圆的垂径定理试题附答案讲解.docx
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圆的垂径定理试题附答案讲解
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理
1、(2013年潍坊市)如图,OO的直径AB=12CD是OO的弦,CDLAB垂足为P,且BPAP=1:
5,则CD的长为().
A.4...2
B.8、,2C.2.5D.4、5
2、(2013年黄石)如右图,在RtABC中,
AC=3,
BC=4,以点C为圆心,CA为
半径的圆与AB交于点D,则AD的长为(
厉B
A.
9B.
5
24C.
5
18D.
5
3、(2013河南省)如图,CD是
结论中不一定正确的是()
O的直径,
弦AB_CD于点G,
直线EF与O相切与点D,则下列
B
D
A.AG=BGB.AB
//BFC.AD//BC
D./ABC=ADC
已知。
0的直径CD=10cmAB是。
0的弦,AB丄CD垂足为M且AB=8cm贝UAC
B.匚!
cm
如图,已知半径
C.XIcm或匚!
cmD.】;'1:
cm或虬二cm
OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cmCD=3cm则圆O
4、(2013?
泸州)
的长为(—)
A.】cm
5、(2013?
广安)
A.:
cm
6
B.5cm
1'cm
6
石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为
C.4cmD.
&(2013?
绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,
5n,则水面宽AB%()
A.4mB.5mC.6mD.8m
7、(2013?
温州)如图,在OO中,OCL弦AB于点C,AB=4OC=1贝UOB的长是()
A.:
B.■C.'■D.皿
8、(2013?
嘉兴)如图,OO的半径ODL弦AB于点C,连结AO并延长交OO于点E,连结EC.若
AB=8CD=2贝UEC的长为()
9、(2013?
莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,贝U这个圆锥的高为()
11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10水面宽AB=16
面圆心O到水面的距离OC是
A.4B.5C.6D.8
12、(2013?
宜昌)如图,DC是OO直径,弦AB丄CD于F,连接BQDB则下列结论错误的是(
D
A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD./DBC=90
13、(2013?
毕节地区)如图在OO中,弦AB=8OCLAB垂足为C,且OC=3则OO的半径(
14、(2013?
南宁)如图,AB是OO的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=,/BAC=/BOD则OO
2
15、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是()
A.3B.4C.,5D..一7
16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水
17、(2013?
内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与OO交于BC两点,则弦BC的长的最小值为.
18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆OO上的点,在以下判断中,不.正确的是()
h当眩最长叭AAPC是等腰三角形。
当AAPC是尊腰三角形吋,P01AC.
C.当P01AC时,ZACP=30:
.
D.当ZACP=30\APBC是直角三角形°
E.
19、(2013?
宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4^,弦CD=DE=4连结OBOD则图中
两个阴影部分的面积和为.
22、(2013?
株洲)如图AB是OO的直径,/BAC=42,点D是弦AC的中点,则/DOCK度数是度.
23、(2013?
黄冈)如图,M是CD的中点,EMLCD若CD=4EM=8则硕所在圆的半径为24、(2013?
绥化)如图,在OO中,弦AB垂直平分半径OC垂足为D,若OO的半径为2,则弦AB的长为
25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与OO相切于点A,ACCD是OO的两条弦,且CD//AB,若OO的半径为5,CD=4则弦AC的长为
2
26、(2013?
张家界)如图,OO的直径AB与弦CD垂直,且/BAC=40,则/BOD=.
27、(2013?
遵义)如图,OC是OO的半径,AB是弦,且OCLAB点P在OO上,/APC=26,则/BOC=度.
28、(2013陕西)如图,AB是OO的一条弦,点C是OO上一动点,且/ACB=30,点E、F分别是ACBC的中点,直线EF与OO交于GH两点,若OO的半径为7,则GE+FH勺最大值为.
29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,°P与
30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
小刚身高1.6米,测得其影长为2.4
米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的
31、(2013?
白银)如图,在OO中,半径OC垂直于弦AB垂足为点E.
(1)若OC=5AB=8求tan/BAQ
(2)若/DAChBAC且点D在OO的外部,判断直线AD与OO的位置关系,并加以证明.
