强基计划第4讲计数原理与二项式定理学生版.docx
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强基计划第4讲计数原理与二项式定理学生版
❑环染色
•环染色问题
用k种不同的颜色将含有n(n“3)个部分的圆环染色,要求相邻的部分染不同的颜色,求所有可能的染色方案数an.
•变异的环染色问题
用k种不同的颜色将含有n(n“3)个部分的圆环以及中心染色,要求相邻的部分染不同的颜色,求所有可能的染色方案数an.
❑欧拉错排
•欧拉错排
错排问题是组合数学中的问题之一,考虑有n个元素的排列,如果一个排列中所有元素都不在自己原来的位置上,即a1,a2,···,an是1,2,···,n的一个排列,且满足
∀i=1,2,···,n,ai̸=i,
那么这样的排列就称为原排列的一个错排.n个元素的错排数记为D(n),研究一个排列错排个数的问题称为错排问题,因为这个问题最早被伯努利和欧拉研究,所以也称为伯努利-欧拉错排问题.
•错排数公式
由递推公式或通项公式知
D
(1)=0,D
(2)=1,D(3)=2,D(4)=9,D(5)=44,D(6)=265.
❑卡特兰数
•卡特兰数的定义
卡特兰数(Catalan)来源于卡特兰解决凸n+2边形的剖分时得到的数列Cn,在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍.卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法,堪称计数的映射方法的典范.
•卡特兰数的性质
1.通项公式一
C=1Cn
=Cn
−Cn−1;
2.通项公式二
nn+1
2n2n2n
n
C=1Σ.CiΣ2.
3.递推公式一
nn+1
n
i=0
且C0=1;
4.递推公式二
Cn+1=
2(2n+1)
n+2Cn,
Σ
n
且C0=1.
❑二项式定理
•二项式定理
Cn+1=CiCn−i,
i=0
n
它一共有n+1项,其中各项系数Cr(r=0,1,···,n)叫做展开式的二项式系数.
•二项展开式的通项
二项展开式的第r+1项称为通项,为
n
Tr+1=Cran−rbr(0™r™n,r∈N,n∈N+)
❑环染色
❑欧拉错排
+例题5
正整数1,2,3,···,n的全排列(a1,a2,···,an)满足ai
项更列的个数为xn,下列命题正确的是()
A.xn=(n−1)(xn−1+xn−2)(n“3)
i(i=1,2,···,n)称为n项更列,记n
B.xn=n!
−C0x0−C1x1−···−Cn−2xn−2(n“3,x0=1,x1=0)
nnn
Σ·
ni
C.xn
=n!
(−1)
i!
i=2
n
D.xn=n!
·
Σi=2
(−1)i−1
i!
❑卡特兰数
❑二项式定理
1.定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k™2m,
a1,a2,···,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()
A.18个B.16个C.14个D.12个
2.4封不同的信放入4只写好地址的信封中,全部装错的概率为,恰好只有一封装错的概率为.
3.在.1+2x−x2Σ4的二项展开式中x7的系数是.
1.C.
2.9
24
,0.
3.−8.
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