数学压轴题归类100题.docx
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数学压轴题归类100题
导数压轴题题型归纳
1.高考命题回顾
例1已知函数f(x)=-(x+m).(2013全国新课标H卷)
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m并讨论f(x)的单调性;
(2)当m<2时,证明f(x)>0.
例2已知函数f(x)=x2++b,g(x)=(+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点
P(0,2),且在点P处有相同的切线y=42(2013全国新课标I卷)
(I)求a,b,c,d的值
(H)若x>-2时,f(x)kg(x),求k的取值范围。
例3已知函数f(x)满足f(x)f'
(1)ex1f(0)x-x2(2012全国新课
2
标)
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若f(x)^x2axb,求(a1)b的最大值。
2
例4已知函数f(x)匹b,曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方x1x
程为x2y30o(2011全国新课标)
(I)求a、b的值;
(H)如果当x0,且x1时,f(x)皿上,求k的取值范
x1x
例5设函数f(x)ex1xax2(2010全国新课标)
(1)若a0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围
例6已知函数f(x)=(x3+3x2)e-x.(2009宁夏、海南)
(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(,a),(2,B)单调增加,在(a,2),(p~)
单调减少,证明B—a>6.
2.在解题中常用的有关结论※
(1)曲线yf(x)在xX。
处的切线的斜率等于f⑷,且切线方程为
yf(x°)(xx°)f(x°)。
(2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值,则f(沧)0。
反之,不成立。
(3)对于可导函数f(x),不等式f(x)0(0)的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。
(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:
xIf(x)
0(0)恒成立(f(x)不恒为0).
(5)函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在
区间I上有极值,则可等价转化为方程f(X)0在区间I上
有实根且为非二重根。
(若f(x)为二次函数且,则有
0)。
(6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函
数,进而得到f(x)0或f(x)0在|上恒成立
⑺若xI,f(x)0恒成立,则f(x)min0;若xI,f(X)0恒
成立,则f(X)max0
(8)若X。
I,使得f(X°)0,贝Uf(x)max0;若X。
I,使得
f(X°)0,贝yf(x)min0.
(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若XDf(x)g(x)恒
成立,则有
f(X)9(几0.
(10)若对
X1I1、
X2
I2,f(xjg(X2)恒成立,则
f(X)ming(x)
max-
若对X1I1,
X2
I2,使得f(X1)g(X2),则f(x)ming(X)min.
若对XiIl,
X2
I2,使得f(X1)g(X2),贝Uf(X)maxg(X)max.
(11)已知f(x)在区间1l上的值域为A,,g(x)在区间12上值域
为B,
若对人11,X2I2,使得f(xJ=g(X2)成立,则
AB。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程f(x)0有两个不等实根Xi、X2,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式
①inx
x1(x0)
win(x+1
x(x1)
inx
x1
x1/
2(x
1)
⑥inx
2
x
2^(x0)
3.题型归纳
①
例7(构造函数,最值定位)设函数fxx1exkx2(其中
kR).
(I)当k1时,求函数fx的单调区间;
(n)当k1,1时,求函数fX在0,k上的最大值M.
例8(分类讨论’区间划分)已知函数f(x)3x3存2xb(a°),
f'(x)为函数f(x)的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线(x)在A点处的切线方程是y3x3,求a,b的值;
(2)若函数g(x)eaxf'(x),求函数g(x)的单调区间.
2例9(切线)设函数f(x)Xa.
(1)当a1时,求函数g(x)xf(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)当a0时,曲线yf(x)在点P(xi,f(xi))(xi荷处的切线
为I,I与x轴交于点A(x2,0)求证:
xix2、a.
22x
例10(极值比较)已知函数f(x)(xax2a3a)e(xR),其中
aR
⑴当a0时,求曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率;.5
2
a
⑵当3时,求函数f(x)的单调区间与极值.
例11(零点存在性定理应用)已知函数f(x)Inx,g(x)ex.
⑴若函数$(x)=f(x)—匕!
,求函数$(x)的单调区
x-1
间;
⑵设直线I为函数f(x)的图象上一点A(xo,f(Xo))处的切线,证明:
在区间
(1)上存在唯一的Xo,使得直线I与曲线(X)相切.
1a
例12(最值问题,两边分求)已知函数f(x)Inxax1
x
(aR).
⑵a三2时,讨论f(x)的单调性;
1
⑵设g(x)x22bx4.当a-时,若对任意x1(0,2),存在
x21,2,使f(xj>gg),求实数b取值范围.
