矩形的性质.docx

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矩形的性质

课题：

19.2.1矩形的性质

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

   1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

   2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

学习重点：

矩形的性质．

学习难点：

矩形的性质的灵活应用．

学习过程：

预习导学：

1．思考：

拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。

文档来自于网络搜索

归纳：

矩形定义：

__________________________________叫做矩形（通常也叫_________）．文档来自于网络搜索

2．学习P103页【探究】.归纳矩形的性质：

⑴具有平行四边形的一切性质。

⑵矩形性质定理1：

____________________________．

⑶矩形性质定理2：

____________________________．

3.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半．文档来自于网络搜索

4.学习教材P104例1.

5.补充例题：

例1、已知：

如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．文档来自于网络搜索

分析：

（1）因为矩形四个角都是直角，因此△ABD是Rt△，若设AD=xcm，则对角线BD=（x+4）cm，由勾股定理可解出x.文档来自于网络搜索

（2）利用直角三角形面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×BD＝AD×AB，由此可算出AE.文档来自于网络搜索

例2、已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE＝EF．

分析：

CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．文档来自于网络搜索

证明：

随堂练习：

1．填空：

（1）矩形的定义中有两个条件：

一是，二是．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．

2．下列说法错误的是（）．A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等

C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．

A、2对B、4对C、6对D、8对

4．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________cm，cm，cm，cm．文档来自于网络搜索

5.已知：

如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．文档来自于网络搜索

课堂检测：

1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．

（A）12cm（B）10cm（C）7.5cm（D）5cm文档来自于网络搜索

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

3．已知：

矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：

EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：

∠CBE的度数．

课题：

19.2.1矩形的判定

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

1．理解并掌握矩形的判定方法．

2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题．

学习重点：

矩形的判定．

学习难点：

矩形的判定及性质的综合应用．

预习导学：

1、复习引入：

______________________________叫做平行四边形。

___________________________文档来自于网络搜索

叫做矩形。

矩形的性质有：

___________________、______________________、____________________。

文档来自于网络搜索

2、事例引入：

小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？

看看谁的方法可行？

文档来自于网络搜索

3、自学P105页内容，归纳矩形的判定方法．

定义判定：

________________________________________________.文档来自于网络搜索

矩形判定定理1：

_________________________________________________.文档来自于网络搜索

矩形判定定理2：

_________________________________________________.文档来自于网络搜索

强调：

判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．文档来自于网络搜索

4、例题分析：

例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

   （3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

     （4）对角线相等的四边形是矩形；（）

     （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）

强调：

（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．文档来自于网络搜索

例2（补充）已知

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．文档来自于网络搜索

分析：

首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．文档来自于网络搜索

解：

例3（补充）  已知：

如图

（1），

ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：

四边形EFGH是矩形．文档来自于网络搜索

分析：

要证四边形EFGH是矩形，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．因为该四边形是由平行四边形内角平分线形成的，由平行四边形邻角互补易得该四边形各内角为90°。

文档来自于网络搜索

证明：

随堂练习：

1．下列说法正确的是（）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形

2．已知：

如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．文档来自于网络搜索

课堂检测：

1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；

⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：

；

⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：

；

文档来自于网络搜索

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

3.如图，M是

ABCD边AD的中点，且MB=MC，求证：

这个平行四边形是矩形。

课题：

19.2.2菱形的性质

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2．理解并掌握菱形的定义及性质；并会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

学习重点：

菱形的性质1、2．

学习难点：

菱形的性质及菱形知识的综合应用．

预习导学：

1．复习引入：

_________________________叫做平行四边形，_______________________________叫矩形，平行四边形和矩形之间的关系是___________________________________________。

文档来自于网络搜索

2、菱形定义：

_______________________________________________叫做菱形．文档来自于网络搜索

【强调】

（1）菱形①是平行四边形；②一组邻边相等．

（2）菱形的定义既是判定又是性质．

3、学习P107页【探究】：

自己动手，利用折纸、剪切的方法，探究、归纳菱形的性质．

菱形性质1：

____________________________________________；文档来自于网络搜索

菱形性质1：

____________________________________________。

文档来自于网络搜索

强调：

（1）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直．

（2）菱形ABCD被对角线AC、BD分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用这个结论．（3）菱形的面积公式是S=

ab（其中a、b分别是菱形的两条对角线的长）．即：

“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高．文档来自于网络搜索

4、自学P108页例2。

5、补充例题：

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

　　求证：

∠AFD=∠CBE．

证明：

随堂练习：

1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．

2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．

3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

4．已知：

如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：

∠AEF=∠AFE．文档来自于网络搜索

课堂检测：

1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．

2．四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．文档来自于网络搜索

3、四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm，求

（1）∠BAD、∠ABC的度数；

（2）边AB及对角线AC的长。

思维拓展：

如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，且∠DAE=3∠BAE，求∠EAC。

课题：

19.2.2菱形的判定

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；

2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算。

学习重点：

菱形的两个判定方法．

学习难点：

判定方法的证明方法及运用．

预习导学

1、复习引入

（1）菱形的定义：

_______________________________________________.文档来自于网络搜索

（2）菱形的性质1:

______________________________________________;文档来自于网络搜索

性质2：

_____________________________________________.

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

（判定：

2个条件）

2．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

文档来自于网络搜索

3、菱形判定方法1：

__________________________________．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:

____________________________________．

菱形常用的判定方法归纳为：

________________________的四边形

________________________的平行四边形

________________________的平行四边形是菱形

________________________的平行四边形五、例习题分析

4、例题学习：

例1（教材P109的例3）略

例2（补充）已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

证明：

※例3（选做）已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．文档来自于网络搜索

求证：

四边形CEHF为菱形．

随堂练习

1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．

2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：

四边形OCED是菱形。

文档来自于网络搜索

课堂检测：

1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．

（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直

（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分

2．已知：

如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：

四边形MEND是菱形．文档来自于网络搜索

3．做一做：

设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15cm，宽为4cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．文档来自于网络搜索

课题：

19.2.3正方形

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的学习进行辩证唯物主义教育，提高逻辑思维能力．文档来自于网络搜索

学习重点：

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

学习难点：

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

预习导学：

1、知识回顾：

____________________________叫做平行四边形，____________________________叫做矩形，____________________________叫做菱形。

文档来自于网络搜索

2、正方形定义：

__________________________________________的平行四边形叫做正方形．文档来自于网络搜索

3、由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形有如下性质：

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边：

对边平行，四边相等；

角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

【强调】正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．文档来自于网络搜索

课堂练习：

思考下列问题：

①对角线相等的菱形是正方形吗？

为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？

为什么？

如果不是，应该加上什么条件？

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？

为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

4、学习教材P111的例4：

求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

求证：

证明：

5、补充例题：

例1、已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：

OE=OF．文档来自于网络搜索

分析：

要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．文档来自于网络搜索

证明：

例2、已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．文档来自于网络搜索

求证：

四边形PQMN是正方形．

分析：

由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．文档来自于网络搜索

证明：

随堂练习：

1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．

2．已知：

如图1，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：

∠AFE＝∠AEF．文档来自于网络搜索

3、如图2，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．

图1图2图3图4图5文档来自于网络搜索

课堂检测：

1．已知：

如图3，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：

EA⊥AF．

2．已知：

如图4，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形CFDE是正方形．文档来自于网络搜索

3．已知：

如图5，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：

AE=BE+DF．文档来自于网络搜索

课题：

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

1、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．

2、能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算．

3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想．

学习重点：

等腰梯形的性质及其应用．

学习难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．

预习导学：

1．画一画：

在下列所给图中的每个三角形中画一条线段：

【思考】

（1）怎样画才能得到一个梯形？

（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？

2、梯形的定义：

_____________________________________________的四边形叫做梯形．文档来自于网络搜索

强调：

①梯形与平行四边形的区别和联系：

平行四边形是有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边相等，而梯形平行的边不相等；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．文档来自于网络搜索

3、解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：

把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：

使两腰在两个直角三角形中（图2）；

　　（3）“平移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

　　（4）“延腰”：

构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1图2图3图4图5文档来自于网络搜索

3．自学P117－118页内容归纳梯形的性质：

①等腰梯形是_____________图形，____________________是对称轴．

②等腰梯形__________________________________________．

③等腰梯形__________________________________________．

4、学习教材P118的例1．

5、补充例题：

例1、已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．文档来自于网络搜索

求CD的长．

分析：

设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．可以平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB）。

文档来自于网络搜索

例2、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求证：

BE＝CD．文档来自于网络搜索

分析：

要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：

平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．文档来自于网络搜索

另证：

如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

课堂练习：

1．

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=．文档来自于网络搜索

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．

（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=．文档来自于网络搜索

2．已知：

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．文档来自于网络搜索

3．求证：

等腰梯形两腰上的高相等．

课堂检测：

1．填空：

已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为，最小角为．

2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．

3．已知：

如图，梯形ABCD中，CD//AB，

，

．求证：

AD=AB—DC．

4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：

AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）文档来自于网络搜索

课题：

课型：

新授课主备教师：

慕向军审核：

八年级数学备课组

学习目标：

1．掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法．

2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，进一步培养学生的分析能力和计算能力．文档来自于网络搜索

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想．

学习重点：

掌握等腰梯形的判定方法并能运用．

学习难点：

等腰梯形判定方法的运用．

预习导学：

1．复习：

（1）_______________________________________的四边形叫梯形，______________文档来自于网络搜索

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