弹性地基梁的计算.docx
- 文档编号:6716236
- 上传时间:2023-01-09
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:66.33KB
弹性地基梁的计算.docx
《弹性地基梁的计算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《弹性地基梁的计算.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
弹性地基梁的计算
第3章弹性地基梁的计算
计算基础梁常用的三种假设:
(1)地基反力按直线分布的假定;
(2)文克尔假定;
(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。
3.1按文克尔假定计算基础梁的基木方程
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定,地基反力用下式表达。
b=Ky(3-1)
式中,旷一任一点的地基反力(kN/m‘)
〉'一相应点的地基沉陷量(m)
K—弹性压缩系数(kN/m‘)
梁的角变,位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。
推导出基础梁的挠度曲线微分方程。
图3-1
从弹性地基梁中取出微段,根据平衡条件£>'=0,得(Q+)一0+q{x)dx-odx=0化简后变为
(3-2)
再根据ZM=0,得
(厶尸(心a(I,—,
2=0
M—(M+dM)+(Q+〃Q)dx+2
整理并略去二阶微量,则得
八dM
(3-3)
(3-4)
Q=—dx
由式(3・2)和式(3-3),知
dQd2M“、
dxdx^
若不计剪力对梁挠度的影响,则山材料力学中得
dx
M=-EJ—-EJ—dx=dx~
Q=竺一EJ空
dxdx
将式(3-5)代人式(3-4),并应用式(3-1),则得
EJ=-Ky+q{x)
(3-5)
代入式(3-6),得
(3-6)
(3-7)
dAy4心—t+4ay=dxK
式中&叫做梁的弹性标值。
式(3・8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算,在上式中用变数处代替变数•
(3-8)
二者有如下的关系:
dy_dyd(ax)dxd{ax)dx
a止
d{ax)
(3-9)
将上式代入式(3-9),则得
(3-10)
2.挠度曲线微分方程的齐次解
解的一般形式为:
(3-11)
y=chaxcosax+C2chaxsinax+C3sharcosax+C4shaxsinax在上式中引用了
shax=chax=
2,2
3.2按文克尔假定计算短梁
1.初参数和双曲线三角函数的引用
图示一等截面基础梁,设左端有位移儿,角变九、弯矩和剪力它们的正方向如图中所示。
求式(3-11)的各阶导数,并应用梁左端的边界条件,注意当兀=0时ch^=cosO¥=l,shar=sin«x=Oo得到:
%=^(C+C3)
M{)=-2EJa2C4
C()=2EJa3(-C2+C3)
解以上四式,求出
ci=>0
C2=7~^0-
2a4aEJ
C3=丄&o+
2a4aEJ
1
2a2EJ
M()
(3-12)
=_纲
图3-2
这样,将式(3-11)中的四个常数Ci至G用儿、九、M。
和0。
表达。
将式(3-12)代入式(3-11)中,变为
_久丄
$=>0ch盃cos处+2a(ch盃sin血+sh盃Cos处)
m()——!
——2<,——!
