学年高一数学人教A版必修二学习指导.docx
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学年高一数学人教A版必修二学习指导
2018-2019学年高一数学人教A版必修二学习指导
专题一:
空间几何的三视图、体积问题
通过对近几年高考试题的分析可看出,空间几何体的命题形式比较稳定,多为选择题或填空题,有时也出现在解答题的某一问中,题目常为中低档题.考查的重点是直观图、三视图、面积与体积等知识,此类问题多为考查三视图的还原问题,且常与空间几何体的表面积、体积等问题交汇,是每年的必考内容.
预计在2019年高考中:
对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势,通过此类题考查考生的空间想象能力;对表面积和体积的考查,常见形式为蕴涵在两个几何体的“切”或“接”形态中,或以三视图为载体进行交汇考查,此块内容还要注意强化几何体的核心——截面以及补形、切割等数学思想方法的考查。
题型一:
三视图的认识
例1.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:
①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是
(A)3(B)2(C)1(D)0
【分析】由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.
【答案】A
【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.
同步训练题1:
某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )
【答案】:
D
[解析]本题考查三视图,意在考查考生对三视图的辨析,以及对三视图的理解和掌握.是基础题型.选项A,B,C,都有可能,选项D的正视图应该有看不见的虚线,故D项是不可能的.
题型二:
三视图有关计算
例2某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).
A.28+6
B.30+6
C.56+12
D.60+12
【分析】根据三视图,可得该三棱锥为如图的三棱锥A-BCD,其中底面△BCD中,CD⊥BC,且侧面ABC
与底面ABC互相垂直,由此结合题中的数据结合和正余弦定理,不难算出该三棱锥的表面积.
【答案】B
【点评】抓住三视图与直观图间的相互转换中的对应关系(包括位置、数量关系)是处理三视图问题的关键.
同步训练题2:
某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.
【答案】92
专题二:
空间点线面的位置关系
在高考中,点线面位置关系的考查往往有两个小题和一个大题,而小题中,一般会有一道专门考查空间点线面的位置关系的题目,大题则先进行位置关系的判断.再求解空间角、距离等,.因此,我们要对空间点线面的位置关系进行推理判断。
题型一:
空间点线面的位置关系判断
例3.下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A;利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B;利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确;利用面面垂直的性质可排除D。
【答案】C
【解析】A,若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面;排除A;
B,若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,排除B;
C,设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a;故C正确;
D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除D;
故选C。
【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系,线面平行的判定和性质,面面垂直的性质和判定,空间想象能力,属基础题。
同步训练题3:
设
是直线,a,β是两个不同的平面( )
A.若
∥a,
∥β,则a∥βB.若
∥a,
⊥β,则a⊥β
C.若a⊥β,
⊥a,则
⊥βD.若a⊥β,
∥a,则
⊥β
【答案】B
题型二:
空间点线面位置关系的证明
例4.如图,几何体
是四棱锥,△
为正三角形,
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若∠
,M为线段AE的中点,
求证:
∥平面
.
【分析】证明第一问的关键是先通过已知条件的关系,通过找BD中点,证明
平面OCE,利用等腰三角形的性质证明即可;第二问证明线面平行一般有两种思路:
一是证明线线平行;二是证明面面平行。
【证明】(I)设
中点为O,连接OC,OE,则由
知
,
又已知
,所以
平面OCE.
所以
,即OE是BD的垂直平分线,所以
.
【点评】本题考查不规则图形的线面平行、垂直问题,需要抓住图形特征(如中点等),依据所学公理、定理,正确作出辅助线,结合定理、公理进行求解、证明。
注意转化思想在证明线面关系的灵活应用。
同步训练题4:
如图,在直三棱柱
中,
分别是棱
上的点(点
不同于点
),且
为
的中点.
求证:
(1)平面
平面
;
(2)直线
平面
.
证明:
(1)∵
是直三棱柱,∴
平面
.
