数学一真题答案解析.docx
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数学一真题答案解析
数学一真题答案解析
2008年考研数学一试题分析、详解和评注
一、选择题:
(本题共8小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
x2
(1)设函数f(x)=ò0ln(2+tdt,则)f(x)的零点个数为【¢】
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
【答案】应选(B).
【详解】f¢(x)=ln(2+x2)×2x=2xln(2+x2).
显然f¢(x)在区间(-¥,+¥)上连续,且f¢(-1)·f¢
(1)=(-2ln3)·(2ln3)<0,由零
点定理,知f¢(x)至少有一个零点.
4x2
又f¢¢(x)=2ln(2+x2)+>0,恒大于零,所以f¢(x)在(-¥,+¥)上是单调递2+x2
增的.又因为f¢(0)=0,根据其单调性可知,f¢(x)至多有一个零点.
故f¢(x)有且只有一个零点.故应选(B).
(2)函数f(x,y)=arctan
x
在点(0,1)处的梯度等于【】
y
(A)i
(B)
-i.(C)
j.(D)
-j.
【答案】应选(A).
1
¶fy
-x
y¶fy2-x
【详解】因为=2
¶x1+x
y2
=.=
x2+y2¶yx2
1+
y2
=x2+y2.
所以
(0,1)
=1,
(0,1)
=0,于是gradf(x,y)
(0,1)
=i.故应选(A).
(3)在下列微分方程中,以y=Cex+Ccos2x+Csin2x(C,C,C为任意的常
数)为通解的是【】
123
123
(A)
y¢¢¢+y¢¢-4y¢-4y=0.(B)
y¢¢¢+y¢¢+4y¢+4y=0.
(C)
y¢¢¢-y¢¢-4y¢+4y=0.(D)
y¢¢¢-y¢¢+4y¢-4y=0.
【答案】应选(D).
123
【详解】由y=Cex+Ccos2x+Csin2x,可知其特征根为
l11,l2,3=±2i,故对应的特征值方程为
(1)(l+2)(l-2)=
(1)(2+4)
=l3+4ll2-4
=l3-l2+4l4
所以所求微分方程为y¢-y¢
4y¢
4y=0.应选(D).
(4)设函数f(x)在(-¥,+¥)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是【】.
(A)若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛(B)若{xn}单调,则{f(xn)}收敛
(C)若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛.(D)若{f(xn)}单调,则{xn}收敛.
【答案】应选(B).
【详解】若{xn}单调,则由函数f(x)在(-¥,+¥)内单调有界知,若{f(xn)}单调有界,
因此若{f(xn)}收敛.故应选(B).
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则【】
则下列结论正确的是:
(A)
(C)
E-A不可逆,则E+A不可逆.(B)
E-A可逆,则E+A可逆.(D)
E-A不可逆,则E+A可逆.E-A可逆,则E+A不可逆.
【答案】应选(C).
【详解】故应选(C).
(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E.
故E-A,E+A均可逆.故应选(C).
æxö
(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(xyz)Açy÷=1在正交变换下的标
ç÷
èø
准方程的图形如图,则A的正特征值个数为【】
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
【答案】应选(B).
x2y2+z2
【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为a2-
正特征值个数为1.故应选(B).
c21.故A的
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X的分布函数为F(),则Z=maxX,}的分布
函数为【】
(A)
F2().(B)
F()F().(C)
1[-F()]2.(D)
[1-F()]
-F()].
【答案】应选(A).
【详解】F()=P(Z£z)=P{
axX,}£}
=P(X£z)(Y£z)=F()F()=F2().故应选(A).
(8)设随机变量X:
N(0,1),
Y:
N(1,4),且相关系数rXY
1,则【】
(A)
P{Y=-2X
1}1
(B)
P{Y=2X
1}1
(C)
P{Y=-2X
1}1
(D)
P{Y=2X
1}1
【答案】应选(D).
【详解】用排除法.设Y=aX+b.由rXY
1,知X,Y正相关,得a>0.排除
(A)和(C).由X:
N(0,1),Y:
N(1,4),得
EX=0,EY1,E(aX+b)=aEX+b.
1=a´0+b,b1.从而排除(B).故应选(D).
二、填空题:
(9-14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)
(9)微分方程xy¢+y=0满足条件y
(1)=1的解是y=.
