第四章分解因式全章讲学稿优质.docx
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第四章分解因式全章讲学稿优质
4.1《因式分解》
学习目标:
1.了解因式分解的概念.
2.了解因式分解与整式乘法的关系.
学习重点:
因式分解的概念。
学习难点:
认识因式分解与整式乘法的关系,并能够意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。
学习过程
一、自主预习
(一)知识回顾,计算下列各题:
(1)(n+1)(n-1)
(2)(a+1)(a-2)
(3)m(a+b)(4)2ab(x-2y+1)
小结:
由上可知,整式乘法是一种变形,左边是几个整式的形式,右边是一个式。
(二)阅读课文P92-93的内容,并回答问题:
1.把一个多项式化为几个整式的__________的形式叫做因式分解,也叫做把这个多项式__________。
2.例析分解因式:
(1)∵(x-1)(x+2)=x2+x-2∴x2+x-2=________;
(2)∵(m+5n)()=m2-25n2∴m2-25n2=________;
(3)∵()2=a2-6a+9∴a2-6a+9=()2.
小结:
由此可知,因式分解也是一种变形,左边是_____________,右边是_____________。
三、合作探究
1.判断下列变形是否为因式分解(填“是”或“不是”)
(1)3(x-1)=3x-3();
(2)x2-y2=(x-y)(x+y)();
(3)x2-y2-1=(x-y)(x+y)-1();(4)(x+y)2=x2+2xy+y2().
2.想一想:
(1)(a+1)(a-1)=
(2)a2-1=
以下两种运算有什么联系与区别?
(1)式属于。
(2)式属于。
3.看谁连得准
x2-y2(x+1)29-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)xy-y2(x+y)(x-y)
三、训练巩固:
1.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()
A.(x+3)(x-3)=x2-9B.x2-2xy+y2=(x-y)2
C.a2-3=(a+2)(a-2)+1D.2a(b-1)=2ab-2a
2.下列各式从左到右变形错误的是()
A.(a-b)2=(b-a)2B.-a+b=-(a+b)
C.(a-b)3=-(b-a)3D.-x-y=-(x+y)
3.如果2x2+ax-2可因式分解成(2x+1)(x-2),则a的值是()
A.1B.-1C.3D.-3
4.用简便方法计算:
(1)39×20.06+51×20.06+10×20.06
(2)20062-2006×2005
四、拓展延伸:
1.若(a+5)(a+2)=
+7a+10,则
+7a+10=()()
2.若
+mx-n能分解成(x-2)(x-5)则m=____,n=____.
3.若
-6x+m=(x-4)(),则m=____。
五.中考链接
(2014·衡阳)下列因式分解中正确的个数为()
①x3+2xy+x=x(x2+2y);②x2+4x+4=(x+2)2;③-x2+y2=(x+y)(x-y).
A.3个B.2个C.1个D.0个
六、分层作业:
4.2《提取公因式1》
学习目标:
1.经历探索寻找多项式各项的公因式的过程;
2.会用提取公因式法进行因式分解.
学习重点:
用提取公因式法进行因式分解。
学习难点:
提取公因式的过程。
学习过程
一、自主预习
1.下列各多项式有没有共同的因式?
如果有请找出并填在横线上:
(1)ac+bc :
.
(2)3x+6:
.
(3)3x +x:
.(4)30mb +5nb:
.
(5)2x2+6x3:
.(6)7(a-3)-b(a-3):
。
2.公因式概念:
,叫做这个多项式各项的公因式.
3.怎样确定多项式的公因式?
(1)系数的确定:
(2)字母的确定:
(3)指数的确定:
4.找出下列各式的公因式并尝试提取公因式:
①x2+4x___________________.②7x2–21x___________________.
③2x2y+4xy2–2xy_________________.
5.用提公因式法分解因式的基本步骤:
(1)___________________ ;
(2)___________________.
三、合作探究
1.学习例1:
把下列各式分解因式:
(1)ap-aq+am
(2)4a3b-8a2b2c
(3)–3m3+9m2-12mn (4)6a3b2-9a2b2+15ab2
(5)8a3b2-12ab3c.(6)把-4a3+16a2-18a.
2.利用分解因式进行计算:
992+99
3.先分解因式,再求值:
(1)2xy2+4x2y,其中y+2x=5,xy=4
三、训练巩固:
1.下列各式公因式是a的是()
A.ax+ay+5B.3ma-6ma2C.4a2+10abD.a2-2a+ma
2.-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是()
A.-3xB.3xzC.3yzD.-3xy
3.将下列各式分解因式
(1)3x+6
(2)7x2-21x
(3)8a3b2-12ab2+ab(4)-24x3-12x2+28x
四、拓展延伸:
1.①(x-y)=-(y-x)②(x-y)2=(y-x)2③(x-y)3=(y-x)3④(x-y)4=(y-x)4 你发现了什么?
