浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法.docx
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浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法
浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法
云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学 张荣芝
【摘要】解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法,但对于一些特殊的二元一次方程组,若能根据方程组的特征,灵活运用一些技巧,不仅可以简化解题过程,而且有助于培养同学们的创新意识。
【关键词】二元一次方程组 巧解 创新意识 加减法
二元一次方程组的解题思路就是消元,通过消元把二元转化为一元。
消元分代入消元法和加减消元法,这是解二元一次方程组的基本方法。
解题时常遇到一些特殊形式的方程(组),它们结构巧妙而富有规律性。
此时应仔细观察题目的特点,抓住方程的结构特征或某种规律,联想一些解题方法与技巧,往往能避免常规解法带来的繁杂运算,找到较为简便的解法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发,先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程,在“消元”法中,包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
一、整体代入法
例1 解方程组
解:
原方程组可变形为
继续变形为 2x-3y+2x=-5
2x-3y=1
(2)代入
(1)得:
解得:
方程组的解为
再如:
2a+b=3
(1)
3a+b=4
(2)
解:
(2)式变形为(2a+b)+a=4 (3)
把
(1)代入(3)得3+a=4
∴a=1
把a=1代入
(1)得b=1
∴原方程组的解是 a=1
b=1
二、直接加减法 ax+by=m
当方程组中未知数的系数具有轮换特点时,即类似于bx+ay=n 的形式,可以直接将两个方程相加、减,反复两次,然后联立得到新方程,从而巧妙地迅速求解,我们称之谓反复加减法.
例2 解方程组4x-3y=3
(1)
3x-4y=4
(2)
解:
(1)+
(2)得 7x-7y=7
∴ x-y=1 (3)
(3)-
(2)得 x+y=﹣1(4)
由(3),(4)得 x=0 x=0
∴ y=﹣1
再如:
可用此种方法快速求解
三、整体叠加法
例3解方程组
分析:
两个方程的第一项未知数
、
的系数相同,并且都含有
的倍数,故可将
视为一个整体,把两方程相加,先求出
的值,尔后将
的值分别代入两方程即可得解.
解:
(1)+
(2)得
3(x+y)+9(x+y)=72 x+y=6(3)
把(3)代入
(1)
(2)得3x+30=36 x=2
3y+24=36 y=4
所以原方程组的解为 x=2
y=4
四、消常数项法
例4解方程组
2x-5y=﹣3
(1)
﹣4x+y=﹣3
(2)
解:
(1)-
(2)得
6x-6y=0 化简得x=y (3)
把(3)代入
(1)得y=1 把y=1代入
(1)
得x=1
所以原方程组的解为 x=1
y=1
再如:
解方程组
五、设参数代入法
例5解方程组 x-3y=2
(1)
x:
y=4:
3
(2)
解:
由
(2)得:
设
,则x=4k,y=3k(3)
把(3)代入
(1)得:
解得:
把
代入(3),得:
所以原方程组的解是
六、换元法
所谓换元法,就是把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体,用一个中间变量去代换,从而达到简化式子的目的。
例6解方程组
分析:
从该方程组的特点可以看出,把
各视为一个整体,利用换元法较为简捷。
解:
设2x+3y=a,2x-3y=b 则原方程组可变形为
3a+4b=84
2a+3b=48
解得 a=60
b=-24
2x+3y=60 x=9
代入得 2x-3y=-24 解得这个方程组,得y=14
用换元法解方程组可化繁为简,不仅可减少运算量,还可以又快又准地解出方程。
七、对称方程组的解法
例7 解方程组 x/5+y/7=12
y/5+x/7=12
分析:
观察方程组不难发现,把期中任意一个方程中的两个未知数互换位置,得到的方程恰为另一个方程。
不难验证,在这种情况下将原方程组中任一方程与y=x联立求得的解即为原方程组的解。
解:
原方程组与下列方程组的解相同
x/5+y/7=12
(1)
y=x
(2)
把
(2)代入
(1)得x=35,把x=35代入
(2)
得y=35
所以原方程的解为 x=35
y=35
八、简化系数法
例8解方程组 4x-3y=3
(1)
3x-4y=4
(2)
解:
(1)+
(2)得:
7x-7y=7
所以x-y=1(3)
(1)-
(2)得:
x+y=-1(4)
由(3)(4)得:
其实解二元一次方程组的方法远远不止以上几种,有些二元一次方程组有特殊的结构,选择适当的方法可以使方程组的求解变得简单易行。
【参考文献】 七年级下册数学《教材1+1》;
七年级下册数学《完全解读》
简介:
姓名:
张荣芝; 性别:
女; 民族:
汉族
地址:
宣威市羊场镇初级中学 手机号:
180********
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