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考研数学一真题
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、选择题:
(本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)
当x→0+时,与x等价的无穷小量是
(A)1-e
x.(B)
ln1+x
.(C)
-1.(D)1-cos
.[B]
【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当x→0+时,有1-e
x=-(e
x-1)~-;
-1~1x;
2
~(
1-cos1x)2=1x.利用排除法知应选(B).
22
(2)
曲线y=1+ln(1+ex),渐近线的条数为
x
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[D]
【分析】先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。
【详解】因为lim[1+ln(1+ex)]=∞,所以x=0为垂直渐近线;
x→0x
又lim[1+ln(1+ex)]=0,所以y=0为水平渐近线;
x→-∞x
y
1ln(1+ex)ln(1+ex)ex
进一步,lim
x→+∞x
=lim[
x→+∞
+
x2x
]=lim
x→+∞x
=lim
x→+∞1+e
x=1,
lim[y-1⋅x]=lim[1+ln(1+ex)-x]=lim[ln(1+ex)-x]
x→+∞
x→+∞x
x→+∞
=lim[lnex(1+e-x)-x]=limln(1+e-x)=0,
x→+∞x→+∞
于是有斜渐近线:
y=x.故应选(D).
(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半
x
圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=⎰0f(t)dt.
则下列结论正确的是
(A)
(C)
F(3)=-3F(-2).(B)
4
F(-3)=3F
(2).(D)
4
F(3)=5F
(2).
4
F(-3)=-5F(-2).[C]
4
【分析】本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】根据定积分的几何意义,知F
(2)为半径是1的半圆面积:
F
(2)=1π,
2
F(3)是两个半圆面积之差:
F(3)=1[π⋅12-π⋅12=3π=3F
(2),
()]
2284
-303
F(-3)=⎰0f(x)dx=-⎰-3f(x)dx=⎰0f(x)dx=F(3)
因此应选(C).
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是
(A)
若limf(x)存在,则f(0)=0.(B)若limf(x)+f(-x)存在,则f(0)=0.
x→0xx→0x
(C)若limf(x)存在,则f'(0)存在.(D)若limf(x)-f(-x)存在,则f'(0)存在
x→0x
x→0x
[D]
【分析】本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0.
若limf(x)存在,则f(0)=0,f'(0)=limf(x)-f(0)=limf(x)=0,可见(C)也正确,
x→0x
x→0
x-0
x→0x
故应选(D).事实上,可举反例:
f(x)=x在x=0处连续,且
limf(x)-f(-x)=limx--x
=0存在,但f(x)=x在x=0处不可导。
x→0xx→0x
(5)设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f''(x)>0.
则下列结论正确的是
令un=
f(n)(n=1,2,,),
(A)若u1>u2,则{un}必收敛.(B)若u1>u2,则{un}必发散.
(C)若u1 【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】设f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f''(x)>0,u 12 {u}={n2}发散,排除(C);设f(x)=1,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且 n f''(x)>0,u >u,但{u}= x 1收敛,排除(B);又若设f(x)=-lnx,则f(x)在(0,+∞)上 12n{} n 具有二阶导数,且f''(x)>0,u1>u2,但{un}={-lnn}发散,排除(A).故应选(D). (6)设曲线L: f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第II象限内的点M和第IV 象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是 (A) (C) ⎰Tf(x,y)dx.(B) ⎰Tf(x,y)ds.(D) ⎰Tf(x,y)dy. ⎰Tfx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy.[B] 【分析】直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。 【详解】设M、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1 ⎰Tf(x,y)dx=⎰Tdx=x2-x1>0;⎰Tf(x,y)dy=⎰Tdy=y2-y1<0; ⎰Tf(x,y)ds=⎰Tds=s>0; 故正确选项为(B). ⎰Tfx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy=⎰Tdf(x,y)=0. (7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是 (A) (C) α1-α2,α2-α3,α3-α1.(B) α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1.