MATLAB插值与拟合.docx
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MATLAB插值与拟合.docx
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MATLAB插值与拟合
MATLAB插值与拟合
matlab学习2007-09-1415:
59:
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MATLAB插值与拟合
§1曲线拟合
实例:
温度曲线问题
气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
13
15
17
14
16
19
26
24
26
27
29
试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系,由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式,下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合,最后给出拟合的多项式系数。
1. 线性拟合函数:
regress()
调用格式:
b=regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)
说明:
b=regress(y,X)返回X处y的最小二乘拟合值。
该函数求解线性模型:
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量;ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量;y为n´1的向量;X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。
r中为形状残差,rint中返回每一个残差的95%置信区间。
Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1:
设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。
即y=10+x+ε;求线性拟合方程系数。
程序:
x=[ones(10,1)(1:
10)’]
y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1)
[b,bint]=regress(y,x,0.05)
结果:
x=
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
y=
10.9567
11.8334
13.0125
14.0288
14.8854
16.1191
17.1189
17.9962
19.0327
20.0175
b=
9.9213
1.0143
bint=
9.7889 10.0537
0.9930 1.0357
即回归方程为:
y=9.9213+1.0143x
2. 多项式曲线拟合函数:
polyfit()
调用格式:
p=polyfit(x,y,n)
[p,s]=polyfit(x,y,n)
说明:
x,y为数据点,n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
矩阵s用于生成预测值的误差估计。
(见下一函数polyval)
例2:
由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序:
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
p=polyfit(x,y,n)
xi=linspace(0,1,100);
z=polyval(p,xi);%多项式求值
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:
’,x,y,’b’)
legend(‘原始数据’,’3阶曲线’)
结果:
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
多项式为:
16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形:
也可由函数给出数据。
例3:
x=1:
20,y=x+3*sin(x)
程序:
x=1:
20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,6)
xi=1inspace(1,20,100);
z=poyval(p,xi); %多项式求值函数
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:
’,x,y,’b’)
legend(‘原始数据’,’6阶曲线’)
结果:
p=
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
再用10阶多项式拟合
程序:
x=1:
20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,10)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b')
legend('原始数据','10阶多项式')
结果:
p=
Columns1through7
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
Columns8through11
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671
可用不同阶的多项式来拟合数据,但也不是阶数越高拟合的越好。
3. 多项式曲线求值函数:
polyval()
调用格式:
y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明:
y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。
则YDELTA将至少包含50%的预测值。
4. 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数:
polyconf()
调用格式:
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
说明:
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。
1-alpha为置信度。
例4:
给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序:
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
[p,s]=polyfit(x,y,n)
alpha=0.05;
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
结果:
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
s=
R:
[4x4double]
df:
7
normr:
1.1406
Y=
Columns1through7
-0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413
Columns8through11
0.8238 0.8963 1.2594 2.0140
DELTA=
Columns1through7
1.3639 1.1563 1.1563 1.1589 1.1352 1.1202 1.1352
Columns8through11
1.1589 1.1563 1.1563 1.3639
5. 稳健回归函数:
robust()
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言,受异常值的影响较小。
调用格式:
b=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’)
说明:
b返回系数估计向量;stats返回各种参数估计;’wfun’指定一个加权函数;tune为调协常数;’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项;为’off’时忽略常数项。
例5:
演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。
首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集,然后改变一个y的值形成异常值。
调用不同的拟合函数,通过图形观查影响程度。
程序:
x=(1:
10)’;
y=10-2*x+randn(10,1);
y(10)=0;
bls=regress(y,[ones(10,1)x])%线性拟合
brob=robustfit(x,y)%稳健拟合
scatter(x,y)
holdon
plot(x,bls
(1)+bls
(2)*x,’:
’)
plot(x,brob
(1)+brob
(2)*x,’r‘)
结果:
bls=
8.4452
-1.4784
brob=
10.2934
-2.0006
分析:
稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些,忽略了异常值。
最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响,向异常值偏移。
6. 向自定义函数拟合
对于给定的数据,根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数:
nlinfit()
调用格式:
[beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao)
说明:
beta返回函数’fun’中的待定常数;r表示残差;J表示雅可比矩阵。
X,y为数据;‘fun’自定义函数;beta0待定常数初值。
例6:
在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降,假定在x≥8时,y与x之间有如下形式的非线性模型:
现收集了44组数据,利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
x y x y x y
8 0.49 16 0.43 28 0.41
8 0.49 18 0.46 28 0.40
10 0.48 18 0.45 30 0.40
10 0.47 20 0.42 30 0.40
10 0.48 20 0.42 30 0.38
10 0.47 20 0.43 32 0.41
12 0.46 20 0.41 32 0.40
12 0.46 22 0.41 34 0.40
12 0.45 22 0.40 36 0.41
12 0.43 24 0.42 36 0.36
14 0.45 24 0.40 38 0.40
14 0.43 24 0.40 38 0.40
14 0.43 26 0.41 40 0.36
16 0.44 26 0.40 42 0.39
16 0.43 26 0.41
首先定义非线性函数的m文件:
fff6.m
functionyy=model(beta0,x)
a=beta0
(1);
b=beta0
(2);
yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));
程序:
x=[8.008.0010.0010.0010.0010.0012.0012.0012.0014.0014.0014.00...
