人教A版必修四 第二章平面向量 章末小结与测评.docx
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人教A版必修四第二章平面向量章末小结与测评
1.平面向量的线性运算及运算律
(1)向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即
向量加法的平行四边形法则:
将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和.
加法满足交换律、结合律.
(2)向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用.
几何意义有两个:
一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量;二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量.注意两向量要移至共起点.
(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换.
2.向量共线及平面向量基本定理
(1)共线向量定理:
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
共线向量定理是证明平行的主要依据,也是解决三点共线问题的重要方法.
特别地,平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x,使
,或对直线外任意一点O,有
(2)平面向量基本定理:
如果向量e1,e2不共线,那么对于平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中e1,e2是平面的一组基底,e1,e2分别称为基向量.
由定理可知,平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来,而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底.
[典例1] 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点M、N分别是DA、BC的中点,且
=k,设
=e1,
=e2,以e1、e2为基底表示向量
、
[对点训练]
(3)确定点P在边BC上的位置.
所以
解得
所以
解得
即
=2,P是边BC上靠近C的三等分点.
若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则
①a+b=(a1+b1,a2+b2);
②a-b=(a1-b1,a2-b2);
③λa=(λa1,λa2);
④a·b=a1b1+a2b2;
⑤a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2(λ∈R),或
=
(b1≠0,b2≠0);
⑥a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
⑦|a|=
=
;
⑧若θ为a与b的夹角,则
cosθ=
=
.
[典例2]
(1)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量
同方向的单位向量为( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于( )
A.-
B.
C.-
或
D.0
(3)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量
在
方向上的投影为( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:
(1)由已知,得
=(3,-4),
所以|
|=5,
因此与
同方向的单位向量是
=
.
(2)a∥b的充要条件的坐标表示为1×2-m2=0,∴m=±
,选C.
(3)
=(2,1),
=(5,5),向量
=(2,1)在
=(5,5)上的投影为|
|cos
,
=|
|
答案:
(1)A
(2)C (3)A
[对点训练]
2.
(1)若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=( )
A.13B.-13C.9D.-9
(2)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=
,若(c-b)·a=
,则a与c的夹角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析:
(1)
=(-8,8),
=(3,y+6).
∵
∥
,∴-8(y+6)-24=0.∴y=-9.
(2)a·b=-10,
则(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10=
,
所以c·a=-
,
设a与c的夹角为θ,
则cosθ=
=
=-
,又θ∈[0°,180°],
所以θ=120°.
答案:
(1)D
(2)C
1.两向量的数量积及其运算律
两个向量的数量积是a·b=|a||b|cosθ,θ为a与b的夹角,数量积满足运算律:
①与数乘的结合律,即(λa)·b=λ(a·b);
②交换律,即a·b=b·a;
③分配律,即(a+b)·c=a·c+b·c.
2.平面向量的数量积是向量的核心内容,向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征.
3.利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行,求两向量的夹角,计算向量的长度等.
[典例3] 已知c=ma+nb,c=(-2
,2),a⊥c,b与c的夹角为
,b·c=-4,|a|=2
,求实数m,n的值及a与b的夹角θ.
解:
∵c=(-2
,2),∴|c|=4.
∵a⊥c,∴a·c=0.
∵b·c=|b||c|cos
=|b|×4×
=-4,
∴|b|=2.
∵c=ma+nb,∴c2=ma·c+nb·c.
∴16=n×(-4).∴n=-4.
在c=ma+nb两边同乘以a,
得0=8m-4a·b.①
在c=ma+nb两边同乘以b,得ma·b=12.②
由①②,得m=±
.
∴a·b=±2
.∴cosθ=
=±
.
∴θ=
或
.
[对点训练]
3.如图,在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则
的最小值是________.
答案:
-2
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在五边形ABCDE中(如图),
=( )
解析:
选B ∵
=
=
.
