近世代数练习题题库.docx
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近世代数练习题题库
§1第一章基础知识
1判断题:
1.1设与都是非空集合,那么。
()
1.2A×B=B×A()
1.3只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。
()
1.4如果是A到的一一映射,则[(a)]=a。
()
1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。
()
1.6设、、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。
()
1.7在整数集Z上,定义“”:
ab=ab(a,b∈Z),则“”是Z的一个二元运算。
()
1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。
()
2填空题:
2.1若A={0,1},则A⨯A=__________________________________。
2.2设A={1,2},B={a,b},则A×B=_________________。
2.3设={1,2,3}B={a,b},则AB=_______。
2.4设A={1,2},则A⨯A=_____________________。
2.5设集合;,则有。
2.6如果是与间的一一映射,是的一个元,则。
2.7设A={a1,a2,…a8},则A上不同的二元运算共有个。
2.8设A、B是集合,|A|=|B|=3,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。
2.9设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有____________个.
2.10设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有__________个.
2.11设A={a,b,c,d,e},则A的一一变换共有______个.
2.12集合的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件:
_____________________________________________。
2.13设A={a,b,c},那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。
2.14设~是集合的元间的一个等价关系,它决定的一个分类:
是两个等价类。
则______________。
2.15设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么______________。
2.16设A={1,2,3,4,5,6},规定A的等价关系~如下:
a~b2|a-b,那么A的所有不同的等价类是______________。
2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合,~是M上的合同关系,则由~给出M的所有不同的等价类的个数是______________。
2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合M(F)中,规定等价关系A~B秩(A)=秩(B),则这个等价关系决定的等价类有________个。
2.19设M100(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100(F)中规定等价关系~如下:
A~B秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。
2.20若M={有理数域上的所有3级方阵},A,B∈M,定义A~B⇔秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。
3证明题:
3.1设是集合A到B的一个映射,对于,规定关系“~”:
.证明:
“~”是A的一个等价关系.
3.2在复数集C中规定关系“~”:
.证明:
“~”是C的一个等价关系.
3.3在n阶矩阵的集合中规定关系“~”:
.证明:
“~”是的一个等价关系.
3.4设“~”是集合A的一个关系,且满足:
(1)对任意,有;
(2)对任意,若就有.证明:
“~”是A的一个等价关系.
3.5设G是一个群,在G中规定关系“~”:
存在于,使得.证明:
“~”是G的一个等价关系.
第二章群论
1判断题:
§2.1群的定义.
1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
(A)G对于这个乘法运算都是封闭的;
(B)∀a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立;
(C)存在G,使得∀aG,都有ea=a成立;
(D)∀aG,都存在aG,使得aa=e成立。
则G关于这个乘法运算构成一个群。
()
1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
A)G对于这个乘法运算是封闭的;
B)a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立;
C)存在eG,使得aG,都有ae=a成立;
D)aG,都存在aG,使得aa=e成立。
则G关于这个乘法运算构成一个群。
()
1.3设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果
(1)G对乘法运算是封闭的
(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。
()
1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果
(1).G对乘法运算是封闭的;
(2).乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。
()
1.5实数集R关于数的乘法成群。
()
1.6若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。
()
1.7若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。
