高三数学人教版a版数学理高考一轮复习教案94 随机事件的概率 word版含答案.docx
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第四节 随机事件的概率
事件与概率
了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意
义,了解频率与概率的区别.
了解两个互斥事件的概率加法公式.
知识点一 概率与频率
1.在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).
2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:
P(A)=1.
(3)不可能事件的概率:
P(A)=0.
易误提醒 易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.
[自测练习]
1.给出下列三个命题,其中正确命题有________个.
①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是
;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
解析:
①错,不一定是10件次品;②错,
是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念.
答案:
0
2.某城市2015年的空气质量状况如下表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50 解析: 由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P= + + = . 答案: 知识点二 互斥事件和对立事件 事件 定义 性质 互斥事件 在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件 P(A+B)=P(A)+P(B),(事件A,B是互斥事件); P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(事件A1,A2,…,An任意两个互斥) 对立事件 在一个随机试验中,两个试验不会同时发生,并且一定有一个发生的事件A和 称为对立事件 P( )=1-P(A) 易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. [自测练习] 3.装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( ) “①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球”. A.①② B.①③ C.②③D.①②③ 解析: 从口袋内一次取出2个球,这个试验的基本事件空间Ω={(白,白),(红,红),(黑,黑),(红,白),(红,黑),(黑,白)},包含6个基本事件,当事件A“两球都为白球”发生时,①②不可能发生,且A不发生时,①不一定发生,②不一定发生,故非对立事件,而A发生时,③可以发生,故不是互斥事件. 答案: A 4.运动会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号相连的概率为( ) A. B. C. D. 解析: 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种,其中选出的火炬手的编号相连的事件有: (1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),∴选出的火炬手的编号相连的概率为P= . 答案: A 考点一 事件的关系| 1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件 解析: 根据互斥事件与对立事件的意义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥也不对立;B∩C=∅,B∪C=Ω,故事件B,C是对立事件. 答案: D 2.设条件甲: “事件A与事件B是对立事件”,结论乙: “概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,事件A: “至少出现一次正面”,事件B: “3次出现正面”,则P(A)= ,P(B)= ,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件. 答案: A 3.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 解析: 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A. 答案: A 集合法判断互斥事件与对立事件的方法 1.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥. 2.事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 考点二 随机事件的概率| (2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率. [解] (1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为 . (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为 . 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为 . 1.某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩,指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数,试题满分120分),并且绘制了条形统计图(如图所示),则该中学参加本次数学竞赛的人数为________,如果90分以上(含90分)获奖,那么获奖的概率大约是________. 解析: 由题图可知,参加本次竞赛的人数为4+6+8+7+5+2=32;90分以上的人数为7+5+2=14,所以获奖的频率为 =0.4375,即本次竞赛获奖的概率大约是0.4375. 答案: 32 0.4375 考点三 互斥事件与对立事件的概率| 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C.求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. [解] (1)P(A)= ,P(B)= = , P(C)= = . (2)因为事件A,B,C两两互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 故1张奖券的中奖概率为 . (3)P( )=1-P(A+B)=1- = .故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接求法: 将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算. (2)间接求法: 先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P( )求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就会较简便. 2.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解: 记A表示事件: 该车主购买甲种保险;B表示事件: 该车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件: 该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种;D表示事件: 该车主甲、乙两种保险都不购买. (1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B, 所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8. (2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率 【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) [思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用“正难则反”思想求解. [解] (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45, 所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 =1.9(分钟). (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P(A1)= = ,P(A2)= = . P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- - = . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 . [思想点评] (1)要准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征含义. (2)正确判定事件间的关系,善于将A转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式. (3)需准确理解题意,特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义. [跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( ) A.0.95 B.0.97 C.0.92D.0.08 解析: 记抽检的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 答案: C A组 考点能力演练 1.甲: A1、A2是互斥事件;乙: A1、A2是对立事件,那么( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 解析: 根据对立事件与互斥事件的关系知,甲是乙的必要但不充分条件. 答案: B 2.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A.0.5 B.0.3 C.0.6D.0.9 解析: 依题设知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5. 答案: A 3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球” C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 解析: A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.故选D. 答案: D 4.(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A. B. C. D. 解析: 分析题意可知,共有(0,1,2),(0,2,5),(1,2,5),(0,1,5)4种取法,符合题意的取法有2种,故所求概率P= . 答案: C 5.(2015·孝感二模)某天下课以后,教室里还剩下2位男同学和2位女同学.如果他们依次走出教室,则第2位走出的是男同学的概率为( ) A. B. C. D. 解析: 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以第2位走出的是男同学的概率P= = . 答案: A 6.(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________. 解析: 根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有: 10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为 . 答案: 7.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率是0.6,那么摸出白球的概率是________. 解析: 设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A、B、C,由条件知P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.65, P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.6, 又P(A∪B)=1-P(C),∴P(C)=0.35, ∴P(B)=0.25. 答案: 0.25 8.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________. 解析: 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 + = . 答案: 9.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位: 吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 解: (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 = = . (2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件 表示生活垃圾投放正确. 事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P( )约为 =0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3. 10.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求: (1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少? 解: 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A、B、C、D、E、F互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则 G=A∪B∪C, 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)法一: 记“至少3人排队等候”为事件H,则 H=D∪E∪F, 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 法二: 记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. B组 高考题型专练 1.(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率. 解: (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为 =0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24. 2.(2015·高考北京卷)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解: (1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2. (2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 =0.3. (3)与 (1)同理,可得: 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6, 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1. 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
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