天津卷数学高考试题及答案.docx

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天津卷数学高考试题及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A与事件B互斥，那么P（AjB）P（A）P（B）.

•如果事件A与事件B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）.

•

球的表面积公式S4#2,其中R表示球的半径.

4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：

mm）,将所得数据分为9组：

[5.31,5.33）,[5.33,5.35）,||卜

[5.45,5.47）,[5,47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间

[5.43,5.47）内的个数为

5.若棱长为2J3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

①f（x）的最小正周期为2兀;

小一，兀一，、一..

②f（.是f（x）的最大值；

一.一....一.一一兀.一,一.._一一.

③把函数ysinx的图象上所有点向左平移一个单位长度，可得到函数yf（x）的图象.

3

其中所有正确结论的序号是

一x,x0,

9.已知函数f（x）右函数g（x）

x,x0.

1L

A.（,初（2隹）

C.（,0）|J（0,2历

f（x）kx22x（kR）恰有4个零点，则k的取值范围是

B.（,2业0,2&）

D.（,0旬（2隹）

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二.填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.i是虚数单位，复数i-.

2i

11.在（x与5的展开式中，x2的系数是.x

12.已知直线x73y80和圆x2y2r2（r0）相交于A,B两点.若|AB|6,则r的值为

1一1

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为

—和-•假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落

23

入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

三.解答题：

本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分14分）

在4ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知a2J2,b5,cJi3.

（i）求角C的大小；

（n）求sinA的值；

（出）求sin（2A-）的值.

4

17.（本小题满分15分）

D,E

如图，在三^柱ABCABC1中，CC1平面ABC,ACBC,ACBC2,CC13,

分别在棱AA1和棱CC〔上，且AD1,CE2,M为棱AB1的中点.

（I）求证：

C1MB1D；

（n）求二面角BB〔ED的正弦值；

（出）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.

18.（本小题满分15分）

22

。

为原

xy

已知椭圆下1r1（ab0）的一个顶点为A（0,3）,右焦点为F,且|OA||OF|,其ab

点.

（I）求椭圆的方程；

（n）已知点C满足

OF,点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆

相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.

19.（本小题满分15分）

已知an为等差数列，bn为等比数列，a1匕1,a55a4a3,b54b44

（i）求an和bn的通项公式；

2.*

（卫）记an的刖n项和为Sn,求证：

SnSn2S11nN；

3an2bn,n为奇数，

（出）对任意的正整数n,设cnanan2求数列cn的前2n项和.

史,n为偶数.bni

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）x3klnx（kR）,f（x）为f（x）的导函数.

（i）当k

6时,

（i）求曲线

yf（x）在点（1,f

（1））处的切线方程;

（ii）求函数

9

g（x）f（x）f（x）—的单调区间和极值;

x

（n）当k

3时，求证：

对任意的x1,x2[1,），且x1x2,有」-

2

x〔x2

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学参考解答

每小题

5分，满分

45分.

1.C2.A

3.A4,B5.C6.D7.D8.B9.D

二.填空题:

每小题

5分，满分

30分.

试题中包含两个空的,

答对

1个的给

3分，全部答对的给

5分.

10.3

2i

11.10

12.5

1

13.—

6

14.4

15.

13

三.解答题

16.满分14分.

（I）解：

在ZXABC中,

由余弦定理及

2、2b

5,c

VT3,有cose

bj

2ab

上又

2

因为e（0,力，所以e

（n）解：

在

△ABC中,

由正弦定理及

冗

4，a

22,c

VT3,可得sinA

asinC

2.13

13

（m）解：

由

213…

ac及sinA,可得

进而sin2A

13

12

2

sinA

3.13

13'

2

2sinAcosA—,cos2A2cosA1

13

所以，sin（2A-）

4

一•ca一一冗一一c一冗12

sin2Acos-cos2Asin-

413

5

一

13

2

2

5

13

217.2

226

17.满分15分.

依题意，以C为原点，分别以

女,点,出的方向为x轴,

y轴,

z轴的正方向建立空间直角坐标系

（如图），可得C（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2,0）,C1（0,0,3）,A（2,0,3）,B（0,2,3）,D（2,0,1）,E（0,0,2）,

M（1,1,3）.

（I）证明：

依题意,

'（1,1,0），

2200,所以

BD（2,2,2）,从而

CiMBiD.

