最新人教版初中数学八年级下册1911《变量与函数》优质课教案.docx
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最新人教版初中数学八年级下册1911《变量与函数》优质课教案
《19.1.1变量与函数》
本课是函数的起始课,函数是刻画运动变化现象的重要数学模型,要从数学的角度研究变化现象,把握变化规律,首先要关注变化过程中量的变化,这就是变量,本课在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上,领会变量与常量的含义.进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系,在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上,抽象出函数的概念.进一步讨论函数的自变量取值范围,用解析法和列表法表示函数关系,初步体会用函数描述和分析运动变化规律.
1.了解变量与常量的意义;
2.体会运动变化过程中的数量变化.
3.进一步体会运动变化过程中的数量变化;
4.从典型实例中抽象概括出函数的概念,了解函数的概念.
5.了解解析法和列表法,并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系;
6.能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围;
7.会初步分析简单实际问题中函数关系,讨论变量的变化情况.
1.了解变量与常量的意义,充分体会运动变化过程中量的变化.
2.概括并理解函数概念中的对应关系.
3.用解析法和列表法表示函数关系,确定简单实际问题的自变量取值范围.
多媒体:
PPT课件、电子白板
第一课时
一、初步感知统领全章:
1.观察图片,体会变化:
【活动导语】“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化,气温随海拔而变化,云图随时间变化而变化,汽车行驶的路程随时间变化而变化……在你的周围的事物中,这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖关系,数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质,更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律.
本章中,我们将从初步认识变量和函数开始,重点学习一类最基本的函数——一次函数.
2.如图,小球在斜坡上滚动,请观察这一运动变化过程,你注意到了什么变化?
变化的量有哪些?
不变的量有哪些?
变换的量:
小球在斜坡上滚动的路程s;小球离起点的水平距离x;小球离水平面的高度y;小球滚动的时间t.
不变的量:
斜坡的高度,斜坡的长度,斜坡的水平长度等.
二、细心体会感受新知:
1.先请思考下面几个问题:
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶的时间是th,行驶的路程为skm,填写下表,s的值随t的值得变化而变化吗?
t/h
1
2
3
4
5
s/km
(2)每张电影票的售价为10元,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各多少元?
设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?
(3)你见过水中涟漪吗?
如图,圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?
S的值随r的变化而变化吗?
(4)用10m长的用10m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边长y分别为多少?
y的值随x的值的变化而变化吗?
2.变量和常量:
这些问题反映了不同事物的变化过程,其中有些量的数值是变化的,有些量的数值是始终不变的.
变量:
在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量;
常量:
在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量.
三、运用新知解决问题
1.练习:
指出下列变化过程中的变量和常量:
(1)汽油的价格是7.4元/升,加油xL,车主加油付油费y元;
(2)小明看一本200页的小说,看完这本小说需要t天,平均每天所看的页数为n;
(3)用长为40cm的绳子围矩形,围成的矩形一边长为xcm,其面积为Scm2.
解:
(1)常量为汽油的价格7.4,变量为加油量L和油费y;
(2)常量为这本书的总页数200,变量为平均每天所看的页数n和阅读天数t;
(3)常量为矩形的周长40,变量为矩形的一边长x和面积S.
2.你能举出一个变化过程的例子,并说出其中的变量和常量吗?
试一试!
想一想:
你能确定下列变化过程中的变量吗?
(1)小敏长高了;
(2)在汤中加水,汤变淡了;
(3)小狗越来越可爱了.
四、巩固训练形成能力:
1.从空中落下一个物体,它降落的速度随时间的变化而变化,即落地前速度随时间的增大而逐渐增大,这个问题中变量是()
A.物体B.速度
C.时间和速度D.重量和空气
2.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是( )
A.数100和η,t都是变量B.数100和η都是常量
C.η和t是变量D.数100和t都是常量
3.在△ABC中,它的底边是a,底边上的高是h,则三角形面积S=
ah,当a为定长时,在此式中( )
A.S,h是变量,
,a是常量B.S,h,a是变量,
,是常量
C.S,h是变量,
,S是常量D.S是变量,
,a,h是常量
4.用20cm的铁丝所围的长方形的长x(cm)与面积S(cm2)的关系式是___,其中常量是___,变量是____.
5.地壳的厚度约为8~40千米.地表以下不太深的地方,温度可按y=35x+t计算,其中x(千米)是深度,t(℃)是地球表面温度,y(℃)是地表下x千米处的温度.
(1)在这个关系式中,哪些量是变量,哪些量是常量?
(2)若地球的表面温度是t=35℃,当x=30千米时,求y的值.
五、课堂小结:
(1)什么叫变量?
什么叫常量?
(2)举一个运动变化的例子并指出其变量和常量.
(3)你认为变化过程中的变量之间会有联系吗?
第二课时
一、观察思考分析变化:
问题1 下面变化过程中,是否包含两个变量?
同一问题中的变量之间有什么联系?
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶的时间为th,行驶的路程为skm;
(2)每张电影票的售价为10元,设某场电影售出x张票,票房收入为y元;
(3)圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,圆的半径为r,面积为S;
(4)用10m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长为x,它的邻边长为y.
[活动说明与建议]说明:
本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概念,函数概念的抽象应循序渐进,首先让学生知道这些事例是一个变换的过程,其次这些变换过程中都含有两个变量,这两个变量之间存在着某种联系,最后由教师引导通过具体的数据,发现当给定一个变量的值时,有唯一的另一个变量的值与之对应,这种对应关系每个问题都不同.