2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=( )
A.(-5,-10)B.(-4,-8)
C.(-3,-6)D.(-2,-4)
解析:
选B ∵a∥b,∴-
=
,∴m=-4,
∴b=(-2,-4),
∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).
3.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa+b与a垂直,则λ的值是( )
A.-1B.1C.-2D.2
解析:
选A 由题意可知(λa+b)·a=λa2+b·a=0.
∵|a|=
,a·b=1×4+(-3)×(-2)=10,
∴10λ+10=0,λ=-1.
4.若|a|=
,|b|=2,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选B 由于(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即|a|2-a·b=0,所以a·b=|a|2=2,所以cos〈a,b〉=
=
=
,即a与b的夹角是
.
A.
B.-
C.
D.-
6.已知向量满足:
|a|=2,|b|=3,|a-b|=4,则|a+b|=( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选C 由题意|a-b|2=a2+b2-2a·b=16,
∴a·b=-
.
∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=10,
∴|a+b|=
.
A.内心B.外心C.垂心D.重心
∴P是△ABC的垂心.
8.平面向量a=(x,-3),b=(-2,1),c=(1,y),若a⊥(b-c),b∥(a+c),则b与c的夹角为( )
A.0B.
C.
D.
解析:
选C 由题意知b-c=(-3,1-y),a+c=(x+1,y-3),
依题意得
解得
∴c=(1,2),
而b·c=-2×1+1×2=0,
∴b⊥c.
9.已知AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,设
=a,
=b,则
等于( )
A.
a+
b
B.
a+
b
C.
a-
b
D.-
a+
b
A.
B.
C.
D.
11.已知a=(-1,
),
=a-b,
=a+b,若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB的面积是( )
A.
B.2C.2
D.4
解析:
选D 由题意|
|=|
|且
⊥
,
所以(a-b)2=(a+b)2且(a-b)·(a+b)=0,
所以a·b=0,且a2=b2,
所以|a|=|b|=2,
所以S△AOB=
|
|·|
|=
=
=4.
12.已知向量m=(a,b),n=(c,d),p=(x,y),定义新运算m⊗n=(ac+bd,ad+bc),其中等式右边是通常的加法和乘法运算.如果对于任意向量m都有m⊗p=m成立,则向量p为( )
A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,-1)
解析:
选A 因为m⊗p=m,
即(a,b)⊗(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b),
所以
即
由于对任意m=(a,b),
都有(a,b)⊗(x,y)=(a,b)成立.
所以
解得
所以p=(1,0).故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R).则|a+b|的取值范围为________.
解析:
因为a+b=(x,x+2),
所以|a+b|=
=
=
≥
,
所以|a+b|∈[
,+∞).
答案:
[
,+∞)
14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ等于________.
解析:
因为a,b共线,
所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,
即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2
又因为e1,e2不共线,
所以
解得λ=-
.
答案:
-
15.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则
=________.
解析:
以A为原点,AB所在的直线为x轴,过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.
则由A(0,0),B(2,0),E(2,
),D(1,
,可得
=1.
答案:
1
答案:
[1,4]
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解:
(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)
=1×(2x+3)+x(-x)=0.
整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴a-b=(-2,0),|a-b|=2;
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴a-b=(2,-4),∴|a-b|=
=2
.
综上所述,|a-b|为2或2
.
18.(12分)设向量a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),b=
,且a与b不共线.
(1)求证:
(a+b)⊥(a-b);
(2)若向量
a+b与a-
b的模相等,求角α.
解:
(1)证明:
由题意,得a+b=
,
a-b=
,
因为(a+b)·(a-b)=cos2α-
+sin2α-
=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b).
(2)因为向量
a+b与a-
b的模相等,
所以(
a+b)2=(a-
b)2,
所以|a|2-|b|2+2
a·b=0,因为|a|=1,|b|=
=1,
所以|a|2=|b|2,所以a·b=0,
所以-
cos
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