中国特级教师高考复习方法指导高考数学难点系列41讲全国通用3341docx.docx
- 文档编号:6725374
- 上传时间:2023-01-09
- 格式:DOCX
- 页数:77
- 大小:380.68KB
中国特级教师高考复习方法指导高考数学难点系列41讲全国通用3341docx.docx
《中国特级教师高考复习方法指导高考数学难点系列41讲全国通用3341docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中国特级教师高考复习方法指导高考数学难点系列41讲全国通用3341docx.docx(77页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中国特级教师高考复习方法指导高考数学难点系列41讲全国通用3341docx
难点33函数的连续及其应用
函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起•在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的乂一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.
•难点磁场
(兀<-1)(-1 3 (★★★★)已知函数x(x+1) log2(x-l) ⑴讨论用)在点*一1,0,1处的连续性;⑵求沧)的连续区间. •案例探究 v2_4 [例1]已知函数沧)=—, x+2 (1)求/⑴的定义域,并作出函数的图象; ⑵求几Y)的不连续点呵; (3)对几◎补充定义,使其是R上的连续函数. 命题意图: 函数的连续性,尤英是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映. 因而画函数图彖公直观反映题冃中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托: 木题是分式函数,所以解答木题的闪光点是能准确曲出它的图象. 错解分析: 第(3)问是本题的难点,考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法: 对分式化简变形,注意等价性,观察图象进行解答. 解: (1)当x+2工()时,有兀工一2 因此,函数的定义域是(一8,—2)U(—2,+g) 兀2_4 当兀工一2时,——=x-2, x+2 具图象如上图 (2)由定义域知,函数/(X)的不连续点是x()=-2. ⑶因为当xH—2时,2,所以lim=lim(x-2)=—4.a->-2xt—2 (xh-2) (x=-2) 兀2_4 因此,将ZU)的表达式改写为fM= -4 则函数/U)在R上是连续函数. [例2]求证: 方程x=asiwc+b(a>0,/? >0)至少有一个正根,且它不大于a+b. 命题意图: 耍判定方程.心)=0是否有实根.即判定对应的连续函数)吋仗)的图象是否与x轴有交点,因此根据连续函数的性质,只要找到图象上的两点,满足一点在x轴上方,另一点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法. 知识依托: 解答本题的闪光点要找到合适的两点,使函数值其一为负,另一为正. 错解分析: 因为本题为超越方程,因而考生最易想到画图象观察,而忽视连续性的性质在解这类题冃中的简便作用. 证明: 设/U)=asiru+b—x, 则/(O)=b>(V(d+b)=a•sin(a+b)+b—(d+b)=d[sin(a+b)—1]WO, 乂./U)在(O,d+b]内是连续函数,所以存在一个x°W(O,d+b],使/Uo)=O,即丸是方程心)=0的根,也就是方程x=d•sinx+b的根. 因此,方程x=asinx+b至少存在一个正根,且它不人于a+h. •锦囊妙计 1•深刻理解函数/U)在X0处连续的概念: 等式liin/(x)h(xo)的涵义是: ⑴心))在*丸处有定义,即.心))存在; (2)亦几0存在,这里隐含着/«在点xn()附近有定义;(3爪)在点勿处的极限值等于这一点的函数值,即limfM=f(x(}). 函数yw在也处连续,反映在图象上是/U)的图象在点尤=必处是不间断的. 2.函数7U)在点必不连续,就是几r)的图象在点4X0处是间断的. 其情形: ⑴lim/W存在泓兀。 )存在,但lim/U)H/Uo); (2)lim沧)存在,但几切)不存在•⑶X~>A()X->X0 lim/(兀)不存在• Af0 3.