数学最是直观能致远.docx
- 文档编号:6760788
- 上传时间:2023-01-10
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:251.89KB
数学最是直观能致远.docx
《数学最是直观能致远.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学最是直观能致远.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学最是直观能致远
数学,最是直观能致远
——培养小学生几何直观的价值思考与实践探索
江苏省常州市新北区三井实验小学李志军
【摘要】
几何直观作为《数学课程标准(2011年版)》新提出的核心概念,主要指借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知和整体把握的能力与意识。
几何直观可以促进学生对数学概念、算理、关系、思路的理解,创新思维能力的培养。
教师可以通过鼓励动手操作、指导读图、训练画图、运用画图解决问题等策略培养学生的几何直观。
【关键词】几何直观内涵价值策略
几何直观是《数学课程标准(2011年版)》新提出核心概念。
几何直观在数学学习和研究中的重要性不言而喻,可以看作是学生最基本的数学素养之一。
结合本从的工作实践,谈一谈作为一名小学数学教师对几何直观价值认识与培养学生几何直观的实践策略。
一、几何直观的内涵思考
《数学课程标准(2011年版)》提出了几何直观这一核心概念。
更加准确地把握几何直观的概念内涵,是教师有效实施新课程的前提与基础。
从字面看,几何直观包括两点:
一是几何,在这里主要指几何图形;二是直观,即,“①即感性认识。
其特点生动性、具体性和直接性;②指旧唯物主义对认识的理解”;《中国大百科全书》的解释是:
“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。
直观的字面意义是直接的观察。
”
课标指出:
“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”
西方哲学家通常认为,“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识”。
心理学家则认为,“直观是从感觉的具体的对象背后,发现抽象的、理想的能力”。
当代数学家徐利治教授提出,“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想,所产生的对事物关系直接的感知与认识,而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”。
综合来看,笔者更认同孔凡哲和史宁忠在《关于几何直观的含义与表现形式》中指出的:
“几何直观是指,借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知和整体把握的能力。
”
二、几何直观的价值追问
几何图形是推动思维展开的基础,也是获得深度数学理解的依托。
这正如苏联著名数学家A.N.柯尔莫戈罗夫所说:
“只要有可能,数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……几何想象,或如同平常人们所说的几何直觉,对于几乎所有数学分科的研究工作,甚至对于最抽象的工作,有着重大的意义。
”几何直观对于小学生的数学学习也有着重要的作用与意义。
(一)有助于学生更深入地理解概念
数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式,是逻辑思维的细胞,抽象性和概括性是其基本特征对于小学生而言,抽象的概念往往使他们理解起来非常困难。
在概念引入过程中借助于几何直观,,可以帮助学生生成具体具体概念的直观印象,进而促进对概念内涵的把握。
例如:
学习三角形的高,如果教师说“在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高,简称为高”时,大多数学生可能会不解其意。
如果教师同时在三角形里作出了高,大家看到了图就会说,“噢,原来就是这样的线段”。
若干年后,再提到三角形的高时,学生头脑中存储的肯定不是三角形高的定义,而是那个画有三角形高的图形。
(二)有助于学生更清晰地理解算理
算理是小学数学学习的重要内容。
几何直观能帮助学生去理解算理,进而掌握算法,最终提升计算能力。
。
例如,分数乘分数的算理及其应用是教学的一大难点,学生只知道分数乘分数,分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母,能约分的要先约分。
对于其算理的理解不深。
但如果借助几何直观,可以帮助学生理解算理。
根据第一幅图学生明确斜线部分分别占
的
和
,各占这张纸的
和
。
根据第二幅图让学生画斜线表示计算结果,从图形中直观地看出,把一个长方形先平均分成三份,再将每一份平均分成五份,一共平均分成了15小份,每小份占这个长方形的
,
涂了这样的两份,就表示
。
再让学生观察图形和算式,说一说你有什么发现?