32、(2013?
黔西南州)如图,AB是OO的直径,弦CELAB与点E,点P在OO上,/仁/C,
(1)求证:
CB//PD
3
(2)若BC=3sin/P=3,求OO的直径.
5
33、(2013?
恩施州)如图所示,AB是OO的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CDLAB于点D,CD交AE于点F,过C作CG/AE交BA的延长线于点G.
(2)求证:
AF=CF(3)若/EAB=30,CF=2求GA的长.
34、(2013?
资阳)在OO中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结
CD
(1)
(2)
参考答案
1、【答案】D.
【考点】垂径定理与勾股定理•
【点评】连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决•
2、【答案】C
【解析】由勾股定理得A吐5,则sinA=-,作CELAD于E,则AE=DE在Rt△AEC中,5
sinA=箜,即4=CE,所以,CE=12,AE=9,所以,AD=18AC53555
3、【答案】C
【解析】由垂径定理可知:
A一定正确。
由题可知:
EFLCD又因为AB丄CD所以AB//EF,即B定正确。
因为/ABC和/ADC所对的弧是劣弧,AC根据同弧所对的圆周角相等可知D一定正确。
4、【答案】C
【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】分类讨论
【分析】先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论
【解答】解:
连接AC,AO
■/©O的直径CD=10cmAB丄CDAB=8cm二AM=ABX8=4cmOD=OC=5qm
当C点位置如图1所示时,tOA=5cmAM=4cmCDLAB
•••OM=「”「'=「_,「=3cm,二CM=OC+OM=5+3=8cm
•••AC==.T-=4"cm
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cmIOC=5cm•-MC=53=2cm,
1^911^92
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键
5、【答案】A
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】连接AO根据垂径定理可知AC=AB=4cm设半径为x,则OC=k3,根据勾股定理即
可求得x的值
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一般
6【答案】D
【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】连接0A根据桥拱半径0C为5n,求出0A=5m根据CD=8m求出0D=3,根据AD=—[7求出AD最后根据AB=2AD即可得出答案.
【解答】
解:
连接0拟丁桥拱半径0C为阪TCD二弧屮
p.0D=8-二ADf/。
八—。
皤洁_3口皿/-AB=2AD=2X4=S(w)
【点评】此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理.
7、【答案】B
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出0B
C=AB,在Rt△OBC中,0B=〔厂J「厂二二匸.
【解答】解:
:
OCL弦AB于点C,「.AC=B
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容
8、【答案】D
【考点】垂径定理;勾股定理;圆周角定理
【分析】先根据垂径定理求出AC的长,设。
0的半径为r,则OC=r-2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE由圆周角定理可知/ABE=90,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长.
【解答】
W:
■-'©0的半径0D丄弦AB于点匚AB=8,.-.AC=AB=4J屮
设00的半径为「则0C=r-2,在RtAAOC中,TAC二4,0C=r-2,.-.OA:
=AC:
+OC\即r:
=4:
+Cr-2)解得r=5,.■.AE=2r=10)小连接BE,TAE是的直径,.-.ZABE=90°,在中,*■.■AE=10,AB=8,BE=^AE2_ABfc^102-sfc6,亠
在皿磁.中,■■■BE=6)BC=4,二隹二JbeJb产后再戈五•
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键
9、【答案】A
【考点】圆锥的计算.
【分析】过O点作OCLAB垂足为D,交。
0于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求/A=30,同理可得/B=30,在厶AOB中,由内角和定理求/AOB然后求得弧
AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾股定理求得其高即可.【解答】
解:
过0点作0C1AB,垂足为D,交00于点C,亠
由折叠的性质可知,OD=OC=OA,
由此可得,在皿规中,ZA=30°,同理可得ZB=30°,屮在ZXAOB中,由內甬和定理,得ZA0B=180o-ZA-ZB=120°
.•.弧AB的长为1SOKX3=2K设围成的圆锥的底面半径为「
180
则27Tr=27l.-.r=lciri.-•圆锥的高为冷护一严近
【点评】本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形
10、【答案】C
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】连接OC先根据垂径定理求出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的长
【解答】
解:
连接OC,VCD1AB,CD=8.APC=CD=X8=4(在RtAOCP中,TPO4,0片3,*
•'•0C二JPC2+OPAJ42+3上5•屮
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键
11、【答案】C
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】根据垂径定理得出A吐2BC再根据勾股定理求出OC的长
【解答】解:
:
OCLAB,A吐16,二BC等于】
2AB=8。
在Rt△BOC中,OB=10,BO8,==JI『—J=飞。
12、【答案】C
【考点】垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理
【分析】根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.