由连续函数的定义,可以得到计算函数极限的一种方法: 如果函数/U)在其定义区间内是连续的,点兀()是定义区间内的一点,那么求x-xo时函数沧)的极限,只要求岀/⑴在点Xo处的函数值/Uo)就可以了,即lim«/W=i/Uo). Xf° •歼灭难点训练 一、选择题 】.(★★★★)若张)=―-在点x=Q处连续,则/(0)等于() V1+X-1 3? A.-B.-C.lD.0 23 x0 x=\则/(x)的连续区间为() 2 1l B.(0,1) D.(l,2) 处处连续,则Q的值为 x>0 A.((),2) C.(0,1)U(1,2) 二、填空题 xti4arctanx 1_Vl~x 〈(★★★★)若/(x)hx a+bx 三、解答题 1 ("0) (-v=0) 2: -1 ★★)已知函数丄 2X+1 1 (iyu)在*0处是否连续? 说明理由; ⑵讨论/U)在闭区间[—1,0]和[0,1]上的连续性. (x<0) \\\—x &.(★★★★)已知f(x)= a+bx(x>0) ⑴求n—X); (2)求常数a的值,使yu)在区间(一8,+°°)内处处连续. ★★)求证任何一个实系数一元三次方程如? +。 ]<+°2兀+。 3二0@(),01,。 2,。 30&。 0工0)至少有一个实数根. &(★★★★)求函数/U)=<1 log2(^-—) (x<\) 的不连续点和连续区间.(兀〉1) 参考答案 难点磁场 解: (l)lim/W=3,lim./W=—1,所以lim/W不存在,所以f(x)&x=—1处不连续,x->-l~兀一>一广X->-1 但lim^M-D=-Llim/WWA—1),所以几v)在心一1处右连续,左不连续XT-1JVT-厂 恤/(兀)=3=/ (1),lim./W不存在,所以lim/(x)不存在,所以.心)在e1不连续,但左连XTl-XT1+XT1 续,右不连续. 又linV⑴审0)=0,所以张)在x=0处连续. xtO (2VU)中,区间(一8,—1),[—1,1],(1,5]上的三个函数都是初等函数,因此夬X)除不连续点*±1夕卜,再也无不连续点,所以兀0的连续区间是(一汽一1),[―1,1]和(1,5]. 歼灭难点训练 1做斗“、(J1+兀+1)(J】+X-1)[#(1+d+Vl+%+1J •、1.解析: f(X)=,^-=—=— (V1+x+1)[? /(1+兀)"*+Ml+x+1][aAx+1—1] (ym)2+vm+iVT+x+i 答案: A 2.解析: lim/W=liml=l XT1+XT广 lim/W=lim兀=l,lim/(兀)=1工/ (1)=\ xtt.<-»rx->i2 即7U)在41点不连续,显知/W在(0,1)和(1,2)连续. 答案: C 二、3.解析: 利用函数的连续性,即iim/(x)=/(x0), .「兀2_sin(2_兀)_F_sin(2_1)_1 xti4arctan14arctan1n 答案: - n 4.解析: limf(x)=lim=lim}==\ xt(tx->o~xx~a)~1+V1--V2 limfM=lim(a+bx)=0,「.g=1 XT0・XT。 "2 答案: 丄 2 1-一(WO) 三、5.解: f(x)=<2: +l 1(x=0) (1)lim/(x)=-l,limAx)=l,0r以linV(劝不存在,故沧)在兀=0处不连续. x->01XT(厂xtO (2)/W在(一8,+8)上除x=0外,再无间断点,由⑴知心)在40处右连续,所以.心)在 [ -1,0]上是不连续函数,在[0,1]上是连续函数. (x<0) (x>0) J1+兀-1 6.解: x a-bx ⑵要使心)在(一8,+°°)内处处连续,只要心)在x=0连续,lim/W xt(f 1-Vl-xx11 =lim=lim/=lim/=— xtOXxtO%(1+yl~X)xtO1+5/1—X2 lim/W=lim(d+bx)=a,因为要/U)在x=0处连续,只要limfW=lim/U)xto・xto* =limAx)=^O),所以a=: XT0+2 7.证明: 设f[x)=a()xi+aix2+a2x+a3,函数/(x)在(一8,+8)连续,且+°o时,心)->+8必—8时,y(x)f—8,所以必存在^e(—oo,+oo),/? e(—oo,+8),使几? )・所以/(%) 的图象至少在(”)上穿过X轴一次,即fM=O至少有一实根. 8.