(1)当n为_____时,(a-b)n=(b-a)n;
(2)当n为______时,(a-b)n=-(b-a)n。
(其中n为正整数)
五、分层作业:
4.2《提取公因式
(2)》
学习目标:
1.能根据具体问题确定多项式各项的公因式。
2.能熟练掌握用提取公因式法把多项式分解因式。
学习重点:
公因式是多项式时能用提取公因式法分解因式。
学习难点:
公因式的确定。
学习过程:
一、自主预习
1.什么是公因式?
2.下列多项式的公因式是什么并分解。
(1)4mn-3mn2
(2)-15x2y3-21xy2-6x3y2
3.如何确定多项式m(x-5)+3n(x-5)的公因式呢?
我们发现这个多项式的两项都含有,因此可以把看作一个整体,当成公因式提取出来,即m(x-5)+3n(x-5)=(x-5)()
4.说出下列多项式的公因式吗?
(1)m(y+x)+n(y+x)
(2)-2x(m-n)2-8(m-n)
(3)(a-b)2–(a-b)3
由此可知,公因式既可以是单项式,也可以是.
二、合作探究
1.学习例2,尝试完成以下各题:
(1)(2x+y)(2x-3y)-x(2x+y)
(2)、3b(m-n)2-5(n-m)
2.做一做:
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“—”,使等式成立:
(1)(5-x)=(x-5)
(2)b-a=(a-b)
(3)–m-n=(m+n)(4)(n-m)2=(m-n)
(5)(-x-y)2=(x+y)2(6)–a2+b3=(a2–b3)
3.在
(2)中你发现了什么规律?
用字母表示出来。
4.请你用发现的规律把下列两式分解因式:
(1)3(m-n)-9b(n-m)
(2)m(x-y)2-n(y-x)3
5.将下列各式分解因式:
(1)2a(b+c)-3(b+c)
(2)18b(a-b)2-12(a-b)3
(3)6(x-2)+x(2-x)(4)5(x-y)3+10(y-x)2
三、训练巩固:
1.填空:
(1)单项式-12x12y3与8x10y6的公因式是________.
(2)-xy2(x+y)3+x(x+y)2的公因式是________。
(3)把4ab2-2ab+8a分解因式得________.
(4)5(m-n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积
2.分解因式:
(1)
(2)x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)
(3)x(x-y)5+xy(y-x)4-x3(x-y)3
四、拓展延伸:
1.先分解因式,再求值:
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3
2.把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)(b-a-c)分解因式、
五、分层作业:
4.3《公式法
(1)》
学习目标:
了解运用公式法分解因式的意义;掌握用平方差公式分解因式.
学习重点:
掌握运用平方差公式分解因式。
学习难点:
将某些单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;多步骤分解因式。
学习过程:
一、自主预习
1.练一练:
填空
(1)(x+3)(x-3)=
(2)(4x+y)(4x-y)=
(3)(1+2x)(1–2x)=(4)(3m+2n)(3m–2n)=2.根据上面式子填空:
(1)9m2–4n2=
(2)16x2–y2=(3)x2–9=(4)1–4x2=
3.小结:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=,左边是运算,右边是一个式,把这个等式反过来就是=
这个式子左边是一个,右边是,第二个式子从左边到右边是否是因式分解?
第
(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第
(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
4.观察式子,分析特点
观察式子a2-b2的特点.:
是一个二项式,每项都是整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.;如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用公式分解因式,分解成两个整式的与的积.
如:
x2-16=()2-()2=(x+4)(x-4).
9m2-4n2=()2-()2=(+)(-)
5.把下列各式分解因式:
(1)25-36x2
(2)49a2-4b2.
(3)9(m+n)2-(m-n)2(4)3x3-12x.
二、合作探究
1.分解因式:
(1)x2y2-a2
(2)5a3-20a(3)x4-1
(4)-16a4+81b4(5)(2m+n)2-(m+2n)2(6)(a+b)2-a2
2.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=______
三、训练巩固:
1.下列各式中不能用平方差公式分解的是()
A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n2
3.把下列各式因式分解:
(1)4–m2
(2)9m2–4n2(3)a4b4-m4(4)(m-a)2-(n+b)2
四、拓展延伸:
1.将下列各式因式分解:
(1)9(
x–y)2–(x+y)2
(2)2x3–8x
(3)
(4)
2.若n为正整数,(n+11)2-n2的值总可以被k整除,则k等于()
A.11B.22C.11或22D.11的倍数.
3.对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2是否能被24整除?
为什么
四、分层作业:
4.3《公式法
(2)》
学习目标:
1.了解运用完全平方公式法分解因式的意义;
2.了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤;
3.会用完全平方公式进行因式分解。
了解运用公式法分解因式的意义;掌握用平方差公式分解因式.
学习重点:
运用完全平方公式法分解因式。
学习难点:
平方差公式和完全平方式的识别及运用公式法分解因式。
学习过程:
一、自主预习:
1.计算下列各式 2根据左面的算式将下列各式分解因式
(1)(m-4n)2=
(1)m2-8mn+16n2=
(2)(m+4n)2=
(2)m2+8mn+16n2=
(3)(a+b)2= (3)a2+2ab+b2=
(4)(a-b)2 (4)a2-2ab+b2=
2.思考:
上面2题中左边的结构特征 ;
结论:
形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为.