例13(二阶导转换)
已知函数f(x)Inx
a(aR)
x
F(x)他
⑴若x•':
求F(x)的极大值;
2
⑵若G(x)[f(x)]kx在定义域内单调递减,求满足此条件的
实数k的取值范围.
例14(综合技巧)
1
设函数f(X)XxalnX(aR).
⑴讨论函数f(x)的单调性;
⑵若f(x)有两个极值点X1,X2,记过点A(Xi,f(Xi)),B(X2,f(X2))的直线斜率为k,问:
是否存在a,使得k2a?
若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
②
例15(切线交点)已知函数fxax3bX23xa,bR在点1,f1处的切线方程为y20.
⑴求函数fx的解析式;
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值Xi,X2都有fx1fx2c,求实数c的最小值;
⑶若过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线,求实数m的取值范围.
例16(根的个数)已知函数f(x)x,函数g(x)f(x)sinx是区
间[-1,1]上的减函数.
(I)求的最大值;
()若g(x)t2t1在x[1,1]上恒成立,求t的取值范围;
Inx2
(山)讨论关于X的方程f(x)
的根的个数.
x2exm
32,’,亠入、十J「t,f(x)In(23x)—x.
例17(综合应用)已知函数2
⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
⑵若对任意
11
[6'3],不等式|a
Inx|In[f(x)3x]
0成立,求实
数a的取值范围;
⑶若关于x的方程f(x)2xb在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
③
(x)旦
例18(变形构造法)已知函数x1,a为正常数.
9
⑴若f(x)Inx(x),且a2,求函数f(x)的单调增区间;
⑵在⑴中当a0时,函数yf(x)的图象上任意不同的两点
Ax1,y1,Bx2,y2,线段AB的中点为C(Xo,yo),记直线AB的斜率为k,试证明:
kf(X。
).
⑶若g(x)Inx(x),且对任意的xz0,2,x1x2,都有g(x2)g(xj1
x2x1,求a的取值范围.
例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数
f(x)x2In(ax)(a0)
2
(1)若f'(x)x对任意的x0恒成立,求实数a的取值范围;
/\f(X)/1八彳
ft、r一」g(x)—…X",X2(_,1),XtX21t
(2)当a1时,设函数g()X,若12(e)12,求
4
证X1X2(X1X2)
例20(绝对值处理)已知函数f(X)X3ax2bXc的图象经过坐标
原点,且在x1处取得极大值.
(I)求实数a的取值范围;
2
()若方程f(x)违聖恰好有两个不同的根,求f(x)的解析式;
()对于()中的函数f(x),对任意、R,求证:
|f(2sin)f(2sin)|81.
例21(等价变形)已知函数f(x)ax1Inx(aR).
(I)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(□)若函数f(x)在x1处取得极值,对x(0,),f(x)bx2恒成立,
求实数b的取值范围;
(山)当0xye2且xe时,试比较1与的大小.
x1Inx
12f(x)lnx,g(x)xmx
2
图像都相切,且与函数
例22(前后问联系法证明不等式)已知
2(m0),直线l与函数f(x),g(x)的
f(X)的图像的切点的横坐标为1。
(I)求直线l的方程及m的值;
()若h(x)f(x1)g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值。
()当Oba时,求证:
ba
f(ab)f(2a)右
例23(整体把握,贯穿全题)已知函数f(x)也1.
x
(1)试判断函数f(x)的单调性;
(2)设m0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;
(3)试证明:
对任意nN*,不等式ln(」)e口都成立(其中enn
是自然对数的底数).
例24(化简为繁,统一变量)设aR,函数f(x)lnxax.
(I)若a2,求曲线yf(x)在P1,2处的切线方程;
(H)若f(X)无零点,求实数a的取值范围;
2
(山)若f(X)有两个相异零点X"2,求证:
x1X2e.
例25(导数与常见不等式综合)已知函数‘■,
1+疋(I+H)"
其中为正常数.
(I)求函数在]上的最大值;
(H)设数列.•满足:
V-,,
(I)求数列的通项公式,;
(2)证明:
对任意的,
1■r;
6
(山)证明:
1
例26(利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)(e为
自然对数的底数).
(I)求函数f(x)的单调区间;
()如果对任意,都有不等式f(x)>x+x2成立,求实数a的取值范围;
()设“己人:
证明:
拧柠理…+"vc—1
例27已知函数fxax2丄xc(a0).若函数fx满足下列条件
2
①f10;②对一切实数x,不等式fx丄x2丄恒成立.