——
2a^EJsh^sin^v—4aEJ(chsin<^
一shatcos处)(3-13)
为了计算方便,引用下列记号:
©二chavcos处
池=ch*sinar+sh血cos处(3-14)
血二sha^sinar
久=chctxsinax-sh*COs处
其中0、©2、海、孙叫做双曲线三角函数。
这四个函数之间有如下的关系:
_d(p{
a(ox)
(3-15)
=GLdxd(ai)
——-=a—=a(p^
dxd(ax)
仏a如=2吗
dxcl(ax)
将式(3-14)代入式(3-13)并按式(3-7)消去EJ,再按式(3-5)逐次求导数,并注意式(3-15),则得以下各式:
门12a2八a
y=>o^i+&o石©2--^7-^3-Qo—^4
&=_儿明+&(®_m0电-◎-Co电-血
KK
Kk1
M=儿厂03+%厂久+Mu©+Q{}—(P2
(3-16)
2a4a2a
Kk
Q=儿兀严2+&()无T03-M(s+Qq(P\
2荷载引起的阳加项〜
(1)集中荷载P引起的附加项
将座标原点移到荷载P的作用点。
因为仅考虑P的作用,故在它的作用点处的四个初参数为
儿|==0&*=(),MXi=0QXi=-P
用儿,兀、“勺和©代换式(3-16)中的儿、%、M。
与0则得
八2a,
(3-17)
6,=—^3a(.t-x,)
M=_£p02如如
Q=-p 式(3-17)即为荷载P引起的附加项。 式中双曲线三角函数件、厲、叭、久均有下标°(兀-坷),表示这些函数°(兀-坷)随变化。 当求荷载P左边各截面的位移,既角变,弯矩和剪力时只用式(3-16)即可,不需用式(3-17),因此,当<'1时式(3-17)不存在。 (2)力矩M引起的附加项 当梁只作用着力矩M时,将座标原点移到力矩M的作用点,此点的四个初参数为 儿广0比=0,MXi=MQX1=0 用儿2、乞2、M©Qx2,代换式(3-16)中的儿、九、M。 、。 。 就得力矩M弓|起的附加项如下: 2小“ y= K (3-18) 式中0.02、%、久均有下标ad•-兀2),表示这些函数随a(x-£)变化。 当x (3)分布荷载q引起的附加项 设求座标为a(x-x4)截面的位移、角变、弯矩和剪力。 将分布荷载看成是无限多个集中荷载qdm代入式(3-17),得 y=v「“心曲K旳 (3-19) 0=半-「叽-“如KW 在式(3-⑼中®、02、必、久随a(x-u)变化。 如视x为常数,则d(x~u)=-du•考虑这一关系,并注意式(3-15),得下列各式: _1d =Sag、 adu (3-20) 0ia(.j= 将以上各式代人式(3-19),再施用部分积分,则得 (3-21) 03心)= duJJ式(3-21)就是求分布荷载q的附加项的一般公式。 (a)梁上有一段均布荷载的附加项(图3-3): dq 这时q=q.du=0,代入式(3-21)得附加项为$=2)一)] Goa 0=[^4a(x-x4>—^4a(.r-Xj). M=^r[03a(.F)一03a(f)] 。 =苍'[^2a (b)梁上有一段三角形分布荷载的附加项(图3-3): 梁上有一段三角形分布荷载。 在心到入区段内任一点的荷载集度为△g/、 q=(“一勺) 尢一心 dq_\qdux4一x3 将以上关系代入式(3-21),则得 尸祁缶航一勺%“] +\^2a(x-.u)-02*7)]} (3-23) -右bla(.r-.t4)-0aCf)]} +£[®a(.7)一%(.一』 +*[如7一03a(r)]} 在式(3-22)和式(3-23)中,函数0的下标有的为°(兀-“),在式(3-23)中第一 个方括号内还有乘数("-勺)。 使用此二式时要注意,当X小于或等于入时,圆括号内的“均应换为X,即*-耳)改为ad),(丸-心)改为(―勺)。 (c)梁的全跨布满均布荷载的附加项(图3-4): 当均布荷载%布满梁的全跨时,则心=0,并且任一截面的座标距大永小于或 等于“。 这样,将式(3-22)中各函数0的下标®改为兀,则 ©az=1,©2a(7=°,%归)=0,^4«(x-x)=° 由此,得全跨受均前荷载的附加项为’ K4 7叭 0—欽2 (d)梁的全跨布满三角形荷载的附加项(图3-4): 当三角形荷载布满梁的全跨时,心=0,任一截面的座标距兀永小于或等于心。 与推导式(3・23)相同,从式(3・23)得 ■ y=Ti[x- &=卫[1_©]K/L鬥」 Q=_誥严 2a1 1 (3-25) 式(3-25)就是梁的全跨布满三角形荷载时的附加项。 