3.思考:
下列多项式哪些是完全平方式?
哪些不是?
并说明理由
(1)x2–4xy+4y2
(2)x2+4xy–4y2
(3)4m2 –6mn+9n2 (4)m2+3mn+9n2
(5)(x+y)2+4(x+y)+4 (6)9a2+3a+1
4.填空:
将下列式子补成完全平方式
(1)x2+( )+9
(2)(a+b)2+( )+4
=x2+2( )( )+( )2 =(a+b)2+2( )( )+( )2
(3)( )2-6xy+y2=( )2-2( )( )+( )2
完全平方式口诀:
首平方,尾平方
二、合作探究
1.如果把乘法公式中的完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,
完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2–2ab+b2=(a–b)2
2.学习例题:
把下列完全平方式分解因式:
(1) x2+14x2+49
(2)x2+6xy+9y2
(3)x2-12xy+36y2; (4)4-12(x-y)+9(x-y)2
3.把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)–x2-4y2+4xy
归纳:
在分解因式时如各项有公因式则先
三、训练巩固:
1判断正误
(1)x2+y2=(x+y)2()
(2)x2–y2=(x–y)2()(3)x2–2xy–y2=(x–y)2()(4)–x2–2xy–y2=–(x+y)2()
2.已知4x2-ax+9是完全平方式,则a=
3.若4x2+mxy+49y2是一个完全平方式,那么m的值为
4、把下列各式因式分解:
(1)m2–12mn+36n2
(2)ax2+2a2x+a3
(3)–2xy–x2–y2 (4)4–12(x–y)+9(x–y)2
(5)x2+4y2-4xy (6)-3x2+6xy-3y2
四、拓展延伸:
1.把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)16a4+24a2b2+9b4
2.△ABC的三边a、b、c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,试判定△ABC的形状。
四、分层作业:
《第四章回顾与思考》
学习目标:
1.使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法
2.提高学生因式分解的基本运算技能;
3.能熟练使用几种因式分解方法的综合运用
学习重点:
复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式。
学习难点:
利用分解因式进行计算和讨论。
学习过程:
一、自主预习:
1.把一个多项式化成的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2.要弄清楚分解因
式的概念,应把握如下特点:
(1)结果一定是的形式;
(2)每个因式都是
;
(3)各
因式一定要分解到为止。
3.分解因式与是互逆关系。
4.分解因式常用的方法有:
(1)提公因式法:
(2)应用公式法:
①平方差公式:
②完全平方公式:
;。
5.分解因式步骤:
(1)首先考虑提取,然后再考虑套公式;
(2)
对于二次二项式联想到平方差公式因式分解;
(3)对于二次三项式联想到完全平方公式,若不行再考虑十字相乘法分解因式;
(4)分解完毕不要大意,检查是否分解彻底。
二、训练巩固:
1.下列哪些式子的变形是因式分解?
(1)x2–4y2=(x+2y)(x–2y)
(2)x(3x+2y)=3x2+2xy
(3)4m2–6mn+9n2=2m(2m–3n)+9n2(4)m2+6mn+9n2=(m+3n)2
2.把下列各式分解因式:
(1)4x2–9
(2)(x+y)2
–6(x+y)+9
(3)(4)(a2+4)2–
16a
2
三、拓展延伸:
1.把下列各式因式分解:
(1)7x2–63
(2)x3y2–4x
(3)a3+2a2+a(4)(x–y)2–4(x+y)2
(5)16–(2a+3b)2(6)a4–8a2b2+16b4
(7)y2–9(x+y)2(8)(x+y)2–14(x+y)+49
2.填空:
(1)若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2,则这个正方形的边长是多少?
(2)当k=时,100x2–kxy+49y2是一个完全平方式;
(3)计算:
20062–2×6×2006+36=;
四、分层作业:
第四章单元测试题
一、选择题
1.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是()
A、
B、
C、
D、
2.多项式
的公因式是()
A、
B、
C、
D、
3.在下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是()
A、
B、
C、
D、
4.下列各式中
不是完全平方式的是()
A、
B、
C、
D、
5.已知多项式
分解因式为
,则
的值为()
A、
;B、
;C、
;D、
二、填空题
6.分解因式x(2-x)+6(x-2)=__________。
7.如果
是一个完全平方式,那么k的值是___________。
8.计算93-92-8×92的结果是__________。
9.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为_________。
三、解答题
10.分解因式
(1)8a2-2b2
(2)4xy2-4x2y-y3
11.已知
,求
的值。
www.xkb1.com
12.32000-4×
31999+10×31998能被7整除吗?
试说明理由。
13.若
是完全平方式,求m的值。
14.已知
10,
=80,求
的值。
15.已知代数式
,当
时,它有最小值,是
.
16.已知
是△ABC的三边,且
,那么△ABC的形状是。
17.计算:
四.分解因式
(1)2am2﹣8a;
(2)4x3+4x2y+xy2(3)3x﹣12x3
(4)(x2+y2)2﹣4x2y2(5)x2y﹣2xy2+y3;(6)(x+2y)2﹣y2.
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