高等数学一试题附答案.docx
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高等数学一试题附答案
高等数学
(一)试题(附答案)
一、填空题(每小题1分,共10分)
_________ 1
1.函数y=arcsin√1-x2 + ────── 的定义域为_______________。
_________
√1-x2
2.函数y=x+ex 上点(0,1)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)
3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim─────────────── =___。
h→o h
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是___。
x
5.∫─────dx=_____________。
1-x4
1
6.limXsin───=___________。
x→∞ X
7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
_______
R √R2-x2
8.累次积分∫dx ∫ f(X2+Y2 )dy化为极坐标下的累次积分为_______。
0 0
d3y 3 d2y
9.微分方程───+──(───)2 的阶数为____________。
dx3 x dx2
∞ ∞
10.设级数∑ an发散,则级数∑an _______________。
n=1 n=1000
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
(一)每小题1分,共10分
1
1.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()
x
1 1 1
①1-── ②1+── ③──── ④x
x x 1-x
1
2.x→0时,xsin──+1是 ()
x
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
3.下列说法正确的是 ()
①若f(X)在X=Xo连续, 则f(X)在X=Xo可导
②若f(X)在X=Xo不可导,则f(X)在X=Xo不连续
③若f(X)在X=Xo不可微,则f(X)在X=Xo极限不存在
④若f(X)在X=Xo不连续,则f(X)在X=Xo不可导
4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
5.设F'(x) = G'(x),则()
①F(X)+G(X)为常数
②F(X)-G(X)为常数
③F(X)-G(X)=0
d d
④──∫F(x)dx =──∫G(x)dx
dx dx
1
6.∫│x│dx =()
-1
①0 ②1 ③2 ④3
7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()
①平行于xoy面的平面
②平行于oz轴的平面
③过oz轴的平面
④直线
x
8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg──,则f(tx,ty)= ()
y
1
①tf(x,y) ②t2f(x,y) ③t3f(x,y) ④ ──f(x,y)
t2
an+1 ∞
9.设an≥0,且lim ─────=p,则级数∑an ()
n→∞ a n=1
①在p〉1时收敛,p〈1时发散
②在p≥1时收敛,p〈1时发散
③在p≤1时收敛,p〉1时发散
④在p〈1时收敛,p〉1时发散
10.方程y'+3xy=6x2y是 ()
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
(二)每小题2分,共20分
11.下列函数中为偶函数的是 ()
①y=ex ②y=x3+1 ③y=x3cosx ④y=ln│x│
12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()
①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)
②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)
③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)
④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)
13.设f(X)在X=Xo的左右导数存在且相等是f(X)在X=Xo可导的 ()
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
d
14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)= ()
dx
①cosx ②2-cosx ③1+sinx ④1-sinx
15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y= ()
①x4 ②x4+c ③x4+1 ④x4-1
1 x
16.lim───∫3tgt2dt= ()
x→0 x3 0
1
①0 ②1 ③── ④∞
3
xy
17.limxysin───── =()
x→0 x2+y2
y→0
①0 ② 1 ③ ∞ ④ sin1
18.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是 ()
①设y'=p,则y"=p'
dp
②设y'=p,则y"=───
dy
dp
③设y'=p,则y"=p───
dy
1 dp
④设y'=p,则y"=── ───
p dy
∞ ∞
19.设幂级数∑anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑anxn在│x│〈│xo│()
n=o n=o
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an有关
sinx
20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫─────dσ= ()
D x
1 1 sinx
①∫dx∫─────dy
0 x x
__
1 √y sinx
②∫dy∫ ─────dx
0 y x
__
1 √x sinx
③∫dx∫ ─────dy
0 x x
__
1 √x sinx
④∫dy∫ ─────dx
0 x x
三、计算题(每小题5分,共45分)
___________
/x-1
1.设y=/────── 求 y' 。
√ x(x+3)
sin(9x2-16)
2.求lim ─────────── 。
x→4/3 3x-4
dx
3.计算∫─────── 。
(1+ex)2
t 1 dy
4.设x=∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求───
0 t dx
5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。
___
6.设u=ex+√y+sinz,求 du 。
x asinθ
7.计算∫ ∫ rsinθdrdθ 。
0 0
y+1
8.求微分方程dy=(────)2dx通解 。
x+1
3
9.将f(x)=─────────展成的幂级数 。
(1-x)(2+x)
四、应用和证明题(共15分)
1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度(比例常数为k〉0)求速度与时间的关系。
___ 1
2.(7分)借助于函数的单调性证明:
当x〉1时,2√x 〉3-── 。
附:
高等数学
(一)参考答案和评分标准
一、填空题(每小题1分,共10分)
1.(-1,1)
2.2x-y+1=0
3.5A
4.y=x2+1
1
5.──arctgx2+c
2
6.1
7.ycos(xy)
π/2 π
8.∫dθ∫f(r2)rdr
0 0
9.三阶
10.发散
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
(一)每小题1分,共10分
1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.②
6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③
(二)每小题2分,共20分
11.④ 12.④ 13.⑤ 14.③ 15.③
16.② 17.① 18.③ 19.① 20.②
三、计算题(每小题5分,共45分)
1
1.解:
lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)] (2分)
2
1 1 1 1 1
──y'=──(────-──-────) (2分)
y 2 x-1 x x+3
__________
1 /x-1 1 1 1
y'=── /──────(────-──-────) (1分)
2√ x(x+3) x-1 x x+3
18xcos(9x2-16)
2.解:
原式=lim──────────────── (3分)
x→4/3 3
18(4/3)cos[9(4/3)2-16]
=──────────────────────=8 (2分)
3
1+ex-ex
3.解:
原式=∫───────dx (2分)
(1+ex)2
dx d(1+ex)
=∫─────-∫─────── (1分)
1+ex (1+ex)2
1+ex-ex 1
=∫───────dx+───── (1分)
1+ex 1+ex
1
=x-ln(1+ex)+─────+c (1分)
1+ex
4.解:
因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arctgtdt(3分)
dy -(sint)arctgtdt
所以───=────────────────=-tgt (2分)
dx (cost)arctgtdt
5.解:
所求直线的方向数为{1,0,-3} (3分)
x-1 y-1 z-2
所求直线方程为────=────=──── (2分)
1 0 -3
__ __
6.解:
du=ex+√y +sinzd(x+√y+sinx) (3分)
__ dy
=ex+√y +sinz[(1+cosx)dx+─────] (2分)
___
2√y
π asinθ 1 π
7.解:
原积分=∫sinθdθ∫ rdr=──a2∫sin3θdθ (3分)
0 0 2 0
π/2 2
=a2 ∫sin3θdθ=──a2 (2分)
0 3
dy dx
8.解:
两边同除以(y+1)2得──────=────── (2分)
(1+y)2 (1+x)2
dy dx
两边积分得∫──────=∫────── (1分)
(1+y)2 (1+x)2
1 1
亦即所求通解为──
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