对称式和轮换对称式及问题详解.docx
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对称式和轮换对称式及问题详解
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对称式和轮换对称式及问题详解
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对称式和轮换对称式
一.填空题(共10小题)
1.已知,a,b,c是△ABC的边,且,,,则此三角形的面积是:
_________ .
2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22的值为 _________ .
3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)的值为 _________ .
4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c= _________ .
5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22= _________ .
6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则= _________ .
7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式的m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c= _________ .
8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x= _________ .
9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:
、、,则xyz= _________ .
10.设x、y、z是三个互不相等的数,且x+=y+=z+,则xyz= _________ .
二.选择题(共2小题)
11.已知,,,则的值是( )
A.B.C.D.
12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc的值是( )
A.672B.688C.720D.750
三.解答题(共1小题)
13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值.
答案与评分标准
一.填空题(共10小题)
1.已知,a,b,c是△ABC的边,且,,,则此三角形的面积是:
.
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得:
++=+++,再整理,配方即可得:
(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,则可得此三角形是边长为1的等边三角形,则可求得此三角形的面积.
解答:
解:
∵a=,b=,c=,
∴全部取倒数得:
=+,=+,=+,
将三式相加得:
++=+++,
两边同乘以2,并移项得:
﹣+﹣+﹣+3=0,
配方得:
(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,
∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0,
解得:
a=b=c=1,
∴△ABC是等边三角形,
∴△ABC的面积=×1×=.
故答案为:
.
点评:
此题考查了对称式和轮换对称式的知识,考查了配方法与等边三角形的性质.此题难度较大,解题的关键是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形是边长为1的等边三角形.
2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22的值为 .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2的值代入①,通过化简就可以求出结论.
解答:
解:
∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.
由②,得
④,
把④代入③,得
⑤
把⑤代入③,得
⑥
把⑤、⑥代入①,得
+=b
∴,
∴(a3+c2)(y12+ay22)=b(y12+ay22)2
∴y12+ay22=.
故答案为:
点评:
本题是一道代数式的转化问题,考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用.
3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)的值为 ﹣ .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
根据题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=1,又a,b,c,d,e,f为正数,即abcdef=1,再根据所给式子即可求出a,b,c,d,e,f的值,继而求出答案.
解答:
解:
根据题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=1,且a,b,c,d,e,f为正数,
∴abcdef=1,
∴bcdef=,
∵=4,
∴bcdef=4a,
∴4a=,
∴a=.
同理可求出:
b=,c=,d=2,e=3,f=4.
∴原式=++3﹣﹣2﹣4,
=.
故答案为:
﹣.
点评:
本题是一道分式的化简求值试题,考查了分式的轮换对称的特征来解答本题,有一定难度,根据所给条件求出a,b,c,d,e,f的值是关键.
4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c= 44或﹣44 .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,于是求出b和a、c之间的关系,进一步讨论求出a、b和c的值,6a+7b+8c的值即可求出.
解答:
解:
令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,
①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,
②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,
所以b﹣a=c﹣b,即b=,代入②得ca﹣=﹣1,
4ac﹣(a+c)2=﹣4,(a﹣c)2=4,a﹣c=2或a﹣c=4,
当a﹣c=2时,a=c+2,b==c+1,代入③式得(c+2)(c+1)﹣c2=﹣7,3c+2=﹣7,c=﹣3,
所以a=﹣1,b=﹣2,此时6a+7b+8c=6×(﹣1)+7×(﹣2)+8×(﹣3)=﹣44,
当a﹣c=﹣2时,a=c﹣2,b==c﹣1,代入③式得(c﹣2)(c﹣1)﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7,c=3,
所以a=1,b=2此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44,
所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44,
故答案为44或﹣44.
点评:
本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点,解答本题的关键是求出b=,此题难度不大.
5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22= 5 .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
根据题意令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,列出方程组解出y1和y2,然后求出y12+y22的值.
解答:
解:
令x1=sinθ,x2=cosθ,
又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,
故,
解得:
y1=cosθ+3sinθ,y2=3cosθ﹣sinθ,
故y12+y22=5.
故答案为5.
点评:
本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点,解答本题的关键是令x1=cosθ,x2=sinθ,此题难度不大.
6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则= 1 .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
∵a=,b=,c=分别代入,,表示出,,的值,然后化简就可以求出结果了.