解: 不连续点是x=l,连续区间是(一8,1),(1,+°°) 难点34导数的运算法则及基本公式应用 导数是屮学限选内容小较为重耍的知识,本节内容主要是在导数的定义,常川求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. •难点磁场 (★★★★★)已知曲线C: y=x3—3x2+2x,直线l: y=kx,且/与C切于点(Aojo)Uo^O)»求直线/的方程及切点坐标. •案例探究 [例1]求函数的导数: (l)y=-——7^—— (2)y=(ax-Z? sin2^)3(3)y=/(7x2+1)(1+x~)cos^ 命题意图: 本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型,属于★★★★级题目. 知识依托: 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘虽的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数. 错解分析: 本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法: 先分析函数式结构,找准复合函数的式了特征,按照求导法则进行求导. ⑴解: yr= 9 (1+JC)_-COSX (1-兀)'(1+x2)cosx-(1-x)[(l+x2)cosx]x -(1+x2)cosx-(l-x)[(l+x2)rcos兀+(1+x2)(cos兀)'] (l+x2)2cos2X 一(1+x)cosx-(1一x)[2xcosx一(1+x)sinx] (1+x2)2cos2X (兀・一2兀一l)cosx+(l—兀)(1+;r)sin兀 (l+x2)2cos2x (2)解: 尸“bsin2cox,U=av~by v=x,y=sinYY=^x yf=(P3y=3f•Pf=3P2(av—by)f =3/(3'~by')=32(av'—by1Y') .22■ =3(dx—bsiiTb3sin2cox) ⑶解法•一: 设y=fi〃〃二乔,v=x2+l,WlJ y,x=y,pp'v•v'x=f(P)•~v~2*2x 解法二y=LaJF+1)]/=f(J/+l)・(J/+]y Ii一丄 =f(厶? +l)・-(x2+D2・(,+l)‘ (3+1) =f(J/+1)・|(x2+l)P•2x [例2]利用导数求和 (1)Sn=1+2x+3x24--•-+nx1(x7^0,nWN*) (2)S”=C: +2C: +3C: +••+£;;,SWN) 命题意图: 培养考住的思维的灵活性以及在建立知识体系小知识点灵活融合的能力•属★★★★级题冃. 知识依托: 通过对数列的通项进行联想,合理运用逆向思、维•由求导公式(『)'可 联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构. 错解分析: 木题难点是考生易犯思维定势的错课,受此影响而不善于联想. 技巧与方法: 第⑴题要分*1和xHl讨论,等式两边都求导. 解: ⑴当入=1时 Sn=1+2+3+…+"=—n(n+1); 2 当兀工1时, 两边都是关于兀的函数,求导得 (x+x2+x3+•••+x"),=(-__-——)' 1-X 即Sn=1+2¥+3x2+*••+nxn*= 1-(/? +1)兀"4-nxn+} (1一兀尸 ⑵•・・(1+x)"=1+C: X+C: …+C;;讥 两边都是关于兀的可导函数,求导得 m(1+旷=C: +2C-x+3C号,+・・・+胆;: 厂, 令兀=1得,/7・2,,_,=C;I+2C;+3C: +・・・+nC: 即S尸U+2C;+・・・+z7C: f・2"T •锦囊妙计 1•深刻理解导数的概念,了解用定义求简单的导数. 勺表示函数的平均改变量,它是"X的函数,而厂(X。 )表示一个数值,即f «=lim—,知道导数的等价形式: lhn门兀。 +心)一/(兀())=恤/(X)一门兀。 )=广(必)axt()Axaxt()Axaa->x0x—Xq 2.求导其木质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是顺利求导的关键. 3.对于函数求导,一般耍遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但耍重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 4.复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其屮的一环.必须正确分析复合函数是山哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系. •歼灭难点训练 一、选择题 □★★★★”二严妝^⑶眦),则y'(0)等于() A.OB.lC.-lD.2 2.