16.0016.0016.0018.0018.0020.0020.0020.0020.0022.0022.0024.00...
24.0024.0026.0026.0026.0028.0028.0030.0030.0030.0032.0032.00...
34.0036.0036.0038.0038.0040.0042.00]';
y=[0.490.490.480.470.480.470.460.460.450.430.450.430.430.440.43...
0.430.460.420.420.430.410.410.400.420.400.400.410.400.410.41...
0.400.400.400.380.410.400.400.410.380.400.400.390.39]';
beta0=[0.300.02];
betafit=nlinfit(x,y,'sta67_1m',beta0)
结果:
betafit=
0.3896
0.1011
即:
a=0.3896,b=0.1011拟合函数为:
§2插值问题
在应用领域中,由有限个已知数据点,构造一个解析表达式,由此计算数据点之间的函数值,称之为插值。
实例:
海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试,在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值,希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。
并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点(xi,yi)进行插值。
1. 线性插值:
由已知数据点连成一条折线,认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说,数据点数越多,线性插值就越精确。
调用格式:
yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值
zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值
wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值
说明:
yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
例1:
已知数据:
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序:
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.6.4.81.52];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:
.02:
1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')
结果:
yi0= 0.3500
要得到给定的几个点的对应函数值,可用:
xi=[0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
结果:
yi=1.2088 1.5802 1.3454
(二)二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致,对原始数据点(x,y,z)构造见世面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
一、单调节点插值函数,即x,y向量是单调的。
调用格式1:
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)
‘liner’是双线性插值(缺省)
调用格式2:
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’)
’nearest’是最近邻域插值
调用格式3:
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)
‘spline’是三次样条插值
说明:
这里x和y是两个独立的向量,它们必须是单调的。
z是矩阵,是由x和y确定的点上的值。
z和x,y之间的关系是z(i,:
)=f(x,y(i))z(:
j)=f(x(j),y)即:
当x变化时,z的第i行与y的第i个元素相关,当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。
如果没有对x,y赋值,则默认x=1:
n,y=1:
m。
n和m分别是矩阵z的行数和列数。
例2:
已知某处山区地形选点测量坐标数据为:
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为:
z=8990878592919693908782
9296989995918986848284
9698959290888584838185
8081828995969392898686
8285879899969788858283
8285899495939291868488
8892939495898786838192
9296979896939584828184
8585818280808185909395
8486819899989796958487
8081858283848790958688
8082818485868382818082
8788899899979698949287
其地貌图为:
对数据插值加密形成地貌图。
程序:
x=0:
.5:
5;
y=0:
.5:
6;
z=[8990878592919693908782
9296989995918986848284
9698959290888584838185
8081828995969392898686
8285879899969788858283
8285899495939291868488
8892939495898786838192
9296979896939584828184
8585818280808185909395
8486819899989796958487
8081858283848790958688
8082818485868382818082
8788899899979698949287];
mesh(x,y,z) %绘原始数据图
xi=linspace(0,5,50); %加密横坐标数据到50个
yi=linspace(0,6,80); %加密纵坐标数据到60个
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi); %生成网格数据
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic'); %插值
mesh(xii,yii,zii) %加密后的地貌图
holdon %保持图形
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %生成网格数据
plot3(xx,yy,z+0.1,’ob’) %原始数据用‘O’绘出
2、二元非等距插值
调用格式:
zi=griddata(x,y,z,xi,yi
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