【解答】•••DC是。
0直径,弦AB丄CD于F,「.点D是优弧AB的中点,点C是劣弧AB的中点,
A、五二範,正确,故本选项错误;B、AF=BF正确,故本选项错误;
C、OF=CF不能得出,错误,故本选项错误;D/DBC=90,正确,故本选项错误;【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容,难度一般
13、【答案】A
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】连接OB先根据垂径定理求出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度
【解答】
(军)解;连接OB,VOC1AB,AB=8;J.\BC=AB=X8=4,
在中,0B珂°C2+OB=J3?
+4匕徭
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键
14、【答案】B
【考点】垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
【分析】先根据/BAC=/BOD<得出:
=」,故可得出ABICD,由垂径定理即可求出DE的长,
2
再根据勾股定理即可得出结论
【解答】解:
I/BAC=/BOD^C^S,二AB丄CD:
AE=CD=,二DE冷CD=4
££
设OD=,则OE=AEr=8-r,在RtODE中,OD=,DE=4OE=8-r,••9D=dE+oE,即卩r2=42+(8-r)2,解得r=5.
【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键
15、【答案】C
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】过点0作ODLAB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,禾U用勾股定理即可得出0D的长
【解答】
解:
如图所示:
过点0作0D1AB于点6'.'05=3,AB二3,0DJ.AB,二BD二AB二X4二2,在RtZ\BOD中,0D=Joe》—&口上_2
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键
16、【答案】C
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】过点O作ODLAB于点D,连接OA由垂径定理可知AD=AB设OA二r,贝UOD=r-2,
2
在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.
【解答】
解;如图所示;过点0作0D1AB于点D,连接0A,
T0D1AB,二AD二丄AB二丄X8=4cm,设0A二“则0D=r-2,
22
在RtAAOD中,O4OD:
+AD:
即(r-2)十4打解得r=5cm.
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
17、【答案】24
【考点】一次函数综合题.
【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
【解答】
解;T直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,丁点D的坐标是〔3,4)。
.:
0D二5,
T以原点0为圆心的圆过点A(13,0),
二圆的半径为1気
■■.06=13,ABD=12,
■'■BC的长的最小值为24;
【点评】此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.
18、【答案】C
【考点】圆和等边三角形的性质,等腰三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,三角形内角和定理。
【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断:
当弦PB最长时,PB是。
O的直径,所以根据等边三角形的性质,BP垂直平分AC,从
而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得P心PC即厶APC是等腰三角形,判断
A正确;
当厶APC是等腰三角形时,根据垂径定理,得PCLAC判断B正确;
当PCIAC时,若点P在优弧AC上,则点P与点B重合,/ACP=60°,则/ACP=60°,判断C错误;
当/ACP=30°时,/ABP=ZAC圧30°,又/ABG60°,从而/PBG30°;又/BAC=60°,所以,/BCP=90°,即厶PBC是直角三角形,判断D正确。
19、【答案】10n
【考点】扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.
【分析】根据弦AB=BC弦CD=DE可得/BCD=90,/BCD=90,过点O作OHBC于点F,OGLCD于点G,在四边形OFCC中可得/FCD=135,过点C作CN/OF交OG于点N,判断△CNG△OMN为等腰直角三角形,分别求出NGON继而得出OG在Rt△OG冲求出OD即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可.
