天津市南开区届高三第二次高考模拟考试数学文附答案.docx
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天津市南开区届高三第二次高考模拟考试数学文附答案
南开区2014~2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(二)
数学试卷(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上;
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.本卷共8小题,每小题5分,共40分.
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么·球的体积公式V球=
R3,
P(A∪B)=P(A)+P(B).其中R表示球的半径.
·棱柱的体积公式V柱体=Sh,
其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高.
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设i是虚数单位,则复数
=().
(A)6–5i(B)6+5i
(C)–6+5i(D)–6–5i
(2)已知命题p:
x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≥0,则p是().
(A)x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0
(B)x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0
(C)x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)<0
(D)x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)<0
(3)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为().
(A)10(B)11
(C)12(D)13
(4)下列函数是奇函数的是().
(A)f(x)=–|x|(B)f(x)=lg(1+x)–lg(1–x)
(C)f(x)=2x+2–x(D)f(x)=x3–1
(5)如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值,则判断框内可以填入().
(A)k<132?
(B)k<70?
(C)k<64?
(D)k<63?
(6)已知双曲线C:
–
=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为().
(A)
–
=1(B)
–
=1
(C)
–
=1(D)
–
=1
(7)已知函数f(x)=sin(x+
)(x∈R,>0)的最小正周期为,将y=f(x)的图象向左平移||个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是().
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)在△ABC中,若|
+
|=|
–
|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则
•
=().
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;
2.本卷共12小题,共110分.
得分
评卷人
二、填空题:
本大题共6个小题,每小题5分,共30分.请将答案填在题中横线上。
(9)在区间[–2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为
,则m=.
(10)若集合A={x|2x+1>0},B={x|(x–1)2≤4},则A∩B=.
(11)一个几何体的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积为m3.
(12)已知圆x2+y2+2x–2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是.
(13)如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过C的直线
交直线AB于E,交过A点的切线于D,BC∥OD.若AD=AB=2,
则EB=.
(14)已知函数f(x)=
,若有三个不同的实数a,b,c,使得f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为.
三、解答题:
(本大题共6个小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
得分
评卷人
(15)(本小题满分13分)
一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(Ⅰ)用卡片上的数字列出所有可能的结果;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(Ⅲ)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
得分
评卷人
(16)(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2
sin2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2acosC+c=2b,求f(B)的取值范围.
得分
评卷人
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为的PC中点,AD=CD=1,DB=2
.
(Ⅰ)证明:
PA∥平面BDE;
(Ⅱ)证明:
AC⊥平面PBD;
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成角的正切值.
得分
评卷人
(18)(本小题满分13分)
已知椭圆C:
(a>b>0),其中e=
,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.又点A,B的中点横坐标为
,且
=
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)求实数的值.
得分
评卷人
(19)(本小题满分14分)
在等比数列{an}中,已知a1=2,且a2,a1+a3,a4成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)设数列{an2–an}的前n项和为Sn,记bn=
,求证:
数列{bn}的前n项和Tn<
.
得分
评卷人
(20)(本小题满分14分)
设函数f(x)=lnx–
ax2–bx.
(Ⅰ)当a=b=
时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)令F(x)=f(x)+
ax2+bx+
(0<x≤3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤
恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当a=0,b=–1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围.
南开区2014~2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(二)
数学试卷(文史类)参考答案
一、选择题:
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
C
C
B
B
A
D
B
二、填空题:
(9)3;(10)(–
,3];(11)18+9;
(12)–4;(13)
;(14)(2,2016)
三、解答题:
(其他正确解法请比照给分)
(15)解:
(Ⅰ)由题意,(a,b,c)所有的可能为:
(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),
(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(1,1,2),(2,1,3),
(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),
(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),
(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.…………6分
(Ⅱ)设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,
所以P(A)=
=
.…………9分
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为
.
(Ⅲ)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,
则事件
包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1–P(
)=1–
=
.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为
.…………13分
(16)解:
(Ⅰ)f(x)=1+sin2x+
(1–cos2x)=sin2x–
cos2x+1+
=2sin(2x–
)+1+
…………5分
∴f(x)的最小正周期T=
=.…………6分
(Ⅱ)由2acosC+c=2b可得2a
+c=2b,即b2+c2–a2=bc,…………8分
∴cosA=
=
,∴A=
,B+C=
,…………10分
∴0<B<
,∴–
<2B–
<,…………11分
因为f(B)=2sin(2B–
)+1+
,
所以–
<sin(2B–
)≤1,f(B)∈(1,3+
].…………13分
(17)解:
(Ⅰ)设AC∩BD=H,连结EH,
在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
所以H为AC的中点,又由题设,E为PC的中点,故HE∥PA,
又HE平面BDE,PA平面BDE,所以PA∥平面BDE.…………4分
(Ⅱ)因为PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以PD⊥AC,
由(Ⅰ)知,BD⊥AC,PD∩BD=D,故AC⊥平面PBD.…………4分
(Ⅲ)由AC⊥平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角.
由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2
,可得DH=CH=
,BH=
,
在Rt△BHC中,tan∠CBH=
=
,
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
.…………13分
(18)解:
(Ⅰ)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2–c2=3,
椭圆的标准方程是
.…………4分
(Ⅱ)由
=
,可知A,B,M三点共线,
设点A(x1,y1),点B(x2,y2).
若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意.…………5分
当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x–4).
由
消去y得,(3+4k2)x2–32k2x+64k2–12=0.①…………7分
由①的判别式△=322k4–4(4k2+3)(64k2–12)=144(1–4k2)>0,解得k2<
,
x1+x2=
,x1x2=
.…………9分
由
=
=
,可得k2=
,即有k=
.…………10分
将k2=
代入方程①,得7x2–8x–8=0,
则x1=
,x2=
.…………11分
又因为
=(4–x1,–y1),
=(x2–4,y2),
=
,
所以=
=
.…………13分
(19)解:
(Ⅰ)设等比数列的公比为q,由已知得:
2(a1+a3)=a2+a4,
即2(a1+a1q2)=a1q+a1q3,解得q=2,
又∵a1=2,
∴an=a1qn–1=2n;…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
Sn=(a12+a22+a32+…+an2)–(a1+a2+a32+…+an)
=(4+42+43+…+4n)–(2+22+23+…+2n)
=
–
=
(2n–1)(2n+1–1)…………9分
∴bn=
=
(
–
)…………11分
∴Tn=
(
–
+
–
+
–
+…+
–
+
–
)
=
(1–
)<
.…………14分
(20)解:
(Ⅰ)依题意,知f(x)的定义域为(0
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