(D) α1+α2,α2+α3,α3+α1. α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.[A] 【详解】用定义进行判定: 令 x1(α1-α2)+x2(α2-α3)+x3(α3-α1)=0,得(x1-x3)α1+(-x1+x2)α2+(-x2+x3)α3=0. 因α,α,α 线性无关,所以 ⎧x1 ⎪-x+x -x3=0, =0, 123 ⎨12 ⎪-x+x =0. 10 又-11 0-1 ⎩23 -1 0=0, 1 故上述齐次线性方程组有非零解,即α1-α2,α2-α3,α3-α1线性相关.类似可得(B),(C), (D)中的向量组都是线性无关的. ⎛2-1 ç -1⎫ ÷ ⎛100⎫ ç⎪ (8)设矩阵A=ç-12 ç-1-1 -1⎪, ÷ ⎭ B=ç01 ⎝0 0⎪,则A与B ÷ ⎭ (A)合同,且相似.(B)合同,但不相似. (C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.[B] 【详解】由|λE-A|=0 得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1,从而A与B 不相似. 又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选(B). (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0 (A) 3p(1-p)2.(B) 6p(1-p)2. (C) 3p2(1-p)2.(D) 6p2(1-p)2.[C] 3 【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标,前3次射击中有1次命中目标,由独立重复性知所求概率为: C1p2(1-p)2.故选(C). (10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x)fY(y)分别表示X, Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为 fX(x) (A) fX(x).(B) fY(y).(C) fX(x)fY(y).(D) .[A] fY(y) 【详解】因(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,故X与Y相互独立,于是 fX|Y(x|y)=fX(x).因此选(A). 二、填空题: (11-16小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上) 21111 (11) ⎰1x 3exdx= e2. 2 【分析】先作变量代换,再分部积分。 11=t1 【详解】 21exdxx2t3et(-1)dt= 1tetdt t ⎰1x3 =⎰1 2⎰1 2 1111 =⎰1tdet=tet122 ⎰1etdt= 2 e2. 2 (12)设f(u,v)为二元可微函数,z=f(xy,yx),则∂z=f'⋅yxy-1+f'⋅yxlny. ∂x12 【详解】利用复合函数求偏导公式,有∂z=f'⋅yxy-1+f'⋅yxlny. ∂x12 (13)二阶常系数非齐次线性微分方程 y'-4y'+3y=2e2x 的通解为 12 y=Cex+Ce3x-2e2x. 其中C1,C2 为任意常数. 【详解】特征方程为λ2-4λ+3=0,解得λ =1,λ =3. 可见对应齐次线性微分方 程y'-4y'+3y=0的通解为 12 12 y=Cex+Ce3x. 12 设非齐次线性微分方程y'-4y'+3y=2e2x的特解为y*=ke2x,代入非齐次方程可得k=−2.故通解为y=Cex+Ce3x-2e2x. (14)设曲面∑: x+y+z=1,则⎰⎰(x+|y|)dS=43. ∑3 【详解】由于曲面∑关于平面x=0对称,因此⎰⎰xdS=0.又曲面∑: x+y+z=1具 ∑ 有轮换对称性,于是 ⎰⎰(x+|y|)dS=⎰⎰|y|dS=⎰⎰|x|dS=⎰⎰|z|dS=1⎰⎰(|x|+|y|+|z|)dS ∑∑∑ ∑3∑ 1 =⎰⎰ dS=1⨯8⨯3=43. 3∑323 ⎛0100⎫ ç⎪ (15)设矩阵A=ç0 ç ⎝0 010⎪,则A3的秩为1. 00⎪ 000⎭ 【详解】依矩阵乘法直接计算得 ⎛0 ç A3=ç0 ç ⎝0 001⎫ ÷ 000⎪3 00⎪,故r(A)=1. 000⎭ 13 (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于2的概率为4. 【详解】这是一个几何概型,设x,y为所取的两个数,则样本空间 Ω={(x,y)|0 2 3 故P(A)=SA=4=3,其中S,S 分别表示A与Ω的面积. SΩ14 三、解答题: (17-24小题,共86分.) (17)(本题满分11分) 求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x,y)x2+y2≤4,y≥0}上的最大值和最小值。 【分析】由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可。 【详解】因为f'(x,y)=2x-2xy2,f'(x,y)=4y-2x2y,解方程: xy ⎧⎪f'=2x-2xy2=0, ⎨x得开区域内的可能极值点为(± 2,1). y ⎪⎩f'=4y-2x2y=0 其对应函数值为f(±2,1)=2. 又当y=0时,f(x,y)=x2在-2≤x≤2上的最大值为4,最小值为0. 当x2+y2=4,y>0,-2 F(x, yλ,=) 2x+ 22y- 2x+2yλ (+2x -2y ⎧F'=2x-2xy2+2λx=0, ⎪x 解方程组 ⎨F'=4y-2x2y+2λy=0, 得可能极值点: (0,2),(± ),其对应函 ⎩ ⎪Fλ'=x2+y2-4=0, 7 数值为f(0,2)=8,f(± )=.4 比较函数值2,0,4,8,7,知f(x,y)在区域D上的最大值为8,最小值为0. 4 (18)(本题满分10分)计算曲面积分 I=⎰⎰xzdydz+2zydzdx+3xydxdy, ∑ 其中∑为曲面z=1-x2- y(0≤z≤1)的上侧。 