矩阵连乘实验报告.docx

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矩阵连乘实验报告

-CAL-FENGHAI.-（YICAI）-CompanyOne1

矩阵连乘实验报告

华北电力大学科技学院

实验报告

实验名称矩阵连乘问题

课程名称计算机算法设计与分析

专业班级：

软件12K1学生姓名：

吴旭

学号：

121909020124成绩：

指导老师：

刘老师实验日期：

2014.11.14

一、实验内容

矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。

考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,An。

二、主要思想

由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。

这种计算次序可以用加括号的方式来确定。

若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为：

（1）单个矩阵是完全加括号的；

（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=（BC）。

运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。

按以下几个步骤进行

1、分析最优解的结构

设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。

为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:

j]。

考察计算A[1:

n]的最优计算次序。

设这个计算次序矩阵在Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，

则其相应的完全加括号方式为（（A1…Ak）（Ak+1…An））。

依此次序，先计算A[1:

k]和A[k+1:

n],然后将计算结果相乘得到A[1:

n]。

2、建立递归关系

设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。

对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:

j]，

，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。

当i=j时，A[i:

j]=Ai为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。

当i

m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。

由于在计算时并不知道断开点k的位置，所以k还未定。

3、计算最优值

根据计算m[i][j]的递归式，容易写一个递归算法计算m[1][n]。

动态规划法解决此问题，可依据递归式以自底向上的方式进行计算，在计算过程中保存已解决的子问题答案。

每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法matrixChain。

（见实验代码部分）

4、构造最优解

算法matrixChain只计算出最优值，并没有给出最优解。

但是matrixChain已经记录了构造最优解所需的全部信息。

S[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:

j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，最优加括号方式为（A[i:

k]）（A[k+1:

j]）。

依次构造最优解。

（算法见实验代码部分）

三、实验结果

四、结果验证

对实验结果进行验证，4个矩阵分别是A1[35*15]，A2[15*5]，A3[5*10]，A4[10*20]。

依递归式有：

M[1][4]=min

=7125

且k=3。

计算结果正确，证明所编写的程序可正确算出最优解。

五、实验代码

#include

#defineN100//定义最大连乘的矩阵个数是100

voidmatrixChain（intp[],intm[N+1][N+1],ints[N+1][N+1]）/*用m[i][j]二维数组来存储Ai*.....Aj的最少数乘次数，

用s[i][j]来存储使Ai.....Aj获得最少数乘次数对应的断开位置k，需要注意的是此处的N+1非常关键，虽然只用到的行列下标只从1到N，

但是下标0对应的元素默认也属于该数组，所以数组的长度就应该为N+1*/

{

intn=N;//定义m,s数组的都是n*n的，不用行列下标为0的元素，但包括在该数组中

for（inti=1;i<=n;i++）

m[i][i]=0;/*将矩阵m的对角线位置上元素全部置0，此时应是r=1的情况，表示先计算第一层对角线上个元素的值*/

for（intr=2;r<=n;r++）//r表示斜对角线的层数，从2取到n

{

for（inti=1;i<=n-r+1;i++）//i表示计算第r层斜对角线上第i行元素的值

{

intj=i+r-1;//j表示当斜对角线层数为r，行下标为i时的列下标

m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//计算当断开位置为i时对应的数乘次数

s[i][j]=i;//断开位置为i

for（intk=i+1;k

{

intt=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];/*计算断开位置k为从i到j（不包括i和j）的所有取值对应的

（Ai*.....*Ak）*（Ak+1*.....Aj）的数乘次数*/

if（t

{

m[i][j]=t;//将Ai*....Aj的最少数乘次数存入m[i][j]

s[i][j]=k;//将对应的断开位置k存入s[i][j]

}

}

}

}

}

voidtraceback（inti,intj,ints[][N+1]）//用递归来实现输出得到最小数乘次数的表达式

{

if（i==j）

{

printf（"A%d",i）;

}

else

{

printf（"（"）;

traceback（i,s[i][j],s）;

traceback（s[i][j]+1,j,s）;

printf（"）"）;

}

}

voidmain（）

{

intn;//用来存储矩阵的个数

intq[2*N];/*用q数组来存储最原始的输入（各矩阵的行和列），主要目的是为了检验这N个矩阵是否满足连乘的条件*/

intp[N+1],flag=1;/*用p[i-1],p[i]数组来存储A的阶数，flag用来判断这N个矩阵是否满足连乘*/

intm[N+1][N+1];//用m[i][j]二维数组来存储Ai*......Aj的最小数乘次数

ints[N+1][N+1];//用s[i][j]来存储使Ai......Aj获得最小数乘次数对应的断开位置k

printf（"输入矩阵的个数（注：

小于100）：

"）;

scanf（"%d",&n）;

for（inti=0;i<=2*n-1;i++）//各矩阵的阶数的输入先存入数组q中接受检验

{

if（i%2==0）

{

printf（"————————\n"）;

printf（"*输入A%d的行:

",（i/2）+1）;

}

else

{

printf（"********列:

"）;

}

scanf（"%d",&q[i]）;

}

for（i=1;i<=2*n-2;i++）//矩阵连乘条件的检验

{

if（i%2!

=0&&q[i]!

=q[i+1]）

{

flag=0;

break;

}

}

for（intj=1;j<=n-1;j++）

{

p[j]=q[2*j];

}

if（flag!

=0）

{

p[0]=q[0];

p[n]=q[2*n-1];

matrixChain（p,m,s）;

printf（"式子如下:

\n"）;

traceback（1,n,s）;

printf（"\n"）;

printf（"最少数乘次数为%d\n",m[1][n]）;

}

else

{

printf（"这%d个矩阵不能连乘!

\n",n）;

}

}

六、实验心得

通过本次实验，我较为透彻的理解了动态规划算法的几个基本步骤。

完成实验后，我认为建立递归关系是很关键的一步，同时也是整个动态规划算法的精髓。

掌握了递归的思想，就可以完成很多不必要的重复计算。

具体到矩阵连乘问题，关键是解决断开点k的位置和最少数乘次数。

总体来说，这次实验不仅让我基本掌握递归的思想，而且进一步提高了自己的自学能力和编程能力，代码运用C语言写出，可以很好的体会C语言和C++的不同点和相同点。

我也体会到，想要理解一个新的算法，必须要通过自己不断的编写程序，不断的思考才能真正的领悟，因此我会不断朝着这个方向努力。