八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案新版新人教版.docx
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八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案新版新人教版
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
1.理解同底数幂的乘法法则.
2.运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.
重点
正确理解同底数幂的乘法法则.
难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则.
一、提出问题,创设情境
复习an的意义:
an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.
(出示投影片)
提出问题:
(出示投影片)
问题:
一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?
[生]运算次数=运算速度×工作时间,
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:
1015×103.
[师]1015×103如何计算呢?
[生]根据乘方的意义可知
1015×103=(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)=(10×10×…×10)18个10=1018.
[师]很好,通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015,103的运算叫做同底数幂的乘法.根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.
二、探究新知
1.做一做
(出示投影片)
计算下列各式:
(1)25×22;
(2)a3·a2;
(3)5m·5n.(m,n都是正整数)
你发现了什么?
注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.
[师]根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.
[生]
(1)25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)
=27=25+2.
因为25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义,同样道理可得
a3·a2=(a·a·a)(a·a)=a5=a3+2.
5m·5n=(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))=5m+n.
[生]我们可以发现下列规律:
am·an等于什么(m,n都是正整数)?
为什么?
(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;
(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
(出示投影片)
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:
am·an=(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a=a·a·…·a(m+n)个a=am+n
于是有am·an=am+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:
“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的道理,深刻理解同底数幂的乘法法则.
[生]am表示m个a相乘,an表示n个a相乘,am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘,也就是说有(m+n)个a相乘,根据乘方的意义可得am·an=am+n.
[师]也就是说同底数幂相乘,底数不变,指数要降一级运算,变为相加.
3.例题讲解
出示投影片
[例1]计算:
(1)x2·x5;
(2)a·a6;
(3)2×24×23;(4)xm·x3m+1.
[例2]计算am·an·ap后,能找到什么规律?
[师]我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?
[生1]
(1),
(2),(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.
[生2](3)也可以,先算两个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.
[师]同学们分析得很好.请自己做一遍.每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.
生板演:
(1)解:
x2·x5=x2+5=x7;
(2)解:
a·a6=a1·a6=a1+6=a7;
(3)解:
2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28;
(4)解:
xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1.
[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发,能自己解决吗?
与同伴交流一下解题方法.
解法一:
am·an·ap=(am·an)·ap
=am+n·ap=am+n+p;
解法二:
:
am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p;
解法三:
am·an·ap=(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a=am+n+p
归纳:
解法一与解法二都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法三是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果.我们需要这种开拓思维的创新精神.
[生]那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加.
[师]是的,能不能用符号表示出来呢?
[生]am1·am2·am3·…amn=am1+m2+m3+…mn.
[师]鼓励学生.那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.
2×24×23=21+4+3=28.
三、随堂练习
1.m14可以写成( )
A.m7+m7B.m7·m7
C.m2·m7D.m·m14
2.若xm=2,xn=5,则xm+n的值为( )
A.7B.10C.25D.52
3.计算:
-22×(-2)2=________;
(-x)(-x2)(-x3)(-x4)=________.
4.计算:
(1)(-3)2×(-3)5;
(2)106·105·10;
(3)x2·(-x)5;
(4)(a+b)2·(a+b)6.
四、课堂小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质,请同学们谈一下有何新的收获和体会呢?
[生]在探索同底数幂乘法的性质时,进一步体会了幂的意义,了解了同底数幂乘法的运算性质.
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,我觉得应注意两点:
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n是正整数).
五、课后作业
教材第96页练习.
本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.在课堂教学时,通过幂的意义引导学生得出这一性质,接着再引导学生深入探讨同底数幂运算,幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”,训练学生的整体思想.
14.1.2 幂的乘方
1.知道幂的乘方的意义.
2.会进行幂的乘方计算.
重点
会进行幂的乘方的运算.
难点
幂的乘方法则的总结及运用.
一、复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示:
(2)计算:
①a2·a5·an;②a4·a4·a4.
二、自主探究
1.思考:
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算结果有什么规律:
(1)(32)3=32×32×32=3( );
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a( );
(3)(am)3=am·am·am=a( ).(m是正整数)
2.小组讨论
对正整数n,你认识(am)n等于什么?
能对你的猜想给出验证过程吗?
幂的乘方(am)n=am·am·am…amn个
=am+m+m+…m,\s\up6(n个m))
=amn
字母表示:
(am)n=amn(m,n都是正整数)
语言叙述:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
注意:
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10.
三、巩固练习
1.下列各式的计算中,正确的是( )
A.(x3)2=x5 B.(x3)2=x6
C.(xn+1)2=x2n+1 D.x3·x2=x6
2.计算:
(1)(103)5;
(2)(a4)4;
(3)(am)2;(4)-(x4)3.
四、归纳小结
幂的乘方的意义:
(am)n=amn.(m,n都是正整数)
五、布置作业
教材第97页练习.
运用类比方法,得到了幂的乘方法则.这样的设计起点低,学生学起来更自然,对新知识更容易接受.类比是一种重要的数学思想方法,值得引起注意.
14.1.3 积的乘方
1.经历探索积的乘方和运算法则的过程,进一步体会幂的意义.
2.理解积的乘方运算法则,能解决一些实际问题.
重点
积的乘方运算法则及其应用.
难点
幂的运算法则的灵活运用.
一、问题导入
[师] 提出的问题:
若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm,你能计算出它的体积是多少吗?
[生] 它的体积应是V=(1.1×103)3cm3.
[师] 这个结果是幂的乘方形式吗?
[生] 不是,底数是1.1与103的乘积,虽然103是幂,但总体来看,我认为应是积的乘方才有道理.
[师] 积的乘方如何运算呢?
能不能找到一个运算法则?
用前两节课的探究经验,请同学们自己探索,发现其中的奥妙.
二、探索新知
老师列出自学提纲,引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳.
(出示投影片)
1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a( )b( );
(2)(ab)3=________=________=a( )b( );
(3)(ab)n=________=________=a( )b( ).(n是正整数)
2.把你发现的规律先用文字语言表述,再用符号语言表达.
3.解决前面提到的正方体体积计算问题.
4.积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢?
请验证你的想法.
5.完成教材第97页例3.
学生探究的经过:
1.
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2,其中第①步是用乘方的意义;第②步是用乘法的交换律和结合律;第③步是用同底数幂的乘法法则.同样的方法可以算出
(2),(3)题;
(2)(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)
=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3;
(3)(ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab
=a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b=anbn.
2.积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于幂的乘积.
用符号语言叙述便是:
(ab)n=an·bn.(n是正整数)
3.正方体的V=(1.1×103)3它不是最简形式,根据发现的规律可作如下运算:
V=(1.1×103)3=1.13×(103)3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109(cm3).
通过上述探究,我们可以发现积的乘方的运算法则:
(ab)n=an·bn.(n为正整数)
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
再考虑如下问题:
(abc)n如何计算?
是不是也有类似的规律?
3个以上的因式呢?
学生讨论后得出结论:
三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质,即(abc)n=an·bn·cn.(n为正整数)
4.积的乘方法则可以进行逆运算.即an·bn=(ab)n.(n为正整数)
分析这个等式:
左边是幂的乘积,而且幂指数相同,右边是积的乘方,且指数与左边指数相等,那么可以总结为:
同指数幂相乘,底数相乘,指数不变.
看来这也是降级运算了,即将幂的乘积转化为底数的乘法运算.
对于an·bn=(a·b)n(n为正整数)的证明如下:
an·bn=(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义
=(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律
=(a·b)n——乘方的意义
5.[例3]
(1)(2a)3=23·a3=8a3;
(2)(-5b)3=(-5)3·b3=-1
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