1
【答案】应填y=.
x
dyydydx
【详解】由
=-,得=-.两边积分,得ln|y|=-ln|x|+C.
dxxyx
代入条件y
(1)=1,得C=0.所以y=1.
x
(10)曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)的切线方程为.
【答案】应填y=x+1.
【详解】设F(x,y)=sin(xy)+ln(y-x)-x,则
F(x,y)=ycos(xy)+-1-1,F(x,y)=xcos(xy)+1,
xy-xx
F¢(0,1)
y-x
F(0,1)=-1,F(0,1)=1.于是斜率k=-x=1.
y
xyF¢(0,1)
故所求得切线方程为y=x+1.
¥
(11)
n
已知幂级数åa(x+2)n在x=0处收敛,在x=-4处发散,则幂级数
n=0
¥
n
åa(x-2)n的收敛域为.
n=0
【答案】
(1,5].
¥¥
【详解】由题意,知åa(x+2)n的收敛域为(-4,0],则åaxn的收敛域为(-2,2]
n
n=0
n
n=0
¥
n
.所以åa(x-2)n的收敛域为(1,5].
n=0
(12)设曲面S是z=
的上侧,则òxydydz+xdzdx+x2dxdy=.
S
【答案】
4p.
【详解】作辅助面S1:
z=0取下侧.则由高斯公式,有
òxydydz+xdzdx+x2dxdy
S
=Òòxydydz+xdzdx+x2dxdy-òòxydydz+xdzdx+x2dxdy
åå1
=òydV+
W
ò
x2+y24
x2dxdy.
=0+1ò
(2+y2)dxdy=1ò2pò22
16
4p.
22+y24
dq
200
r·rdr=pg
4
(13)设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2维列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2
.则A的非零特征值为.
【答案】应填1.
æ02ö
è
【详解】根据题设条件,得A(a1,a2)=(Aa1,Aa2)=(0,2a1+a2)=(a1,a2)ç01÷.
记P=(a1,a2),因a1,a2线性无关,故P=(a1,a2)是可逆矩阵.因此
æ02ö
1æ02ö
æ02ö
AP=Pç01÷,从而PAP=ç01÷.记B=ç01÷,则A与B相似,从而有
èèè
相同的特征值.
l-2
因为|lE-B|
0
=l
(1),l=0,l
l1
1.故A的非零特征值为1.
(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX}.
1
【答案】应填.
2e
【详解】因为X服从参数为1的泊松分布,所以EX=DX
1.从而由
DX=EX2-(EX)2得EX2=2.故P{X=EX}P{X=}=.
2e
三、解答题:
(15-23小题,共94分.)
(15)(本题满分10分)
[
求极限lim
®0
nx-sn(snx)]nx
x4
【详解1】lim
®0
[inx-sin(sinx)]inxx4
[
lim
®0
nx-sin(snx)]
x3
=lim
x®0
cosx-cos(snx)cosx
3x2
lim
®0
1-cs(snx)3x2
=lim
®0
sn(nx)cosx
(或
6x
lim
®0
1(n)2
2,或
3x2
lim
®0
1sn2x+o(sn2x)
2)
3x2
=1.
6
[
nx-sn(snx)]nx
[nx-sn(snx)]nx
【详解2】lim
®0x4
=lim
®0
sn4x
t-snt
=lim3
lim
1-cst
2
lim
t2
2(或
lim
snt
)
0t0303
06t
=1.
6
(16)(本题满分9分)
ò
计算曲线积分sin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从(0,0)到
L
(p,0)
的一段.
【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算.
ò
sin2xdx+2(x2-1)ydy
L
=òp[sin2xdx+2(x2-1)sinxcosx]dx=òpx2sin2xdx
00
2p2
=-xcos2x
+òpxcos2xdx=-p
+òxcos2xdx
00
0
p2xsin2xpsin2x
=-+2
-ò0dx
0
p2
=-.
2
【详解2】添加辅助线,按照Green公式进行计算.
设L1为x轴上从点(p,0)到(0,0)的直线段.D是L1与L围成的区域
1
òL+L
sin2xdx+2(x2-1)ydy
é¶(2(x2-1)y¶sin2xù
=-òê
-
¶x¶y
údxdy=-òò4xydxdy
DëûD
psinx
=-004xydydx=-0
2xsin2
xdx=-ò0
x(1-cos2x)dx
pp2
=-+òxcos2xdx=-
xsin2xp
+
psin2x
dx
00
00
p2
=-.