最终,学生不仅能说出算法的过程,更能讲清算法背后的算理。
(三)有助于学生更明确地理解关系
数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数或数量关系是在具体的情境中抽象概括出来的,具有高度的抽象性。
教师用直观的图形表示冗长的数学问题情境、数字或数量关系,充分利用可视化的图形把不可视的内在的数量关系和数学本质形象地表示出来,帮助学生提升数学关系的理解。
例如,小学数学中根据两种不同的标准分别将三角形分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形;等腰三角形、等边三角形。
学生对这些三角形之间的关系理解不是很清楚,如果借助图形表示出这些三角形之间的关系,学生看了就会明白了。
同样,在解决问题教学中,读懂题目的意思,准确理解数量间的关系是基础,如果学生对题目的意思都没读懂,数量间的关系理解不全面,不透彻,甚至理解发生了错误,注定要失败的。
画图就是一种很好的方法,利用线段图或示意图这一直观的手段,沟通图形与具体数量之间的关系,通过观察直观、具体的图形,强化对题目中数量关系的理解。
苏教版教材中《解决问题的策略》教学中有专门的一个单元就是教学画图,借助画图理解数量关系。
(四)有助于学生更好地理解思路
学习过程中,几何图形可以帮助学生描述问题,使问题变得直观、简单。
例如,小明把720毫升果汁倒入6个小杯和一个大杯中,正好倒满,小杯的容量是大杯的
。
小杯和大杯的容量各是多少毫升?
这一题的解题思路是6个小杯和一个大杯都假设成大杯或都看成小杯,都是把两种杯子转化成一种杯子进行计算。
借助图示,学生看了就一目了然了。
左边是把六个小杯看作两个大杯,一共有3个大杯,可以求出每个大杯的容量是240毫升,每个小杯的容量是80毫升;右图是把一个大杯看作三个小杯,一共有9个小杯,每个小杯的容量是80毫升,一个大杯的容量就是240毫升。
(五)有助于发展学生的创新思维能力
几何直观本身就是一种组织数学思维的方式。
数学史充分表明,几何直观在科学发现过程中起到不可磨灭的作用,数学家们常常力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题,从而通过图形的直感,开启发现的思路。
因此,在数学教学中,可以充分利用几何直观的这一思维引导特征,帮助学生以形导思、深化理解,体验深层的数学发现过程,发展自身的创新思维能力。
例如:
苏教版五年级下册解决问题的策略中有这样一题,计算
。
学生根据通分或者把一个数写成两个数的差的形式算出了结果。
教师介绍了一种方法,出示一个正方形表示1,请学生分别在正方形内表示出
,引导学生思考,这个算式的结果与涂色部分的面积有什么关系?
涂色部
分占正方形的几分之几就是这个算式的结果。
再启发学生思考,涂色部分占这个正方形的几分之几如何思考呢?
很快有学生发现涂色部分比正方形少一个空白部分,而空白部分与最后一个分数一样大小,也就是涂色部分比正方形1少
,这样
=1-
=
。
本题的计算过程中,把求几个数的和转化成了求涂色部分占正方形的几分之几是一次创新思维,把数转化成形来思考之后,发现想知道涂色部分占正方形的几分之几有点困难,而空白部分却能一眼看出是正方形的
,这样把比较困难的求涂色部分的面积,转化成了十分容易的求空白部分的面积,用1再减去空白部分的面积。
在这样的过程中学生的收获会很多,进行了两次创新,第一把数的问题转化成了形的问题,第二把求涂色的面积转化成了求空白部分的面积。
这样,不仅仅能够深化理解,而且能够培养一种思维方式——凭借简捷、直观的载体,巧妙地化解相关问题。
这种思维正是创新性思维的重要成分之一。
三、几何直观的培养策略
由上文可见,几何直观对小学生数学知识的理解以及数学能力的培养都有着重要的作用。
那么如何培养小学生的几何直观呢?