（H）解：

依题意,

（2,0,0）是平面BB1E的一个法向量,

EBf（0,2,1）,ED（2,0,1）.设

nEB1

n（x,y,z）为平面DB1E的法向量，则口nED

0,即

0,

2yZ

2xz

0,不妨设x1,可得n0.

（1,1,2）.

因止匕有cos

CA,n

旦_6,

||n|6

F曰_■_

十sin

n

30

6

所以，二面角BB1ED的正弦值为

30

6

（m）解：

依题意，AB

（2,2,0）.由（n）

（1,1,2）为平面DB〔E的一个法向量,

n

A

n

|AB||n|

所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为

18.

满分15分.

（I）解:

由已知可得b3.记半焦距为c,

由|OF||OA|可彳导cb3.又由a2b2

c2,可得

a218.

2x

所以，椭圆的方程为一

189

（n）解:

因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP

ykx3,

的斜率均存在.设直线AB的方程为ykx3.由方程组x2y2消去y,可得

1,

189

2212k

2k1x12kx0,解得x0,或x—一.依题意，可得点B的坐标为2k21

2

12k6k23m

——,一2一•因

2k212k21

6k

为P为线段AB的中点，点A的坐标为（0,3）,所以点P的坐标为6k,—

OF,

3晶

——.由

19.

得点C的坐标为（1,0）,故直线CP的斜率为

3-…2

k一21,整理得2k23k1

2k26k1

所以，直线AB的方程为y

1c-

-x3,或y

满分15分.

（i）解：

设等差数列an

得d1,从而an的通项公式为ann

解得q2,从而bn的通项公式为bn

（n）证明：

由（i）可得sn

（m）解:

当n为奇数时,

an1

n1

2n

对任意的正整数n

2k

4k

1

42

c2k

1

2n

因此，ck

k1

c2kk1

3

2k21

6k

2k21

等比数列bn

2n1

n（n1）

，故SnS2

2

1）（n2）0,所以

c2kk1

3

43

2

42

3

42

III

III

c2k

k1

3an

2bn

anan2

_5

43

2n

4n

1,b5

2k2

3

6k

的公比为q

-.又因为AB

1

a11,a55

4b4b3,又q0,可得q2

1_2

-n（n1）（n2）（n3）,Sn14

SnSn2S2

（3n2）2n1

n（n

2）

2n1

9n1

二；当nn

CP,所以

a4a3

4q

1）2

为偶数时,

22k

2k

-2k2

2

22n

2k

2n1

111

2n

4n

2n1

4n1

2n1

4n1

1;

2n

4n1

n5

c2k一

k19

6n5

94n

2n1

94n

6n5

94n

4n

所以，数列cn的刖2n项和为

n2n1

20.

满分16分.

（i）⑴解：

当k6时，f（x）x3

6ln

f（x）

3x12-.可得f

（1）1,x

f

（1）

9,所

以曲线y

f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为

9（x

1）,即y9x8.

（ii）解:

依题意，g（x）x33x26lnx

3

-,xx

（0,

）.从而可得g（x）3x2

6x

整理可得

3

g（x）令g（x）

x

x

（0,1）

1

（1,）

g（x）

-

0

+

g（x）

极小值

当x变化时，g（x）,g（x）的变化情况如下表:

g（x）的单调递减区间为（0,1）,单调递增区间为

g（x）的极小值为

（1,

）;

所以，函数

大值.

（n）证明:

f（x）

x3kInx,得f（x）

3x2-x

对任意的x1,x2

[1,

），且x1x2,

人为

令一

x2

t（t1）,

g

（1）1,无极

Xx2fxi

x2

x1

fx2

x1x23x；

x1

3x2

x2

3

x1

3

x2

kln二x2

3

x1

3x1x2

x2

2kln上x2

x3t33t23t

人1

令h（x）x-2lnx,xx

[1,）.当x

1时，h（x）

1~2x

[1,）单调递增，所以当32

因为X21,t3t3t

所以，x；t33t23t1

t33t261nt31.t

由（I）（ii）可知，当t

..323

故t33t26lnt—1t

由①②③可得x1x2f

X1,X2[1,），且X1X

」1〜c

t1时，h（t）h

（1）,即t-2lnt0.

3

1（t1）0,k3,

1321

kt-2lnt（t33t23t1）3t-2lnt

②323

1时，g（t）g

（1）,即t33t26lnt-1,

0.③

x1fx22fx1fx20.所以，当k3时，对任意的

fXfx2fx1fx2

2,有-

2Kx2

1

-21nt.

t