【解答】
解;T弦AB=BC,弦CD=DE,・・・点B是弧就的中点,点D是弧CE的中点,ZB0D=90*,过点0作0F1BC于点F,0G1CD于点G,屮
则BF二FG二2迈,CG二肛I二ZZF0G=45fi,衽四边形OFCG中,ZFCD=1356,过点C作CN//0F,交0G于点N.则ZFCNWF,ZhICG二13兰-90a二45",Acng为等腰三角形,二血贻乙卩
过点N作N1I110F于点乩则MN-FC-2V2,卜
衽琴腰三角形中,/.0G=0N+NG=6,屮
在Mass申o叫跖乔后庐圆o的半径为2血―
故50“叱躱匝二”,
360
【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大
20、【答案】2=
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】通过作辅助线,过点O作ODLAB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2O,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.
【解答】_
解:
过点0作0D1AB交AB于点D,
'/OA=2OD=2cm,卍
二^VoA2-0Dfc^22-1
VODlAB,.\AB=2AD=2V3cid.
【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用
21、【答案】28
【考点】圆周角定理;垂径定理.
【分析】根据垂径定理可得点B是疋中点,由圆周角定理可得/ADB=/BOC继而得出答案.
2
【解答】解:
:
OBLAC,•••爲=奁,•••/ADB=/BOC=28
2
【点评】此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
22、【答案】48
【考点】垂径定理
【分析】根据点D是弦AC的中点,得到ODLAC,然后根据/DOCMDOA即可求得答案.
【解答】解:
:
AB是OO的直径,二OA=OC/A=42O/-ZACOMA=42°
TD为AC的中点,二ODLAC,/ZDOC=90-ZDCO=90-42°=48°.
【点评】本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.
23、【答案】亠
4
OC由M是CD的中点,EMLCD可得EMSOO的圆心点O,然后设半径为x,8-x)2+22=x2,解此方程即可求得答案.
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】首先连接由勾股定理即可求得:
【解答】
EM1CD,AEMi*®0的圆心点0,
二CM二二2,0M=8-0E-8-阴
2
即CS-x):
+2:
-x\解得;k二兰
4
二&5所在圆的半径为*H
4
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理•此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
24、【答案】2二
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】连接OA由AB垂直平分OC求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长.
【解答】
解:
连接0打由AB垂直平分0匚得到OD=1OC=1,
2
V0C1AB,.\D为AB的中点,仪
则AB=2AD=2^oa2-qd^^2-1屮
故答案为:
2V3.卩
【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
25、【答案】25
【考点】垂径定理;勾股定理;切线的性质.
【分析】本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。
【解答】连接OA作OELCD于E,易得OALAB,CE=DE=2由于CD//AB得EOA三点共线,连OC,
在直角三角形OE0中,由勾股定理得OE』,从而AE=4再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=2^5
2
26、【答案】80°
【考点】圆周角定理;垂径定理.
【分析】根据垂径定理可得点B是无中点,由圆周角定理可得/B0D=2BAC继而得出答案.
【解答】解:
:
,。
。
的直径AB与弦CD垂直,•••;=」,•••/BOD=2BAC=80.
【点评】此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
27、【答案】52°
【考点】圆周角定理;垂径定理.
【分析】由0C是。
0的半径,AB是弦,且OCLAB根据垂径定理的即可求得:
「=:
■,又由圆
周角定理,即可求得答案.
【解答】解:
:
OCMOO的半径,AB是弦,且OCLAB
•••,'=:
',•••/BOC=ZAPC=2<26°=52°.
【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理•此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
28、【答案】14-3.5=10.5
【考点】此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。
【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。
连接OAOB因为/
1
ACB=30,所以/AOB=60,所以OA=OB=AB=7因为E、F中ACBC的中点,所以EF』AB=3.5,2
因为GE+FH=GHEF,要使GE+FH最大,而EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,所以当GH为直径时,GE+FH勺最大值为14-3.5=10.5
29、【答案】(3,2)
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】过点P作PDLx轴于点D,连接OP先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案.
【解答】
解|过点P作PDix轴于点乩连接0P,屮
TA(6,0)?
PD10A,二。
二0曲3,心
在RtAOPD中,V0P=Vl3,0D=3,4
-P^7oP2
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