笔者在实际教学中发现,小学生正处于皮亚杰所说的具体运算阶段,抽象思维能力有限,因此,复杂而抽象的几何模型很难在学生头脑中一下建立起来,借助各种丰富的活动帮助学生认识图形、摆弄图形、观察图形、画出图形,在教学中具有较好的实践效果。
(一)重视操作活动,丰富图形表象
儿童普遍喜欢动手操作的活动,摆一摆、画一画、折一折、移一移、转一转、比一比等,通过操作理解图形本质,在操作中积累的丰富活动经验,形成的个体经验是发展几何直观的基础,是感受、理解几何直观的有力支撑。
表象是几何直观思维的基础元素,学生大脑中的表象越丰富,越容易把抽象的问题转化成直观的表象,也容易从直观的表象抽象出本质特征。
在几何教学中,数学教师应立足于学生的个体经验,充分利用活动与游戏,引导学生仔细观察、动手操作,使学生在理性认识与感性操作过程中认识几何图形,提高利用几何图形表述问题、分析问题和解决问题的能力。
当图形成为视觉和直觉的桥梁时,发展学生的几何直观,培养学生几何直观能力就水到渠成了。
例如在学习圆的认识一课时,为学生准备了若干个大小不等的圆。
在学生认识了圆心、半径、直径后,让学生找一找这些圆片的圆心、半径、直径。
学生有折一折的,有用尺子量的,学生经过操作有很多的发现,如:
对折一次得到一条直径;对折两次可以找到圆心和半径;所有的折痕都相交于一点,这一点就是圆心;同一个圆有无数条半径,都相等;同一个圆里有无数条直径,都相等;同一个圆里直径是半径的两倍,半径是直径的一半;圆是一个轴对称图形,有无数条对称轴;直径是圆里最长的一条线段;直径或半径决定了圆的大小;圆心决定了圆的位置;……
(二)重视指导读图,提升读图能力
在数学教学中,由于学生的知识经验和思维水平的限制,经常会遇到一些很难用语言解释的概念或关系,图形则成为有效的工具。
直观的背景材料和几何图形能为学生创造自主思考的机会。
如果学生连基本的图形都看不懂,就谈不上用图形来解决问题,更不可能实现几何直观的形成。
读图,首先是一种观察力。
然而,学生观察图形时目的不明,方法不当,方向不定。
如何读图,需要教师对学生进行有目标、有计划地进行指导与培训。
不同年级段的学生要求也不一样,在低年级能做到表述简练、清晰,能从数学的角度去观察图画,从中获取数量上的多少等一些直观性的数学信息,从而进行解决问题。
而高年级学生不光是从图中获取有关的数学信息,还要能根据图中获取有关信息去展开联想,从不同角度去观察、去思考图形。
1.指导观察和比较,读懂图形
培养学生的几何直观能力,在学生理解图形的基础上,要能准确读出图形中的信息,从数学的角度去观察图形、比较图形,获得数量上的多少、大小等一些直观的数学作息。
例如:
苏教版三年级上册。
学生看了图之后,要能明白,描红本有30本,练习本是描红本4倍,可以知道练习本有4个30本,一共是120本。
2.注重变化和转化,读活图形
到了中高年级,不仅要读懂图形,获得有关的数学信息,更要学会从不同的角度去思考,或者根据直观的数据获得更多的数学信息。
根据上图,首先要能看出花彩带与红彩带的长度比是5:
7、花彩带比红彩带短8米,红彩带比花彩带长8米。
更要能看出:
花彩带比红彩带少
,红彩带比花彩带多
,花彩带占彩带总长的
,红彩带占彩带总长度的
等等。
3.启发联想和想象,读出图形
联想和想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道,是发展学生几何直观能力的重要手段。
不能仅仅依赖看到的具体的几何图形,更要由具体的图形想到一些图形,再根据想到的图形进行思考与推理。
例如,苏教版教材六下第98页,有这样一题。
面对这一题,学生做出两个同样大的正方形,操作之前肯定要去想象,如何旋转,转动到什么位置进行比较,结果会如何呢?
这时可以启发学生思考与想象,有哪些特殊的位置,在这些位置时,重叠部分的面积有没有变化?