又∵
平面
∴
.
又∵
平面
∴
平面
.
又∵
平面
∴平面
平面
.
(2)∵
为
的中点,∴
.又∵
平面
且
平面
∴
.又∵
平面
∴
平面
.由
(1)知,
平面
∴
∥
.又∵
平面
平面
∴直线
平面
专题三:
直线与圆
直线考查重点
(1)与直线方程特征值(主要指斜率、截距等)有关的问题;
(2)直线的平行和垂直的条件;(3)与距离有关的问题等.此类题大都属于中、低档题,以选择和填空题形式出现,每年必考.中心对称与轴对称问题虽然在《考试说明》中没有提及,但也是高考的重点,复习时也应很好地掌握.圆的方程主要根据条件确定圆的方程,要掌握圆的标准方程和一般方程,能将圆的一般方程化为标准方程,研究圆的一些简单的几何性质,会根据不同的条件,利用待定系数法建立圆的标准方程或一般方程。
在解题时注意数形结合的思想的应用。
题型一:
直线方程
例5过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
(A)x-2y-1=0(B)x-2y+1=0
(C)2x+y-2=0(D)x+2y-1=0
【分析】考查直线平行关系,根据两直线平行的充要条件知:
两直线斜率相同求解。
【答案】A
【点评】解决本题的关键是首先求得与直线平行的直线的斜率,再利用点斜式求得直线方程。
同步训练题5设a∈R,“直线l1:
ax+2y=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行则a=_____。
【答案】:
a=1或a=-2.
【解析】当
,解得
或
.所以答案为:
a=1或a=-2.
题型二:
直线的距离
例6.若点p(m,3)到直线
的距离为4,且点p满足不等式
<3,则m=。
【分析】本题考查点到直线距离及简单不等式知识。
.
【答案】-3
【点评】在使用点到直线的距离公式应注意以下几点:
若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离。
点到几种特殊直线的距离:
(1)点
到x轴的距离
;
(2)点
到y轴的距离
;
同步训练题6:
将直线
、
、
(
,
)围成的三角形面积记为
,则
=_________-。
【答案】
【解析】由
得
、
交点P(
),点p到直线
的距离
d=
,又因为
分别与
、
交于点A(1,0)、B(0,1),所以|AB|=
.所以
=
。
题型三.直线与圆相交问题
例7若直线
与圆
有公共点,则实数
取值范围是()
(A)[-3,-1](B)[-1,3]
(C)[-3,1](D)(-
,-3]U[
,+
)
【分析】根据直线与圆有公共点,可得圆心到直线x-y+1=0的距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数a取值范围.
【答案】C
【解析】圆
的圆心
到直线
的距离为
,
则
。
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径,建立不等式.
同步训练题7:
过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分两部分,使.这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为
A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0
【答案】A
题型四.直线与圆相切问题
例8过直线x+y-
=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是__________。
【答案】
【解析】如图:
由题意可知
由切线性质可知
在直角三角形
中,
又点P在直线
上,所以不妨设点P
,则
即
,整理得
,即
所以
,即点P的坐标为
。
法二:
如图:
【点评】本题考查了圆的切线方程,涉及的知识有:
切线的性质,切线长定理,含30°直角三角形的性质,以及两点间的距离公式,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形是解本题的关键。
同步训练题9.已知直线
:
y=x+m,m∈R。
若以点M(2,0)为圆心的圆与直线
相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;
【答案】
【解析】依题意,点P的坐标为(0,m)因为
,所以
,
解得m=2,即点P的坐标为(0,2),从而圆的半径
故所求圆的方程为
题型五.圆与圆的位置关系
例9圆
与圆
的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
【分析】求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比,判断两圆的位置关系.
【答案】B
【解析】两圆心之间的距离为
,两圆的半径分别为
,
则
,故两圆相交.答案应选B。
【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径.
同步训练题9:
在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,则
的最大值是.
【答案】
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