图3-3图3-4 在衬砌结构的计算中,常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载,根据这儿种荷载,将以上求位移、角变、弯矩和剪力的公式综合写 出如下: 门1」2cr八a +L~K卩①八“x-X])"~|.v;«M03a(x-.$) 〜2a2 &—一儿a久+一M。 〒笑一0—(P. la2 Xj~77—尸03a(x-X]) A vVo®+&()亍02一M()——(py一0o—^4y=Laka 1 牙一——02a 2a3 0 +晋初+善Z田 (3-26) M=儿P+%缶久+也+°。 £处一券伟一為久TL-||心盹问.7) Kk Q_儿石02+%寿®-“冲+0(® q0M ■石®一牯®-||,_p处(FTL曲 式(3-26)中,h—表示附加项只当时才存在,余类推。 例题3-1图3-5所示基础梁,长度/=4m,宽度b=0.2moEJ=1333kN-m2<>地基的弹性压缩系数K=40000kN/m\梁的两端自山。 求梁截面1和截面2的弯矩。 解: (1)查出双曲线三角函数 因梁宽b=0.2m,故K值须用 K=0.2X40000=8000kN/m2 K 4EJ 竺L=l・107丄 4x1333m a= 从表中查出各。 值,见表3・1图3・11 表3・1 x(m) ax 0 2 03 % 1 1.1 2 3.2 0.7568 2.0930 1.1904 0.8811 3 3.3 4 4.4 -3.6882 1.0702 3.6036 6.3163 -13.4048 -15.5089 -2.1356 11.2272 -13.5180 -51.2746 -38.7486 -26.2460 (2)确定初参数儿、味、M。 、Q由梁左端的边界条件,知。 M°=0,Qo=0 其它两个初参数儿和弘可用梁右端的边界条件 M=0与Q=0 由式(3-26)确定。 因梁上作用着一段均布荷载q(),故须将式(3-22)迭加到式(3-26)中。 尚须注意: 人i=3m,心二。 ,x4=2mo 这样,便可写出下列二式 为^7©+4—©恥-勺)]一2卩02恥_.“=° 儿召①+%务吋券Pj=0 将Q值,K值和表3-1中相应的0值代入以上二式中,得 8000x38.74868000x26.2460n20 2x1.1072•°4x1.1073°2X1.1072 40x2.0930 [3.6036+38.7486]2x1.107二o 8000x51.2746 2x1.107 8000x38.7486 4x1.1072 &o+ 20 2x1.107 [1.0702+51.27461-40X0.7568=0 解出 >? u=0.00247m, ^0=-0.0001188o 以上将四个初参数儿、久、M。 、Qo都求出来了。 (3)求截面1与截面2的弯矩 将式(3-22)迭加到式(3-26)中。 集中荷载P的附加项对截面1和截面2的弯矩没有影响。 并注意®=o,由此,则得 M=)J0+4^704+^rb3a(.F-03a(F. 将Q值,K值、儿、九和表3-1中相应的0值代人上式,算出截面1与截面2的弯矩如下: @)截面1的弯矩截面1距座标原点x=lm,在均布荷载范围以内,故心应等于%,因此,叫7为零。 截面1的弯矩 8000xl.l904x0.002478000xO.8811x0.0001188 M二一2x1.1072"4x1.107' +—[1」904] 2x1.107-=-0.270kN-m 面2的弯矩 8000x2.1356x0.002478000xll.2272x0.0001188 (b)截面2的弯矩截面2在均布荷载范圉以外,故x4=2m,x=3m。 可得截 M 2x1.1072 4x1.107 20 [1.1904+2.1356] 2x1.1072= 7.957kN-m 3.3按文克尔假定计算长梁 1无限长梁 梁的挠度曲线方程(3-11)乂可写为: y=ea\A}cosax+A2sinax)+e~ax x(儿cosax+A4sinax) 当%趋近于00时,梁的y值应趋近于零。 根据这一关系,上式变为 y=(生cosat+A4sinax)(3-28) 再确定常数A3与A4。 依据式(3-5)求y的各阶导数,得 图3-6 0=—=ae~ax[(-A3+A4)cosav-(A3+A4)sinax]dx j2 M=_EJ—=-EJa2e^ax[2A3sinax-2A4cosax] (3-29) Q=-EJ—=-EJa[(九+A4)cosax+2(-A3+比)sinax]dx 在荷载作用点0。 