学生不难想出以下两种特殊位置(如下图)。
想到这两种图后会发现重叠部分都是正方形的
,有了这两种特殊情况,可以有了初步的判断,再顺着这样的思考方向,学生也容易推理得出面积没有变化,都是正方形的
。
学生如果有一定的想象能力,不需要操作,也能得出这样的结论。
在解决问题的过程中,通过对几何直观的形象描述,学生不但对图形的理解加深了,而且能根据找出图形里所蕴含的丰富的数学信息,理清各数量之间的关系。
因此,培养学生读图的能力,打好读图的基础,既可以帮助学生理清解题思路,也为学生分析抽象的文字信息和画线段图打下基础。
《数学课程标准(2011年版)》指出:
“要培养学生直接从图中搜集、分析和处理信息的能力。
”学生见到图形,要学会看图、读图,搜集有关的数学信息,重组知识。
学生对图意进行有序的描述,可以帮助自己弄清题意,找准数量的关系,顺利解决问题。
同时,看了一定的图形之后,也可以积累一定读图经验和把抽象的数量关系用什么图形表示出来的转化经验,对于以后自己画图奠定了基础。
(三)重视画图训练,掌握画图技巧
培养学生读图能就是为了学生能根据实际情境中的数量关系,画出适当的图形,准确找到数量关系与图形之间的联系。
在实际学习中,学生由于年龄特点的影响,再加上抽象思维能力差,头脑中难以形成较为准确,直观的几何图形。
主要反映在做题时不会画图或即使画出来的图形也不易辨认,甚至画出错误的图形来,从而误导了解题的思路且不易查错,严重地影响了解题的正确性。
教会学生画图是培养学生几何直观能力的重要环节。
1.正确示范画图
在平时教学过程中,教师要主动地运用几何直观进行教学,对学生进行潜移默化的教育。
要想学生画出有效的图形,首先,教师要正确示范,教师是学生学习和模仿的对象,教师的示范作用对学生来说至关重要。
比如,在解决分数问题时,肯定会提醒学生采用画线段图的方法分析题目中的数量关系,寻求解决问题的策略。
老师一定要示范好,先画出单位一的量,再根据分率句,把单位1平均分成若干份,再画出比较量。
当然,教师也不能为了画图而画图,把画图停留在表象上,而是要深入地揭示数学的本质,挖掘知识的内涵和外延。
2.教给作图技巧
小学生学会独立画图有一定的难度,但是让他们学会一些基本的画图技能,对于数学的学习数学,解决一些实际问题非常重要。
因此,教师要结合教学的内容和数学学科的一些特点,教给学生一些作图技巧。
如画线段图时,几个对比的量用不同的线段来表示;比单位1多的用实线,比单位1少的用虚线;一般把分率写在线段的一则,具体量就写在另一则,……
例如:
爸爸今年34岁,欣欣今年6岁,几年后爸爸的年龄是欣欣的3倍?
画图时就要注意指导学生画图的技巧,先画出爸爸34岁,欣欣6岁,要表示再过几个时,不从线段的右侧延长,而从线段的左侧延长,就能让学生清楚地看出,不过再过多少年,父女俩的年龄差是不变,都是28岁。
当爸爸年龄是欣欣的3倍时,多的28岁就是其中的两倍,这样学生就不难发现,一倍量就是14岁,也就是当欣欣14岁时爸爸的年龄是欣欣的3倍,欣欣今年6岁,很快得出再过8年。
不是规定的作图题,可画草图,但要能看得清楚数量间的关系,保证数学的本质不变。
这样的画图技巧,对于学生今后画图水平的提高和灵活运用画图技能解决实际问题非常有用。
同样的一道习题,图形不同的画法,对学生分析题目的帮助也迥然不同。
3.丰富画图形式
学生可以根据自己的需要和能力画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系,解决实际问题。
因此,教师应鼓励学生运用多种形式的图形分析和解决问题。
在这个过程中要遵循这样一个原则,即能把数量关系最清晰、最直接地表示出来的图形,就是最佳的选择。
画出来的图形,要能使抽象的数学语言与直观的图像结合起来,帮助学生在数与形之间互相转化,达到完美和谐的结合,为解决问题提供良好的依托。
小学生接触到的或者能画出来的图形有线段图、方格图、模型图、集合图、关系图、示意图,不同的图形对理解不同的问题有着不同的效果。
要尽可能让学生了解、熟悉每一种图形,并能灵活运用。
例如:
一艘轮船从甲港顺水航行到乙港,立即逆水返航到甲港,共用8小时,已知轮船顺水速度比逆水速度每小时快20千米,又知前4小时比后4小时多航行60千米,问两地路程?