(****)^过原点且与曲线严凹相切的方程是() 兀+5 Yx A.x+)=O或—+v=0B.%—y=0或—+y=0 25-25 4.(★★★★)设/(x)=x(x+1)(x+2)•••(x+几),则f(0)=. 三、解答题 5.(★★★★)□知|ll|线C\: y=x2与C2: y=—(x—2)2,jll线l与Ci、C2都相切,求直线I的方 6.(**★★)求函数的导数 (l)y=(x2—2丫+3)戶; 7.(**★★)冇一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4m时,梯子上端下滑的速度. 8.(**★★)求和SZI=l2+22x+32x2+-4-n2/-1,(xH0mWN“). 参考答案 难点磁场 解: 由Z过原点,知k=^~(a*()7^0),点(X0J0)在曲线C_1: ,yo=x(: —3xo“+2x(), y'=3x2—6x+2北=3心2_6x0+2 又k=—,•: 3兀()2_5xo+2=¥o2—3x°+2M) o、3 2r(f—3x()=0,•: x()=0或x()=— 2 由详0,知罔 X)4 I33 ・•・/方程j=--x切点(一,--) -428 歼灭难点训练 一、1.解析: yf=es,,uLcosxcos(sinx)—cosxsin(siiu)],y'(0)=e°(l—())=1 答案: B 2.解析: 设切点为g),yo),则切线的斜率为"山,另一方面,W=(土)'=亠—,故x0x+50+5)「 『(也)=化即_4=21=兀+9或Xo2+18%o+45=O得X。 ⑴=—3,yo⑵=—15,对应有 (勺+5)兀()刃)(可)+5) 化冬弓因此得两个切点川-3,3)或B(-15,)从耐盯⑷二吕 2&to-k 答案: A 二、3.解析: 根据导数的定义: f(xo)=lin/H—mj(这时心-k lim[1/(兀0_幻_/(尢0)[ lim *T() /(兀0-灯一/(兀0) 2k a->o2-k 答案: 一1 4.解析: 设g(x)=(x+l)(x+2)U+H),则7U)=xg(x),于是f(x)=g⑴+xg'(兀)广 (0)=g(0)+0•g‘(0)=g(0)=l•2•***n=n! 答案—! 三、5.解: 设/与G相切于点P(xhx,2),与C2相切于Q(d—(兀2—2戸 对于G: =2x,则MG相切于点P的切线方程为 y—X]2=2x](x—X]),P卩}? =2xj%—Xi2① 对于C2: yl=—2(x—2),与C2相切于点Q的切线方程为,y+(x2—2)2=—2(x2—2)(x—x2),即y=—2(X2~2)X+X22~4② T两切线重合,.".2xi=—2(%2—2)A_X|2=%22—4,解得xi=0^2=2或X|=2^x2=0 ・;直线/方程为v=0或y=4x~4 6.解: ⑴注意到y>0,两端取对数,得 lny=ln(x2—2x+3)4-ln^2v=ln(x2—2x4-3)+2x .丄.y_(兀? 一2兀+3)'+2_2x-2+2_2(x~-x+2) y—2x4-3x~—2x4-3—2x+3 =2(/-兀+2)•戶 (2)两端取对数,得 lnlyl=—(Inlxl—Inll—xl), 两边解X求导,得 1,1/1一1、11 —・y=-()= y3x1-x3x(l-x) ・,111 ..y=—)=-* 3x(l-x)3x(1-x)V1- 7.解: 设经时间f秒梯了上端下滑S米,则S=5—J25—9/2,当下端移开1.4m时, ]471_±] 『()=—=—,又”=一一(25—9“)2・(一9・2r)=9r所以2(/0)=9X 3152V25-9r2 1-(/? +l)x"4-nx,1+] (1-x)2 ,两边同乘以兀,得 &解: ⑴当x=l时,Sn=12+22+32+•••+/? 2=-«(n+1)(2n+1),当xHIR寸,l+2x+3x2+-W,_l 6 x+2? +3“+・・・+必“=牙_⑺+1)*': +備"'~两边对x求导,得(IF S„=12+22x2+32x2+••*+n2xn'1 _1+x—⑺+1尸兀"+(2/+2n一1)兀曲一n2 "(1—兀尸 难点35 导数的应用问题 利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间⑺力]上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点.木节内容主要是指导考生对这种方法的应用. •难点磁场 (★★★★★)已知/(x)=x2+c,且f[/(X)]=/(x2+1) (1)设纟(兀)才〃>)],求g(x)的解析式; ⑵设0(x)=g(x)—巧匕),试问: 是否存在实数久,使0(才)在(―8,—1)内为减函数,且在(一1,0)内是增函数. •案例探究 [例1]已知/(朗二祇‘+加几心⑺工。 )在%=±1时取得极值,且/ (1)=—1. (1)试求常数d、b、C的值; (2)试判断人=±1是函数的极小值还是极人值,并说明理由. 命题意图: 利用一阶导数求函数的极人值和极小值的方法是导数在研究函数性质方而的继续深入•是导数应用的关键知识点,通过对函数极值的判定,可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解•属★★★★★级题日. 知识依托: 解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点. 错解分析: 木题难点是在求导之后,不会应用f(±1)=0的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍. 技巧少方法: 考查函数几工)是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值,再通过极值点与导数的关系,建立山极值点x=±l所确定的相等关系式,运用待定系数法求值. 解: (1讯(兀)=3a/+2加+c Vx=±l是函数./U)的极值点, .*.x=±1是方程f⑴=0,艮卩3flx2+2/? x+c=0的两根. 旦0① 由根与系数的关系,得力 £=_1② .3d 又几1)=一l,・・・Q+/2+C=—1,③ 13 由①②③解得a=—、b=0,c=-, 22 1.3 (2)f(x)=-x3—-x, 3.33 : 寸'(X)=—X~—-=-(X—1)(x+l) 当x<~\或x>l时,f⑴>0 当一1<兀<1时,f(x)<() •I函数./U)在(一8,—1)和(1,+8)上是增函数,在(―1,1)上是减函数. ・••当4—1时,函数取得极大值几一1)=1, 当X=1吋,函数収得极小值AD=-1. [例2]在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与4相距50km,两厂要在此岸边合 建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米%元和切元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省? 命题意图: 学习的目的,就是要会实际应川,本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识,思想方法以及能力. 知识依托: 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数•把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解. 错解分析: 本题难点是如何把实际问题屮所涉及的儿个变量转化成*1数关系式. 技巧与方法: 根据题设条件作岀图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系. 解法一: 根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点xkm,则 VZ? Z)=40^C=50-x, ・•・BC=yjBD2+CD2=x2+402 又设总的水管费用为y元,依题意冇: y=30(5a—x)+5a+4()2(0 f齐令八°’解z 在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数在x=30(km)处収得最小值,此时AC=50—x=20(km)・•・供水站建在A、DZ间距甲厂20km处,可使水管费用最省. 4()7T 解法二: 设ZBCD=Q.则,CP=40cot〃,(0<〃V—);AC=50—40cot0 sin。 2 设总的水管费用为X“),依题意,有 40 f(〃)=3d(50—40•cot〃)+5a• =150^+406/• 5-3cos0 sinO sin& : .f(")=40。 • (5-32)5匸5-3罰)3疔=4()^3-5cos£ sirT0sirr0 3 令f(〃)=o,得coso=- 34
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中国 特级 教师 高考 复习方法 指导 数学 难点 系列 41 全国 通用 3341 docx
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)