解答:
解:
∵a=,b=,c=,
∴=
=
=
∴=++
=
∵x+y+z≠0
∴原式=1.
故答案为:
1.
点评:
本题是一道代数式的化简求值的题,考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用.具有一定的难度.
7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式的m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c= .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x(x≠0),由可得:
==,解出a、b和c的值即可.
解答:
解:
令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x(x≠0),
又知,
即==,
解得a=2,c=,b=﹣,
即a+b+c=2﹣+=.
故答案为.
点评:
本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点,解答本题的关键是令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x,此题难度不大.
8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x= .
考点:
对称式和轮换对称式。
专题:
计算题。
分析:
先化简各式,将各式联立相加,然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u,即可求出x的值.
解答:
解:
将各式化简得:
,
(1)+
(2)+(3)+(4)得:
x+y+z+u=⑤,
分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中,得:
x+6x﹣1+6(6x﹣1)﹣1+=,
解得:
x=.
故答案为:
.
点评:
本题考查对称式和轮换对称式的知识,难度适中,解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u.
9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:
、、,则xyz= 162 .
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程,再由第一个方程除以第三个方程.就可以把x、y用含z的式子表示出来,然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值,从而求出其结果.
解答:
解:
由①÷②,得
y=④
由①÷③,得
x=⑤
把④、⑤代入①,得
,解得
z=9
∴y=6,x=3
∴原方程组的解为:
∴xyz=3×6×9=162.
故答案为:
162.
点评:
本题是一道三元高次分式方程组,考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法,解方程组的过程以及求代数式的值的方法.
10.设x、y、z是三个互不相等的数,且x+=y+=z+,则xyz= ±1 .
考点:
对称式和轮换对称式。
专题:
计算题。
分析:
分析本题x,y,z具有轮换对称的特点,我们不妨先看二元的情形,由左边的两个等式可得出zy=,同理可得出zx=,xy=,三式相乘可得出xyz的值.
解答:
解:
由已知x+=y+=z+,
得出x+=y+,
∴x﹣y=﹣=,
∴zy=①
同理得出:
zx=②,
xy=③,
①×②×③得x2y2z2=1,即可得出xyz=±1.
故答案为:
±1.
点评:
此题考查了对称式和轮换式的知识,有一定的难度,解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式,技巧性较强,要注意观察所给的等式的特点.
二.选择题(共2小题)
11.已知,,,则的值是( )
A.B.C.D.
考点:
对称式和轮换对称式。
专题:
计算题。
分析:
先将上面三式相加,求出+,+,+,再将化简即可得出结果.
解答:
解:
∵,∴+=15①,
∵,∴+=17②;
∵,∴+=16③,
∴①+②+③得,2(++)=48,
∴++=24,
则===,
故选D.
点评:
本题考查了对称式和轮换对称式,是基础知识要熟练掌握.
12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc的值是( )
A.672B.688C.720D.750
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
首先将a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170分别展开,即可求得ab+ac=152①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,然后将三式相加,即可求得ab+bc+ca值,继而求得bc,ca,ab的值,将它们相乘再开方,即可求得abc的值.
解答:
解:
∵a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,
∴ab+ac=152①,
bc+ba=162②,
ca+cb=170③,
∴①+②+③得:
ab+bc+ca=242④,
④﹣①得:
bc=90,
④﹣②得:
ca=80,
④﹣③得:
ab=72,
∴bc•ca•ab=90×80×72,
即(abc)2=7202,
∵a,b,c均为正数,
∴abc=720.
故选C.
点评:
此题考查了对称式和轮换对称式的知识,考查了方程组的求解方法.此题难度较大,解题的关键是将ab,ca,bc看作整体,利用整体思想与方程思想求解.
三.解答题(共1小题)
13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值.
考点:
对称式和轮换对称式。
分析:
分别表示出a,b,c,d,然后通过分别代入,使最后成为只含b的代数式,b的范围知道从而得解.
解答:
解:
∵a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,
∴2b+c=6,c=6﹣2b,
代入a+b=c+1得a=7﹣3b,
代入b+c=d+2得d=4﹣b,
则a+b+c+d=17﹣5b,
因为b≥0,
所以当b取0时,a+b+c+d的最大值为17.
点评:
本题对称式和轮换对称式,关键是根据代数式的运算,用代入法,转换成关于b的代数式,从而求出取值范围.
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- 对称 轮换 问题 详解