2）①14.5；②．

【解析】

试题分析：

（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；

（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；

②在RT△WGFxx，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：

GF2=WF2﹣WG2，求出即可．

试题解析：

（1）①设抛物线解析式为：

，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：

，∴抛物线解析式为：

；

②∵要使高为3米的船通过，∴，则，解得：

，∴EF=10米；

（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：

；

②在RT△WGFxx，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：

GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=，此时宽度EF=米．

考点：

1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．

三、1．

（1）y=-3x+240；

（2）w=-3x2+360x-9600；（3）定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

【解析】

试题分析：

（1）根据题意知销售量y（只）与销售价x（元／只）之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；

（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；

（3）求获得最大利润，也就是求函数w=-3x2+360x-9600的最大值.

试题解析：

（1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；

（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；

（3）当x≤60，y随x的增大而减小，

当x=55时，w最大=1125

所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

考点：

（1）一次函数；

（2）二次函数．

2．

（1）；

（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

【解析】

试题分析：

（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；

（2）用配方法将

（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.

试题解析：

（1）由题意得：

，

∴w与x的函数关系式为：

.

（2），

∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.

答：

该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

考点：

1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.

3．见解析

【解析】

试题分析：

（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入

得解得，所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题意可列函数关系式为：

W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6，

试题解析：

（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，

∴

解得，

所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；3分

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，

则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，

∵-0.1＜0，

∴当m=6时，W有最大值6.6，

∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．

考点：

1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.

4．

（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；

（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【解析】

试题分析：

（1）根据每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.

（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）同时满足，根据函数图象的性质知道，随的增大而减小，当时，该函数有最大值时，有最小值500.

试题解析：

（1）当时，，，

∴政府这个月为他承担的总差价为600元。

（2）依题意得，，

，

∴当时，有最大值4000.

∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：

，

解得：

，.

，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：

当时，.

又，∴当时，w≥3000.

设政府每个月为他承担的总差价为元，.

，随的增大而减小.

∴当时，有最小值500.

∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.

5．

（1）（220－10x）；

（2）（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元．

【解析】

试题分析：

用含的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知所以x=1４时，最大为320.

试题解析：

（1）（220－10x）；

（2）3分

5分

6分

∵抛物线的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，随的增大而增大.8分

由题意可知，9分

∴当x=14时，最大为320.

∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.

考点：

１．根据实际问题列函数关系式．　２．二次函数的性质．

6．解：

（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，

将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：

。

∴。

将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。

∴y与x间的函数关系是。

（2）填表如下：

租出的车辆数

未租出的车辆数

租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：

当x=4050时，Wmax=307050，

∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元

【解析】

试题分析：

（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。

（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。

（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。