2 4 【分析】本题曲面∑不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式,而在添加的平面域上直接投影即可。 2 【详解】补充曲面: ∑1: x+4 =1,z=0,取下侧.则 I=⎰⎰ ∑+∑1 xzdydz+2zydzdx+3xydxdy-⎰⎰xzdydz+2zydzdx+3xydxdy ∑1 =⎰⎰⎰(z+2z)dxdydz+⎰⎰3xydxdy ΩD 2y2 其中Ω为∑与∑1所围成的空间区域,D为平面区域x+4 由于区域D关于x轴对称,因此⎰⎰3xydxdy=0.又 D ≤1. 11 ⎰⎰⎰(z+2z)dxdydz=3⎰⎰⎰zdxdy=3⎰0zdz⎰⎰dxdy=3⎰0z⋅2π(1-z)dz=π. ΩΩDz 2 其中Dz: x+4 ≤1-z. (19)(本题满分11分) 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a), f(b)=g(b),证明: 存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=g'(ξ). 【分析】需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理。 事实上,若令 F(x)=f(x)-g(x),则问题转化为证明F''(ξ)=0,只需对F'(x)用罗尔定理,关键是找到F'(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点c∈(a,b),使得F(c)=0,则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对F'(x)用罗尔定理即可。 【证明】构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b) 内具有相等的最大值,不妨设存在x1≤x2,x1,x2∈(a,b)使得 f(x1)=M=maxf(x),g(x2)=M=maxg(x), [a,b][a,b] 若x1=x2,令c=x1,则F(c)=0. 若x1 c∈[x1,x2]⊂(a,b),使F(c)=0. 在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得 F'(ξ1)=F'(ξ2)=0. 再对F'(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),有 F''(ξ)=0,即f'(ξ)=g'ξ( (20)(本题满分10分) ∞ n 设幂级数∑axn在(-∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足 n=0 y'-2xy'-4y=0,y(0)=0,y'(0)=1. (I)证明: an+2 =2 n+1 an,n=1,2, (II)求y(x)的表达式. 【分析】先将和函数求一阶、二阶导,再代入微分方程,引出系数之间的递推关系。 ∞∞∞ 【详解】(I)记y(x)=∑axn,则y'=∑naxn-1,y'=∑n(n-1)axn-2,代入微分方程 y'-2xy'-4y=0,有 n n=0 n=1 nn n=2 ∑n(n-1)ax-2nax-4ax=0,∑∑ ∞∞∞ n-2nn nnn n=2 n=1 n=0 ∞∞∞ 即∑(n+2)n(+1a+)nx-∑2nanx-∑4 anx= n=0 故有(n+2)n(+ n2 1an+)2- n=0 n2na- nn n=0 n4a= 即an+2 =2 n+1 an,n=1, (II)由初始条件 y(0)=0,y'(0)=1知,a0=0,a1=1. 于是根据递推关系式 an+2 =2 n+1 an, 有a2n =0,a2n+1=n! .故 ∞∞∞ n2n+1 2n+1 ∞ 2nx2 y(x)=∑anx =∑a2n+x =∑x =x∑(x) =xe. n=0 n=0 n=0n! n=0n! (21)(本题满分11分) 设线性方程组 ⎧ ⎪ ⎨ x1+x2+x3x+2x+ax =0, =0, ⎪x +4x+a2x =0 与方程 123① ⎩123 x1+2x2+x3=a-1② 有公共解,求a的值及所有公共解. 【分析】两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组: ⎧x1+x2+x3 =0, ⎪x+2x+ax =0, ⎪1 ⎨x+4x 23 +a2x =0,③ ⎪123 ⎪⎩x1+2x2+x3 =a-1. 若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得: ⎛111 ç 0⎫⎛1110⎫ ⎪ç⎪ A=ç12a 0⎪→ç01 a-10⎪ . ç2 ç ⎝121 ⎪ ÷ a-1⎭ ç ç ⎝00 (a-2)(a-1)1-a ⎪ ÷ a-1⎭ 于是1°当a=1时,有r(A)=r(A)=2<3,方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共 解即为③的通解,此时 ⎛1010⎫ ç⎪ A→ç0100⎪, ç00⎪ ⎝0000⎭ æ-1ö 此时方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为: ç⎪ ç0⎪, ç1⎪ ⎝⎭ æ-1 ç⎪ 所以①与②的全部公共解为kç0⎪,k为任意常数. ç1⎪ ⎝⎭ 2°当a=2时,有r(A)=r(A)=3,方程组③有唯一解,此时 ⎛100 ç A→ç010 001 ⎝00 ⎛x1⎫⎛0⎫ 0⎫ ÷ 1⎪ -1⎪,故方程组③的解为: ÷ ⎭ ⎛0⎫ ç1⎪,即①与②有唯一公 ç⎪ ⎝⎭ 共解: 为x=çx ⎪ç⎪ 2⎪ç⎪ ç⎪ ⎝3⎭ ç⎝-1⎪⎭ (22)(本题满分11分) 设3阶对称矩阵A的特征值λ1 =1,λ2 =2,λ3 =-2, α=(1,-1,1)T是A的属于λ的 一个特征向量,记B=A5-4A3+E其中E为3阶单位矩阵. (I)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (II)求矩阵B. 【分析】根据特征值的性质可立即得B的特征值,然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特
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