22
(I)求函数fx的表达式;
(n)若f(x)t22at1对x1,1,a1,1恒成立,求实数t
的取值范围;
(in)求证:
—11^(nN*).
f1f2fnn2
例28(数学归纳法)数f(x)取得极大值.
(1)
(2)
已知函数
f(x)In(x1)mx,当x0时,函
(3)
求实数m的值;已知结论:
若函数数都存在,且a
f(x)In(x1)mx
1,贝U存在xo(a,b)
在区间(a,b)内导
使得
f(b)f(a).试用这个结论证明:
若1
函数g(x)
f(X1)
X1
f(X2)(xX1)
X2
f(x1),则对任意X(x1,x2)
都有f(x)
g(x);
已知正数
1,2丄
n,满足1
2Ln1,求证:
当
n2,n
N时,
对任意大于
1,且互不相等的实数
x1,X2丄,x
都有
f(1X|2X2LnXn)
1f(X1)2
f(X2)L
nf(xn).
f(Xo)
X1
X2,
5
ba
④
例29(传统讨论参数取值范围)已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx,
g(x)xe1x(aR,e为自然对数的底数)
(1)当a1时,求f(x)的单调区间;
(2)对任意的X(0,-1),f(x)0恒成立,求a的最小值;
(3)若对任意给定的xo0,e,在0,e上总存在两个不同的x(i1,2),
使得f(x)g(xo)成立,求a的取值范围。
例30已知函数f(x)a丄.
|x|
(1)求证:
函数yf(x)在(0,)上是增函数•
(2)若f(x)2x在(1,)上恒成立,求实数a的取值范围•
(3)若函数yf(x)在[m,n]上的值域是[m,n](mn),求实数a
的取值范围•
3
例31已知函数f(x)In(2ax1)xx22ax(aR)-
(1)若x2为f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若yf(x)在3,上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)当a丄时,方程f(1x)丄b有实根,求实数b的最大
23x
值•
2
例32(分离变量)已知函数f(x)xa|nx(a为实常数).
(1)若a2,求证:
函数f(x)在
(1)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x[1,e],使得f(x)(a2)x成立,求实数a的取值范围.
例33(多变量问题,分离变量)已知函数f(x)(x36x23xt)ex,
tR.
(1)若函数yf(x)依次在xa,xb,xc(abc)处取到极值.
①求t的取值范围;②若ac2b2,求t的值.
(2)若存在实数t°,2,使对任意的x1,m,不等式f(x)x恒成立.求正整数m的最大值.
例34(分离变量综合应用)设函数f(x)alnxbx2.
⑴若函数f(x)在x1处与直线y2相切:
1
①求实数a,b的值;②求函数f(x)在[;,e]上的最大值;⑵当b0时,若不等式f(x)>mx对所有的a[0,-3],x[1,e2]都成立,求实数m的取值范围.
例35(先猜后证技巧)已知函数f(x)
11n(x1)
(I)求函数f(x)的定义域
(H)确定函数f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.
(山)若x>0时f(x)k恒成立,求正整数k的最大值.
x1
例36(创新题型)设函数f(x)(x)(x)(x)-g(x).
(I)若0是F(x)的极值点,求a的值;
(II)当1时,设P(xi(xi)),Q(x2,g(x2))(xi>02>0),且轴,求P、Q两点间的最短距离;
(m)若x>0时,函数(x)的图象恒在(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.
例37(创新题型)已知函数f(x)=axInx1(aR),g(x)xe1x.
(I)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;
(l)是否存在实数a,对任意给定的X。
(0,e],在区间[1,e]
上都存在两个不同的Xj(i1,2),使得f(xjg(x。
)成
立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由;
(m)给出如下定义:
对于函数yF(x)图象上任意不同的
两点A(X1,y1),B(X2,y2),如果对于函数yF(x)图象上的点M(x°,y°)(其中X。
笃生)总能使得F(xJF(X2)F(x°)(X1X2)成立,则称函数具备性质
“L”,试判断函数f(x)是不是具备性质“L”,并
说明理由.
例38(图像分析,综合应用)已知函数
2
2,3上有最大值
最小值1,设
f(x)
g(x)
x
g(x)ax2ax1b(a0,b1),在区间
(I)求a,b的值;
xx
(H)不等式f
(2)k20在x[叩]上恒成立,求实数k的范围;
x2
f(|21|)k(—3)0
(山)方程|211有三个不同的实数解,
求实数k的范围.
5导数与数列
例39(创新型问题)设函数f(x)(xa)2(xb)ex,abR,xa是f(x)的一个极大值点.
(1)a0,求b的取值范围;
⑵当a是给定的实常数,设心X2,X3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列%1必2必3必4(其中i1,i2,i3,i4=1,2,3,4)依次成等差数列?