可以画线段图:
由于船顺水而下的速度大于船逆水行回的速度,所以共用的8小时平分后,前4小时的航行距离显然要大于后4小时的航行距离,这表明轮船在顺流航行全程不足4小时,逆水航行全程则超过4小时。
由此我们可以画出线段图形象表示,虚线表示前4小时的航行距离,其中包括顺水全程和逆水一段;实线表示后4小时逆水航行距离,从图中可以直观看出,前4小时比后4小时多航行的60千米,分为顺水和逆水两段相等距离,分别都是30千米。
如果前4小时全部都是顺流航行,应比后4小时多20×4=80千米=顺流30千米+顺流50千米,而实际前4小时只比后4小时多行60千米,即顺流30千米+逆流30千米,这说明假设中顺流50千米的时间,实际用在了逆流30千米上,由此可知:
逆流航行30千米的时间=顺流航行50千米的时间,则轮船顺流航速与逆流航速的比是50∶30=5∶3。
再根据“轮船顺水速度比逆水速度每小时快20千米”的条件,不难求出轮船逆流航行速度是:
20÷(5-3)×3=30(千米/小时),则甲乙两港之间的距离是30×4+30=150千米。
也可以画方形图:
H
AB表示顺流航行的速度,ab、CD表示逆流航行的速度;BC表示前4个小时,其中BF是顺水航行时间,FC是逆水航行时间,bc是后4小时;长方形ABFG加上长方形EFCD表示前4小时航行的距离,长方形abcd表示后4小时航行的距离;长方形ABFG表示一个全程,长方形EFCD加上长方形abcd也表示一个全程。
前4小时为什么比后4小时多行60千米?
如图:
把后4小时分成两段,第一段bf与前4小时中顺水航行时间BF相等,则第二段fc就与前4小时中逆水航行时间FC相等;由图可知:
长方形EFCD与长方形efcd是相等;长方形ABFG比长方形abfe多60千米。
把顺水航行的距离分成两部分,长方形AHEG和长方形HBFE,即长方形AHEG是60千米。
已知轮船顺水速度比逆水速度每小时快20千米,即EG为20千米,顺水航行时间BF=60÷20=3小时。
逆水航行时间是8-3=5小时。
顺水3小时航行一个全程,每小时行全程的
;逆水5小时行一个全程,每小时行全程的
;轮船顺水速度比逆水速度每小时快20千米,即全程的
比全程的
多20千米,所以全程=20÷(
-
)=150千米。
(四)重视图形运用,养成用图意识
小学生因年龄小,生活经验有限,再加上空间想象能力不足,对数学问题的感知程度往往很低,认识模糊、思路不清。
教师可引导学生将有些数学信息以自己喜欢的形式画下来,可以使原本枯燥的数学变得直观形象起来。
在此过程中,当图形和题目意思有机结合时,很多的问题自然会水到渠成、迎刃而解。
在这个教学过程中,学生学会的不仅仅是画图的方法,而是很好地培养了学生画图的意识,激发了学习数学的兴趣。
1.审题时画一画,直观看出题意
在教学过程中,教师要让学生感受到图形可以帮助他们刻画和描述问题,使问题变得直观、简单。
例如,在一年级“排队问题”中,常会出现这样两种题目。
(1)小朋友们排队,小红前面有4人,后面有5人。
这一队一共有多少人?
(2)小朋友们排队,从前往后数,小红排在第4个;从后往前数,小红排在第5个。
这一队一共有多少人?