应有 =0 p_ 2 [e] 代人式(3-29),得 —+A4=0 —2EJa3(令4-A4)——— 注意式(3-7),解出 l.v-0 将As及A4代入式(3-28)和式(3-29)中,得以下各式: Pa齐,・、 y=e(cosar+sinav) '2K aPa'5・ 0=esinax K M=(cosav-sinax) 2a p Q=-石严cosav (3-30) 引用符号0,令 (p、=e^ax(cosax一sinar) —/XV (3-31) (pb=ecosax 4=严'(cosax+sinax) —at•08=fsinav 因此,式(3-30)变为 Pay=——© 2K aPa2 (3-32) "L 初p M=——(p. 2a5、P皆-严 式(3-32)就是计算无限长梁的方程。 其中函数久〜久可以从表中查出,它们之间存在下列关系: dddod —(Ps=-2a$〒久=一°®=一2°佟〒%=叫 ax,dx,dxax 用式(3-32)计算图3-6所示的无限长梁,求出地基反力・和&、M及。 的曲线如图中所示,距离荷载P越远则旷、0、M和。 越小。 计算证明,与荷载P的作用点距离为处=兀处,荷载的影响很小。 因此,给出如下的规定: 当集中荷载P与梁端的距离X满足 ax2兀 时,则可按无限长梁计算。 有的文献中规定,当处豪2・75时即可按无限长梁计算。 例题3-2图3-7所示基础梁,E=2X108kN/nr,J=2500X108m4,梁的宽度b=20cmo地基的弹性压缩系数K=15X104kN/m3,求点B的挠度及弯矩. (1)判定梁的类别 因梁的宽度b=20cm,故K值须用 K=0.2X15XI04=30000kN/m2根据式(3-7)求出梁的弹性标值Q为 =4=4I彳0000 &_\'4£7_\I4x2x108x2500x10-8 =0.011—=l.l— cmm 靠近梁端的荷载至梁端的距离为3.6m,则 ^=1.1X3.6=3.86>2.75 故可按无限长梁计算。 图3-7 (2)查出双曲线三角函数0 将座标原点分别放置于A、B,C、D各点,从表中查岀各©值见表3・2。 表3-2 荷载至点B的距离 X 0 lm 2m ax 0 1.1 3.2 1.0000 -0.1457 -0.1548 07 1.0000 0.4476 0.0244 (3)计算点B的挠度和弯矩 由式(3-32)求出点B的挠度和弯矩为 y=—y(pn(1+2x0.4476+0.0244) 2K厶"=2x30000=O.OO355m “PP100 =4x1.1(1-2X0.1457-0」548)=12.59kN.m M=——y侏4a厶5 2半无限长梁左端的边界条件为(参照图3-8) [ML_o=M(J,=Qq 代人式(3-29)中则得 2EJa2A4=M°-2£Ja3(A3+A4)=(2() 解岀 14M() 2EJa,2EJa 将A3和九代人式(3-28)与式(3-29)中,得 y=——! _e^ax[-cosax_M0a(cosav_sinax)] 2EJa' (3-33) 0=——! ―[(20(coso¥+sinax)+2M()acos空| 2EJor M=丄e~m[-Q()sinax-M{}a{cosax+sinca)] Q=一严'[一a(cosax-sinax)+2M()asinax] 在上式中引用式(3-31)中的各函数0,并注意 a 则变为 (3-34) M=°0仇_M%] 。 =-[-0(心+J 图3-8所示的梁当它的长度I满足 皿"(或>2.75) 时,即可按半无限长梁进行计算。 按文克尔假定计算基础梁,区分为三类: 1刚性梁 当梁的长度/符合 al<— 4(或Wl) 时,地基反力可按直线分布计算。 2长梁 当荷载与梁两端的距离X符合 g"(或22.75) 时,叫做无限长梁,用式(3-32)计算。 当梁端上作用着集中力和力矩,而梁的长度1符合 田"(或>2.75) 时,叫做半无限长梁,用式(3-34)计算。 3短梁 凡不属于刚性梁和长梁类型的就叫做短梁,用式(3-26)计算。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 弹性 地基 计算
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)