1.8设Q为有理数集,在Q上定义二元运算“”,ab=a+b+ab()构成一个群。
()
§2.2变换群、置换群、循环群
1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
()
1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.()
1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。
()
1.12素数阶群都是交换群。
()
1.13p(p为质数)阶群G是循环群.()
1.14素数阶的群G一定是循环群.()
1.153次对称群是循环群。
()
1.16任意群都同构于一个变换群.()
1.17有限群都同构于一个置换群。
()
1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。
()
1.19在5次对称群中,(15)(234)的阶是6.()
1.20在4次对称群S4中,(12)(324)的阶为6。
()
1.21在中,(12)(345)的阶是3。
()
1.22任意有限群都与一个交换群同构。
()
1.23因为22阶群是交换群,所以62阶群也为交换群。
()
1.246阶群是交换群。
()。
1.254阶群一定是交换群。
()
1.264阶群一定是循环群。
()
1.27循环群一定是交换群。
()
1.28设G是群,a,b∈G,|a|=2,|b|=3,则|ab|=6。
()
1.2914阶交换群一定是循环群。
()
1.30如果循环群中生成元的阶是无限的,则与整数加群同构。
()
1.31有理数加群Q是循环群。
()
1.32若一个循环群G的生成元的个数为2,则G为无限循环群。
()
§2.3子群、不变子群。
1.33若H是群G的一个非空子集,且a,bH都有abH成立,则H是G的一个子群。
()
1.34若H是群G的一个非空有限子集,且a,bH都有abH成立,则H是G的一个子群。
()
1.35循环群的子群也是循环群。
()
1.36如果群的子群是循环群,那么也是循环群。
()
1.37一个阶是11的群只有两个子群。
()
1.38有限群中每个元素的阶都整除群的阶。
()
1.39设G是一个n阶群,m|n,则G中一定有m阶子群存在。
()
1.40若G是60阶群,则G有14阶子群。
()
1.41设G是60阶群,则G有40阶子群。
()
1.42阶为100的群一定含25阶元。
()
1.43阶为100的群一定含25阶子群。
()
1.44阶为81的群G中,一定含有3阶元。
()
1.45设H是群G的一个非空子集,则。
()
1.46设H是群G的一个非空子集,则。
()
1.47群的子群是不变子群的充要条件为。
()
1.48群的一个子群元素个数与的每一个左陪集的个数相等.()
1.49指数为2的子群不是不变子群。
()
1.50若NH,HG,则NG。
()
1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。
()
1.52设H≤G,K≤G,则HK≤G。
()
1.53若NN,HG那么NHG。
()
§2.4商群、群的同态定理。
1.54群之间的同态关系是等价关系。
()
1.55循环群的商群是循环群。
()
1.56设f:
是群到群的同态满射,a∈,则a与f(a)的阶相同。
()
1.57设G是有限群,H≤G,则。
()
1.58若是群G到的同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且。
()
1.59设f是群G到群的同态映射,HG,则f(H)。
()
1.60设f是群G到群的同态映射,H≤G则f(H)≤。
()
1.61若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。
1.62若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示的原象,则()是G不变子群,且。
()
1.63设G和都是群,,,N=(),则NG,且。
()
2填空题:
2.1在群G中,a,b∈G,a2=e,a-1ba=b2,则|b|=_________________。
2.2在交换群G中,a,b∈G,|a|=8,|b|=3,则|a-2b|=_________________。
2.3设a是群G的元,a的阶为6,则a4的阶为___________________。
2.4设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。
2.5设G是交换群,a、bG,|a|=5,|b|=7,则|ab|=_____________。
2.6群AG中有_____个1阶元。
2.7在S5中,4阶元的个数为_____________。
2.8在S4中,3阶元的个数为_____________。
2.9设为群,,若,则_______________。
2.10设群G={e,a1,a2,…,an-1},运算为乘法,e为G的单位元,则a1n=___.
2.11若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元,则ab的阶为____________。
2.12在整数加群Z中,<4>∩<6>=_________________。
2.1310阶交换群G的所有子群的个数是_________________。
2.14阶数最小的非交换群的阶数是_________。
一个有限非可换群至少含有____________个元素.
2.15任意群G一定同构于G的一个_____________。
2.16n次对称群Sn的阶是_______。
2.179-置换分解为互不相交的循环之积是_______。
2.18n阶有限群G一定_____________置换群。
2.19每一个有限群都与一个__________群同构。
2.20已知为上的元素,则=__________。
2.21给出一个5-循环置换,那么_________________。
2.22在4次对称群S4中,(134)2(312)-1=______.
2.23在4次对称群S4中,(24)(231)=_____________,(4321)-1=_____________,(132)的阶为_____________。
2.24在6次对称群S中,(1235)(36)=____________。
2.25(2431)=_________
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