若存在,求所有的b及相应的X4;若不存在,说明理由.
例40(数列求和,导数结合)给定函数f(x)
x
2(x1)
(1)试求函数fx的单调减区间;
⑵已知各项均为负的数列an
满足,
1
4Snf(—)
an
1求证:
1’n1
In
n
an1
⑶设bn
丄.
an
丄,Tn为数列bn
an
n项和,
T20121In2012
T2011.
例41(形数转换)已知函数f(x)
Inx,
g(x)
12g(x)-ax
在其定义域
bx(a0).
是增函数
(1)若a2,函数h(x)
f(x)
b的取值范围;
(2)在
(1)
的
结
论
下,
设函
2xx
(x)=e+be,x€[0,In2].
求函数
(x)
的最小值;
⑥导数与曲线新题型
数
f(x)的图象C与函数g(x)的图象C2交于点P、
求
⑶设函数
过线段的中点R作x轴的垂线分别交G、C2于点m、问是否存在点R,使G在m处的切线与C2在N处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
Q,
例42(全综合应用)已知函数f(x)1In—(0x2).
2x
(1)是否存在点M(a,b),使得函数yf(x)的图像上任意一点
P关于点M对称的点Q也在函数yf(x)的图像上?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)定义Snf(丄)f』)f(-)f(^^),其中nN*,求
iinnnn
§2013;
(3)在⑵的条件下,令Sn12an,若不等式2an(an)m1对nN*且n2恒成立,求实数m的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
2
例43(换元替代,消除三角)设函数f(x)x(xa)(xR),
其中aR.
(I)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;(H)当a0时,求函数f(x)的极大值和极小值;
(m)当a3,k10时,若不等式
22
f(kcosx)>f(kcosx)对任意的xR恒成立,求k的值。
例44(新题型,第7次晚课练习)设函数f(x)axcosx,x[0,].
(1)讨论f(x)的单调性
(2)设f(x)1sinx,求a的取值范围.
⑧创新问题积累例45已知函数f(x)
I、求f(x)的极值.
、求证f(x)的图象是中心对称图形.
、设f(x)的定义域为D,是否存在a,bD.当xa,b时,
f(x)的取值范围是-,b?
若存在,求实数a、b的值;
44
若不存在,说明理由
例46已知函数f(x)x44x3ax21在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.
(1)求a的值;
(2)设g(x)bx21,若方程f(x)g(x)的解集恰好有3个元素,求b的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,是否存在实数对(m,n),使f(xm)g(xn)为偶函数?
如存在,求出m,n如不存在,说明理由.
导数压轴题题型归纳参考答案
例i(i)解f(x)=—(X+m?
f(x)=—?
f‘(o)=e—=o?
m=1,
定义域为{>—1},
f(x)=—=,
显然f(x)在(—1,0]上单调递减,在[0,+)上单调递增.
(2)证明g(x)=—(x+2),
则g'(x)=—(x>—2).
h(x)=g'(x)=—(x>—2)?
h'(x)=+>0,
所以h(x)是增函数,h(x)=0至多只有一个实数根,
又g‘(-)=-<0,g‘(o)=1->0,
所以h(x)=g'(x)=0的唯一实根在区间内,
设g'(x)=0的根为t,则有g'(t)=-=0,所以,=?
t+2=e-1,
当x€(-2,t)时,g'(x)vg'(t)=0,g(x)单调递减;当x€(,+x)时,g'(x)>g'(t)=0,g(x)单调递增;所以g(x)=g(t)=-(t+2)=+1=>0,
当n^2时,有(x+m)w(x+2),
所以f(x)=-(x+n)>-(x+2)=g(x)>g(x)>0.
例2
(1)由已知得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4,
而f(x)=2xb,g(x)=ex(cxdc),二a=4,b=2,c=2,d=2;……4分
(H)由(I)知,f(x)x24x2,g(x)2ex(x1),设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2(x2)F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)有题设可得F(0)>0,即k1,令F(x)=0得,x1=Ink,x2=-2,
(1)若1ke2,则一2V禺<0,二当x(2,xJ时,F(x)V0,当x(X1,)时,F(x)>0,即F(x)在(2,xJ单调递减,在(X1,)单调递增故F(x)在x=x1取最小值F(x1)而F(x1)
2
2x12捲4x12x1(x12)>0,
•••当x>-2时,F(x)>0,即f(x)Wkg(x)恒成立,
(2)若ke2,则F(x)=2e2(x2)(exe2),
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