中考数学复习课练习题 23第23课时锐角三角函数及其应用练习册.docx
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中考数学复习课练习题23第23课时锐角三角函数及其应用练习册
第四章三角形
第23课时 锐角三角函数及其应用
基础过关
1.(2017永州)下列式子错误的是( )
A.cos40°=sin50°B.tan15°·tan75°=1
C.sin225°+cos225°=1D.sin60°=2sin30°
2.(2017安顺)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )
A.2B.C.D.
第2题图第3题图
3.(2017乐山)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )
A.sinB=B.sinB=
C.sinB=D.sinB=
4.(2017福州)如图,以O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是( )
A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)
C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)
第4题图第5题图
5.(2017义乌)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°.以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A.B.C.D.
6.(2017巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( )
第6题图
A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC=1.2tan10°米D.AB=米
7.(2017金华)一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要( )
A.米2B.米2
C.(4+)米2D.(4+4tanθ)米2
第7题图第8题图
8.(2017重庆A卷)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:
sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)( )
A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米
9.(2017泰安)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°=0.9272,sin46°=0.7193,sin22°=0.3746,sin44°=0.6947)( )
A.22.48B.41.68C.43.16D.55.63
第9题图第10题图
10.(2017南通一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM为AB边上的中线,AN⊥CM,交BC于点N.若CM=3,AN=4,则tan∠CAN的值为________.
11.(2017遂宁)已知:
如图①,在锐角△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,sin∠B=,则AD=csin∠B;
在Rt△ACD中,sin∠C=______,则AD=______.
所以csin∠B=bsin∠C,即=,
进一步即得正弦定理:
.(此定理适合任意锐角三角形).
图①图②
第11题图
参照利用正弦定理解答下题:
如图②,在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=2,求AB的长.
12.(2017包头)如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sinA=,求AD的长.
(注意:
本题中的计算过程和结果均保留根号)
第12题图
13.(2017河南)如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?
(参考数据:
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
第13题图
14.(2017天津)小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)参考数据:
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,取1.414.
第14题图
15.(2017黄冈)“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力量,从仓储D处调集救援物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C,B,A三个码头中的一处,再用货船运到小岛O.已知,OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°,CD=20km.若汽车行驶的速度为50km/时,货船航行的速度为25km/时,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵小岛O?
(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同;参考数据:
≈1.4,≈1.7)
第15题图
满分冲关
1.(2017淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是( )
A.B.1C.D.2
第1题图第2题图
2.(2017重庆B卷)如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1∶,则大楼AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:
≈1.41,≈1.73,≈2.45)( )
A.30.6B.32.1C.37.9D.39.4
3.小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30°,AC的长为米,钓竿OA的倾斜角是60°,其长为3米,若OA与钓鱼线OB的夹角为60°,则浮漂B与河堤下端C之间的距离是________.
第3题图
4.(2017盐城校级一模)如图,已知斜坡AB长60m,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡的中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(结果精确到0.1m,参考数据:
≈1.732).
(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,则平台DE的长最多为________m;
(2)一座建筑物GH距离坡角A点27m远(即AG=27m),小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°,点B、C、A、G、H在同一平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高为多少米?
第4题图
答案
基础过关
1.D 【解析】A.∵cos40°=sin(90°-40°)=sin50°,∴此选项正确;B.∵tan15°·tan75°=·tan75°=1,∴此选项正确;C.∵sin2A+cos2A=1,∴此选项正确;D.∵sin60°=,2sin30°=2×=1,∴此选项不正确.故选D.
2.D 【解析】如解图,连接AC,由题意得,AC=,AB=2,BC=,∴BC2=AC2+AB2,∴∠CAB=90°,∴在Rt△ABC中,tan∠ABC===.
第2题解图
3.C 【解析】逐项分析如下:
选项
逐项分析
正误
A
在Rt△ABD中,sinB=
√
B
在Rt△ABC中,sinB=
√
C
在Rt△ABD中,sinB=
×
D
在Rt△DAC中,sinB=sin∠DAC=
√
4.C 【解析】如解图,过点P作PC⊥OB于点C,则在Rt△OPC中,OC=OP·cos∠POB=1×cosα=cosα,PC=OP·sin∠POB=1×sinα=sinα,即点P的坐标为(cosα,sinα).
第4题解图
5.B 【解析】根据题意作图,如解图,不妨设BC=2a,∵∠ABC=90°,∠BAC=30°,∴AB=2a.由作图知,AB=AE=DE=2a,△ADE为等腰三角形,过点E作EF⊥AD于点F,则F为AD的中点,∴AF=a,则cos∠EAD===.
第5题解图
6.B 【解析】斜坡AB的坡角是10°不是坡度,选项A错误;坡度=坡比=坡角的正切,选项B正确;AC=米,选项C错误.AB=米,选项D错误.综上,只有选项B是正确的.
7.D 【解析】在Rt△ABC中,∠BAC=θ,CA=4米,∴BC=CA·tanθ=4tanθ.地毯长为(4+4tanθ)米,宽为1米,其面积为(4+4tanθ)×1=(4+4tanθ)米2.
8.A 【解析】过点B作BF⊥AE于点F,∵iAB==,不妨设BF=x米,则AF=2.4x米,根据勾股定理得,BF2+AF2=AB2,即x2+(2.4x)2=132,解得x=5,则BF=5,AF=2.4x=12,∵FE=BD=6,∴AE=12+6=18,在Rt△AEC中,∠CAE=36°,∵tan36°=,∴CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1(米).
第8题解图第9题解图
9.B 【解析】由题意知MN=60,∠AMP=68°,∠BNP=46°,∴∠PMN=22°,∠PNC=44°.如解图,过点P作PC⊥MN于点C,PC就是轮船与灯塔的最近距离.∵∠PMN=22°,∠PNC=44°,∴∠MPN=22°,∴PN=MN=60.∵sin∠PNC=,∴PC=PN·sin∠PNC=60×sin44°=60×0.6947=41.68(海里).
10. 【解析】∵∠ACB=90°,CM为AB边上的中线,∴AB=2CM=6,∴∠B=∠MCB,∵AN⊥CM,∴∠CAN+∠CNA=90°,∠MCB+∠CNA=90°,∴∠MCB=∠CAN,∴∠B=∠CAN,∴△CAN∽△CBA,∴===,∴tan∠CAN==.
11.解:
,bsinC;
由正弦定理得:
=,
∵∠B=75°,∠C=45°,
∴∠A=60°,
∴=,
∴AB=2×÷=.
12.解:
(1)在Rt△ABE中,∠ABE=90°,∠A=60°,AB=6,
又∵tanA=,
∴BE=6·tan60°=6.
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴∠E=90°-60°=30°,CD=4,
∴CE=2CD=8,
∴BC=BE-CE=6-8;
(2)在Rt△ABE中,∠ABE=90°,sinA=,
∴=,
设BE=4x,则AE=5x,
∵AE2-BE2=AB2,AB=6,
∴(5x)2-(4x)2=62.
∴x=2,
∴BE=8,AE=10.
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,tanE=,
而在Rt△ABE中,tanE=,
∴=,
∴ED=CD=,
∴AD=AE-ED=.
13.【信息梳理】
原题信息
整理
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