2
因为òsin2xdx+2(x2-1)ydy=ò0sin2xdx=0
L1p
故sin2xdx+2(x2-1)ydy=-p
L2
ò
【详解3】令I=sin2xdx+2(x2-1)ydy
L
òL12
对于I1,记P=sin2x,
Q=-2y.因为
¶P=¶P=0,故I与积分路径无关.
¶y¶x1
p
I1=ò0sin2xdx=0.对于I2,
I2=
2x2ydy=
L
p2x2sinxcosxdx=
0
px2sin2xdx
0
2p
=-xcos2x
0
+ò0xcos2xdx
p
p2
=-2+ò0xcos2xdx
p2xsin2xpsin2x
=-+2
-ò0dx
0
p2
=-.
2
故
sin2xdx+2(x2-1)ydy=-p
L2
ìx2+y2-2
17(本题满分11分)已知曲线C:
í
2=0,
求C上距离xoy面最远的点和最近
的点.
îx+y+3z=5,
【详解1】点(x,y,)到xoy面的距离为||,故求C上距离xoy面最远的点和最近的点
的坐标等价于求函数H=z2在条件x2+y2-22=0,x+y+3z=5下的最大值点和最小
值点.
构造拉格朗日函数
L(x,y,z,l,m)=z2+l(x2+y2-2
2)+m(x+y+3z-5),
ìLx¢=2lx+2m=0,
ïL¢=2ly+m=0,
ïy
由¢
ï
íLz=2z-4lz+3m=0,
ï
ïx2+y2-2z2=0,
ïîx+y+3z=5.
得x=y,
ì2x2-2z2=0,
ìx=-5,
ï
ìx=1,
ï
从而í
解得íy=-5,或íy=1,
î2x+3z=5.
ïz=5.ïz=1.
根据几何意义,曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点,故所求点依次为
(5,-5,5)和(1,1,1).
【详解2】点(x,y,)到xoy面的距离为||,故求C上距离xoy面最远的点和最近的点
æx+y-5ö2
的坐标等价于求函数H=x2+y2在条件x2+y2-2ç÷
=0下的最大值点和最
小值点.
构造拉格朗日函数
22
æ222
è3ø
2ö
L(x,y,z,l)=x+y+lçx+y-(x+y-5)÷,
èø
ì¢æ4ö
ïLx=2x+lç2x-9(x+y-5)÷=0,
ïèø
由ï¢æ4ö
íLy=2y+lç2y-9(x+y-5)÷=0,
ïèø
ïæx+y-5ö2
ïx2+y2-2ç÷=0.
îïè3ø
得x=y,从而解得
2x2-
2(2x-5)2
9
=0.
ìx=-5,ìx=1,
ïy=-5,或ïy=1,
íí
ïz=5.ïz=1.
根据几何意义,曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点,故所求点依次为
(5,-5,5)和(1,1,1).
【详解3】由x2+y2-2z2=0得
ìïx=íïîy=
2zcosq,2zsinq.
代入x+y+3z=5,得
z=5
所以只要求z=z()的最值.
令z()==0,得csq=snq,解得q=
p5p
.从而
(+2(csq+snq)44
ìx=-5,ìx=1,
ïy=-5,或ïy=1,
íí
ïz=5.ïz=1.
根据几何意义,曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点,故所求点依次为
(5,-5,5)和(1,1,1).
(18)(本题满分10分)
设f()是连续函数,
(I)
x
利用定义证明函数F()=ò0
f()dt可导,且F¢()=
f();
(II)当f()是以2为周期的周期函数时,证明函数
G()=2ò0
f()dt-xò0
f()dt也是以2为周期的周期函数.
x+Dxx
(I)【证明】F¢()lim
Dx®0
F(x+Dx)-F()
Dx
limò0
Dx®0
f()dt-ò0
Dx
f()dt
=lim
x+Dxx
f()dt
=lim
f(x)Dx
=lim
f()=
f()
Dx®0Dx
Dx®0Dx
Dx®0
x+Dxx
f()dtf(x+Dx)
【注】不能利用L’Hospital法则得到limlim.