建议:
在教师的引导下,充分的让学生通过实例感知函数,感知这种对应关系.
【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一的值与之对应.
二、观察思考再次概括:
问题2:
一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量之间存在上面那样的关系.
(1)下面是中国代表团在第23届至30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表,届数和金牌数可以分别记作x和y,对于表中每一个确定的届数x,都对应着一个确定的金牌数y吗?
(2)如图是北京某天的气温变化图,你能根据图象说出某一时刻的气温吗?
问题3:
综合以上这些现象,你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗?
函数的定义:
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
如果当x=a时,对应的y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
三、初步应用巩固知识:
练习1 下列问题中,一个变量是否是另一个变量的函数?
请说明理由.
(1)向一水池每分钟注水0.1m3,注水量y(单位:
m3)随注水时间x(单位:
min)的变化而变化;
(2)改变正方形的边长x,正方形的面积S随之变化;
(3)秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y(单位:
m2)随这个村人数n的变化而变化;
(4)P是数轴上的一个动点,它到原点的距离记为x,它的坐标记为y,y随x的变化而变化.
练习2下面的我国人口数统计表中,人口数y是年份x的函数吗?
为什么?
练习3下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图,请问:
蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗?
为什么?
【追问】蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数吗?
为什么?
练习4 你能举出一个函数的实例吗?
四、课堂小结:
第三课时
一、问题重现加深认识:
1.函数解析式和自变量的取值范围.
问题1回顾函数定义,用含有自变量的式子表示下列函数关系,并确定自变量的取值范围.
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶的时间为th,行驶的路程为skm;
(2)每张电影票的售价为10元,设某场电影售出x张票,票房收入为y元;
(3)圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,圆的半径为r,面积为S;
(4)用10m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长为x,它的邻边长为y.
解:
(1)s=60t(t>0);
(2)y=10x(x≥0且x为整数);
(3)S=πr²(r>0);
(4)y=5-x(0<x<5).
[归纳]
(1)用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,这种式子叫做函数的解析式.
(2)在实际问题中,函数的自变量取值范围往往是有限制的,在限制的范围内,函数才有实际意义;超出这个范围,函数没有实际意义,我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.
练习:
求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=3x-1;
(2)y=2x2+7;(3)y=
;(4)y=
.
[解析]用数学式子表示的函数,一般来说,自变量只能取使式子有意义的值.例如,在
(1),
(2)中,x取任意实数,3x-1与2x2+7都有意义;而在(3)中,x=-2时,
没有意义;在(4)中,x<2时,
没有意义.
解:
(1)x的取值范围是任意实数;
(2)x的取值范围是任意实数;
(3)x的取值范围是x≠-2;(4)x的取值范围是x≥2.
2.列表法和图像法表示函数
问题2下面两个例子中,函数关系还能用解析式表示吗?
它们分别是用什么形式表示函数关系的?
(1)下面是中国代表团在第23届至30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表,届数和金牌数可以分别记作x和y,对于表中每一个确定的届数x,都对应着一个确定的金牌数y;
(2)如图是北京某天的气温变化图,对于每一个时刻,都有唯一确定的气温与之对应,
【归纳】有的函数关系并不能用解析式表示出来,还有两种表示函数关系的方法:
列表法和图像法.
二、例题探究问题深入:
例1 [教材P73例1]汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:
L)随行驶路程x(单位:
km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子;
(2)指出自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?
解:
(1)y与x的函数关系式为y=50-0.1x.
(2)因油量y>0,故0.1x≤50,
∴自变量x的取值范围是0≤x≤500.
(3)把x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1×200=30.
汽车行驶200km时,油箱中还有30L汽油.
练习:
如图19-1-:
搭1条小鱼需要8根火柴,每多搭1条小鱼就要增加6根火柴,随着小鱼条数的增加,火柴的根数也随着增加.搭小鱼所需火柴的根数S、所搭小鱼的条数n,如果是请写出S与n的函数关系式,并写出自变量n的取值范围;如果不是,请说明理由.
三、当堂练习:
1.下列问题中,一个变量是否是另一个变量的函数?
请说明理由.
(1)向一水池每分钟注水0.1m3,注水量y(单位:
m3)随注水时间x(单位:
min)的变化而变化;
(2)改变正方形的边长x,正方形的面积S随之变化;
(3)某村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y(单位:
m2)随这个村人数n的变化而变化;
(4)P是数轴上的一个动点,它到原点的距离记为x,它的坐标记为y,y随x的变化而变化.
2.你能用含自变量的式子表示下列函数,并说出自变量的取值范围吗?
(1)等腰三角形的面积为12,底边长为x,底边上的高为y,y随着x的变化而变化;
(2)把边长为10cm的正方形纸板的四个角都截去一个边长为x的小正方形,做成一个无盖的长方体,该长方体的体积V(单位:
cm3)随x(单位:
cm)的变化而变化.
3.下面的我国人口数统计表中,人口数y是年份x的函数吗?
为什么?
年份x
人口数y/亿
1989
11.06
1999
11.76
1999
12.52
2010
13.71
四、课堂小结:
略。
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 变量与函数 新人 初中 数学 年级 下册 1911 变量 函数 优质课 教案