这两个问题学生理解、区分起来有一定的难度,“前面有4人”、“小红排在第4个”,很难用语言向学生解释清楚这当中的区别。
然而引导学生画图,很快得到了这样的两幅图:
用不同颜色的圆区分小红和其他同学,非常醒目,而且又准确地表达出“几”和“第几”的不同,同时清楚地认识到第一题的4个和5个是不包括小红在内的人数,第二幅图中的4个和5个都数到了小红。
运用这样的直观图,两道题目表达的意思一目了然。
2.分析时画一画,准确把握关系
在实际教学中,要帮助学生掌握用画图策略分析问题,促进学生体验用画图分析问题的优越性。
学生可以根据自己的需要和题目的特征,画出图形帮助自己分析、理解数量关系,把数量关系最清晰、最直接地表示出来,从而解决实际问题。
例如:
一辆汽车一天中平均每小时行驶42千米,已知这辆汽车上午行驶了4小时,平均每小时行驶50千米,下午平均每小时行驶37千米,这辆汽车下午行驶了几小时?
根据题意可以画出这样的长方形。
图中BC表示上午行的时间,AB表示上午行驶的速度,长方形ABCD的面积表示上午行驶的路程;CG表示下午行的时间,CE表示下午行驶的速度,长方形ECGF的面积表示下午行驶的路程;BG表示全天行的时间,BH表示全天行驶的平均速度,长方形HBGJ的面积表示全天行驶的路程。
因此,长方形ABCD的面积+长方形ECGF的面积=长方形HBGJ的面积,从而知道长方形AHID的面积=长方形IEFJ的面积。
长方形AHID的面积=AH×HI=(50-42)×4=32,下午行的时间CG=EF=长方形IEFJ的面积÷IE=32÷(42-37)=6.4。
即:
(50-42)×4÷(42-37)=6.4(小时),得出这辆汽车下午行驶了6.4小时。
把题目中的速度、时间、路程与长方形的长、宽、面积建立起联系,直观、形象地理清了各数量之间的关系,轻松解决问题。
3.解题是画一画,轻松画出结果
数学中许多问题的解决与灵感,都来自几何直观。
学生在解决实际问题的过程中,通过教师的引导,可以真切体会到画图的方便和直观,当图形和题目意思有机结合时,很多的问题自然水到渠成,迎刃而解。
在这个教学过程中,学生学会的不仅仅是画图的方法,而是很好地培养了学生画图的意识,激发了学习数学的兴趣。
例如:
全班42人去公园划船,租10只船正好坐满。
每只大船坐5人,每只小船坐3人。
租的大船、小船各有多少只?
学生根据题意先画出10条船,先让每条船坐3人,发现还有人没上船,每条船再坐2人,就成了大船,画一画,有6条船换成了大船,这样轻松地画出了6条大船,4条小船。
同样,也有学生用直线表示船,先每条船坐5人,人多了,船上去掉两人,就成了小船,也能得到结果。
在学生根据题意画好图后,还要引导学生对所画的图进行观察思考,让学生体验画图“化抽象为直观”“化模糊为清晰”的价值。
最后,通过回顾解题过程,说说开始解题时有什么困难,后来依靠什么办法弄清题意并解决问题的。
引导他们感知画图法优势,并表扬自觉运用画图方法的学生。
学生在“运用—回顾—反思—再运用—总结”中,逐步形成运用的意识,从而使“画图”内化成一种思维方式。
当然学生的几何直观意识不可能是一蹴而就的,教师应有意识地加以培养和发展。
【参考文献】
[1]中华人民共和国.义务教育数学课程标准(2011版)[S].北京:
北京师范大学出版社,2012.
[2]王林等.小学数学课程标准研究与实践[M].南京:
江苏教育出版社,2011年,第167页.
[3]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海:
上海教育出版社,1995年,第193页.
[4]史宁中.数学思想概论·图形与图形关系的抽象[M].长春:
东北师范大学出版社,2009年.
[5]孙凡哲,史宁忠.关于几何直观的含义与表现形式[J].课程·教材·教法,2012年第7期,第92页.
[6]马丽娇.小学生几何直观能力培养的三个着眼点[J].教学月刊,小学版数学,2014年第5期,第35页.
[7]杨孝斌,任劲松.几何直观的教育价值及教学建议[J].宜宾学院学报,2013年第6期,第101页.
[8]李志军.构造长方形再解数学题[J].中小学数学(小学版),2012年第1-2期,第71页.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 直观 能致远