(II)【证法1】根据题设,有
G(x+2)=é2òx+2
Dx®0Dx
¢
ò
Dx®0
Dx
òf()dt,
ê
f()dt-(x+2)
00
f()dt
=f(x+2)-
0
G()=é2òxò¢
òf()dt.
ê
f()dt-x
00
f()dt
=2f()-
0
当f()是以2为周期的周期函数时,f(x+2)=f().
从而G(x+2)=G().因而
G(x+2)-G()=C.
取x=0得,C=G(0+2)-G(0)=0,故G(x+2)-G()=0.
即G()=2ò0
f()dt-xò0
f()dt是以2为周期的周期函数.
【证法2】根据题设,有
x+22
G(x+2)2ò0f()dt-(x+2)ò0
f()dt,
2x+222
=2ò0f()dt+xò2f()dt-xò0f()dt-2ò0
f()dt.
ò
x+2
对于2
f()dt,作换元t=u+2,并注意到f(u+2)=
f(),则有
x+2xxx
ò2f()dt=ò0fu+
(2)du=ò0f()du=ò0
f()dt,
x+22
因而xò2f()dt-xò0
于是
x
f()dt=0.
2
G(x+2)=2ò0
f()dt-xò0
f()dt=G().
即G()=2ò0
f()dt-xò0
f()dt是以2为周期的周期函数
【证法3】根据题设,有
x+22
G(x+2)=2ò0f()dt-(x+2)ò0
f()dt,
xx+222
=2ò0f()dt+2òxf()dt-xò0f()dt-2ò0
f()dt
x2x+22
=2ò0f()dt-xò0f()dt+2òxf()dt-2ò0
f()dt
=G()+
x+22
f()dt-0
f()).
当f()是以2为周期的周期函数时,必有
事实上
x+2
x+22
òò
xf()dt=0
f()dt.
d(ò2
所以
f()dt)
=
dx
x+2
f(x+2)-f()=0,
ò2f()dtºC.
022
取x=0得,Cºò2f()dt=ò2
所以
x
f()dt.
2
G(x+2)2ò0
f()dt-xò0
f()dt=G().
即G()=2ò0
f()dt-xò0
f()dt是以2为周期的周期函数
(19)(本题满分11分)
¥
(1)1
将函数f()1-x2(0£x£p)展开成余弦级数,并求级数å
n=1
的和.
n
【详解】将f()作偶周期延拓,则有bn=0,n
1,2,L.
2pæp2ö
0pò0
è3ø
a=2pf()cosnxdx
npò0
2éppùp
=êòcsnxdx-òx2cosnxdxú
pë00û0
p2p
=2é0-p2
ù=-2éxsnnx
p2snnxù
pêò0xcosnxdxú
pên
-ò0
ndxú
ëû0ë0û
22
(1)n-14
(1)1
==.
pn2n2
a¥p2¥
(1)n-1
所以f()1-x2=0+
2n=1
ancsnx
1-+4
3
n=1n
csnx,0£x£p.
2
令x=0,有f(0)1-p
3
¥
+4
n=1
(1)n1
n2
¥
又f(0)1,所以å
n=1
(1)n1p2
=.
n212
(20)(本题满分10分)
设a,b为3维列向量,矩阵A=aaT+bbT,其中aT,bT分别是a,b得转置.证明:
(I)秩r()£2;
(II)若a,b线性相关,则秩r()<2.
【详解】(I)【证法1】r(A)=r(aaT+bbT)£r(aaT)+r(bbT)£r(a)+r(b)£2.
【证法2】因为A=aaT+bbT,A为33矩阵,所以r(A)£3.
因为a,b为3维列向量,所以存在向量x¹0,使得
aTx=0,bTx=0
于是Ax=aaTx+bbTx=0
所以Ax=0有非零解,从而r()£2.
【证法3】因为A=aaT+bbT,所以A为33矩阵.
æaTö
又因为TT
çT÷
A=aa+bb
=(ab
0)çb÷,
ç0÷
所以|A||ab
èø
aT
0|bT=0
0
故r(A)£2.
(II)【证法】由a,b线性相关,不妨设a=kb.于是
r(A)=r(aaT+bbT)=
(1+k2)bbT)
r()1<2.
(21)(本题满分12分).
设n元线性方程组Ax=b,其中
æ2a1
ça22a1
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