高考数学大一轮复习27函数的图象教师用书理苏教版.docx
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高考数学大一轮复习27函数的图象教师用书理苏教版
§2.7 函数的图象
1.描点法作图
方法步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)
y=-f(x);
②y=f(x)
y=f(-x);
③y=f(x)
y=-f(-x);
④y=ax(a>0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1).
⑤y=f(x)
y=|f(x)|.
⑥y=f(x)
y=f(|x|).
(3)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( × )
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( × )
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.( √ )
(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图象.( × )
(6)不论a(a>0且a≠1)取何值,函数y=loga2|x-1|的图象恒过定点(2,0).( × )
1.函数y=1-
的图象是________.
答案 ②
解析 将y=-
的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=1-
的图象.由图知②正确.
2.(2013·北京改编)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)=e-x-1
解析 与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=e-x.依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得y=e-x的图象.∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
3.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)=
解析 当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,由图象得
解得
∴y=x+1.
当x>0时,设y=a(x-2)2-1,
由图象得0=a(4-2)2-1,解得a=
,
∴y=
(x-2)2-1.
综上可知f(x)=
4.已知函数f(x)=
的图象与直线y=x恰有三个公共点,则实数m的取值范围是________.
答案 [-1,2)
解析 令x2+4x+2=x,解得x=-1或x=-2,
所以三个解必须为-1,-2和2,所以有-1≤m<2.
题型一 作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=
.
解
(1)y=
图象如图①.
(2)将y=2x的图象向左平移2个单位,图象如图②.
(3)y=
图象如图③.
(4)因y=1+
,先作出y=
的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=
的图象,如图④.
思维升华
(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+
(m>0)的函数是图象变换的基础;
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程.
作出下列函数的图象.
(1)y=|x-2|·(x+1);
(2)y=
.
解
(1)当x≥2,
即x-2≥0时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2
=(x-
)2-
;
当x<2,即x-2<0时,
y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
=-(x-
)2+
.
∴y=
这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).
(2)y=
=1-
,该函数图象可由函数y=-
向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如下图所示.
题型二 识图与辨图
例2 函数y=ax2+bx与y=
(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是________.(填序号)
(2)已知f(x)=
则下列函数的图象正确的为________.(填序号)
答案
(1)④
(2)①②③
解析
(1)函数y=ax2+bx的两个零点是0,-
.
对于①②,由抛物线的图象知,-
∈(0,1),
∴|
|∈(0,1).
∴函数y=
不是增函数,错误;
对于③,由抛物线的图象知a<0且-
<-1,
∴b<0且
>1,∴|
|>1,
∴函数y=log|
|x应为增函数,错误;
对于④,由抛物线的图象知a>0,-
∈(-1,0),
∴|
|∈(0,1),满足y=
为减函数.
(2)先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此①正确;
作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此②正确;
y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,③正确;
y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0 ,相应这部分图象不是一条线段,因此④不正确. 综上所述,①②③正确. 思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 函数y=xsinx在[-π,π]上的图象是下列图象中的________. (2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为________. 答案 (1)① (2)② 解析 (1)容易判断函数y=xsinx为偶函数,可排除④.当0 时,y=xsinx>0,当x=π时,y=0,可排除②③,所以符合条件的应为①. (2)方法一 由y=f(x)的图象知, f(x)= 当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], 所以f(2-x)= 故y=-f(2-x)= 图象应为②. 方法二 当x=0时,-f(2-x)=-f (2)=-1; 当x=1时,-f(2-x)=-f (1)=-1. 观察各图象,可知②正确. 题型三 函数图象的应用 例3 已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}. 思维点拨 可利用图象直观得到函数单调性;方程解的个数可转化为函数图象交点个数. 解 f(x)= 作出函数图象如图. (1)由图象可知,函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由图知0 思维升华 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法. (2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质. (1)方程x2-|x|+a=1有四个不同的实数解,则a的取值范围是________. (2)当0 时,4x 答案 (1)(1, ) (2)( ,1) 解析 (1)方程解的个数可转化为函数y=x2-|x|的图象与直线y=1-a交点的个数,如图: 易知- <1-a<0,∴1 . (2)∵0 ,∴1<4x≤2, ∴logax>4x>1,∴0 令f(x)=4x,g(x)=logax, 当x= 时,f( )=2.(如图) 令g( )=loga =2,即a= . 又∵g(x)=logax,x0∈(0,1),
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