全国中考数学压轴题精选 八.docx
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全国中考数学压轴题精选 八.docx
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全国中考数学压轴题精选八
2008年全国中考数学压轴题精选(八)
71.(08江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究
如图,在直角坐标系
中,点
为函数
在第一象限内的图象上的任一点,点
的坐标为
,直线
过
且与
轴平行,过
作
轴的平行线分别交
轴,
于
,连结
交
轴于
,直线
交
轴于
.
(1)求证:
点为线段
的中点;
(2)求证:
①四边形
为平行四边形;
②平行四边形
为菱形;
(3)除
点外,直线
与抛物线
有无其它公共点?
并说明理由.
(08江苏镇江28题解析)
(1)法一:
由题可知
.
,
,
.(1分)
,即
为
的中点.(2分)
法二:
,
,
.(1分)
又
轴,
.(2分)
(2)①由
(1)可知
,
,
,
,
.(3分)
,
又
,
四边形
为平行四边形.(4分)
②设
,
轴,则
,则
.
过
作
轴,垂足为
,在
中,
.
平行四边形
为菱形.(6分)
(3)设直线
为
,由
,得
,
代入得:
直线
为
.(7分)
设直线
与抛物线的公共点为
,代入直线
关系式得:
,
,解得
.得公共点为
.
所以直线
与抛物线
只有一个公共点
.(8分)
72(08黑龙江齐齐哈尔28题)(本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系中,点
,点
分别在
轴,
轴的正半轴上,且满足
.
(1)求点
,点
的坐标.
(2)若点
从
点出发,以每秒1个单位的速度沿射线
运动,连结
.设
的面积为
,点
的运动时间为
秒,求
与
的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)在
(2)的条件下,是否存在点
,使以点
为顶点的三角形与
相似?
若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(08黑龙江齐齐哈尔28题解析)解:
(1)
,
(1分)
,
点
,点
分别在
轴,
轴的正半轴上
(2分)
(2)求得
(3分)
(每个解析式各1分,两个取值范围共1分)(6分)
(3)
;
;
;
(每个1分,计4分)
(10分)
注:
本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,酌情给分.
73(08海南省卷24题)(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)求证:
①CB=CE;②D是BE的中点;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(08海南省卷24题解析)
(1)∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上,
∴m=-2×(-2)-1=3.………………………………(2分)
∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,
∴点A的坐标为(4,0).
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).……………………(3分)
将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴
.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为
,即
.(6分)
(2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,
则BG⊥直线x=2,BG=4.
在Rt△BGC中,BC=
.
∵CE=5,
∴CB=CE=5.……………………(9分)
②过点E作EH∥x轴,交y轴于H,
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE(SAS),
∴BD=DE.
即D是BE的中点.………………………………(11分)
(3)存在.………………………………(12分)
由于PB=PE,∴点P在直线CD上,
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1)C(2,0)代入,得
.解得
.
∴直线CD对应的函数关系式为y=
x-1.
∵动点P的坐标为(x,
),
∴
x-1=
.………………………………(13分)
解得
,
.∴
,
.
∴符合条件的点P的坐标为(
,
)或(
,
).…(14分)
(注:
用其它方法求解参照以上标准给分.)
74.(08广东东莞22题)(本题满分9分)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边
AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
(1)填空:
如图9,AC=,BD=;四边形ABCD是梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如图10,若以AB所在直线为
轴,过点A垂直于AB的直线为
轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向
轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.
(08广东东莞22题解析)解:
(1)
,
,…………………………1分
等腰;…………………………2分
(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:
△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
(3)由题意知,FP∥AE,
∴∠1=∠PFB,
又∵∠1=∠2=30°,
∴∠PFB=∠2=30°,
∴FP=BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K,则
.
∵AF=t,AB=8,
∴FB=8-t,
.
在Rt△BPK中,
.……………………7分
∴△FBP的面积
,
∴S与t之间的函数关系式为:
,或
.…………………………………8分
t的取值范围为:
.…………………………………………………………9分
75(08甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1,
是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,
为原点,点
在
轴的正半轴上,点
在
轴的正半轴上,
,
.
(1)在
边上取一点
,将纸片沿
翻折,使点
落在
边上的点
处,求
两点的坐标;
(2)如图19-2,若
上有一动点
(不与
重合)自
点沿
方向向
点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为
秒(
),过
点作
的平行线交
于点
,过点
作
的平行线交
于点
.求四边形
的面积
与时间
之间的函数关系式;当
取何值时,
有最大值?
最大值是多少?
(3)在
(2)的条件下,当
为何值时,以
为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点
的坐标.
(08甘肃兰州28题解析)(本题满分12分)
解:
(1)依题意可知,折痕
是四边形
的对称轴,
在
中,
,
.
.
.
点坐标为(2,4).2分
在
中,
,又
.
.解得:
.
点坐标为
3分
(2)如图①
,
.
,又知
,
,
,又
.
而显然四边形
为矩形.
5分
,又
当
时,
有最大值
.6分
(3)(i)若以
为等腰三角形的底,则
(如图①)
在
中,
,
,
为
的中点,
.
又
,
为
的中点.
过点
作
,垂足为
,则
是
的中位线,
,
,
当
时,
,
为等腰三角形.
此时
点坐标为
.8分
(ii)若以
为等腰三角形的腰,则
(如图②)
在
中,
.
过点
作
,垂足为
.
,
.
.
,
.
,
,
当
时,(
),此时
点坐标为
.11分
综合(i)(ii)可知,
或
时,以
为顶点的三角形为等腰三角形,相应
点的坐标为
或
.12分
76.(08天津市卷26题)(本小题10分)
已知抛物线
,
(Ⅰ)若
,
,求该抛物线与
轴公共点的坐标;
(Ⅱ)若
,且当
时,抛物线与
轴有且只有一个公共点,求
的取值范围;
(Ⅲ)若
,且
时,对应的
;
时,对应的
,试判断当
时,抛物线与
轴是否有公共点?
若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.
(08天津市卷26题解析)解(Ⅰ)当
,
时,抛物线为
,
方程
的两个根为
,
.
∴该抛物线与
轴公共点的坐标是
和
.2分
(Ⅱ)当
时,抛物线为
,且与
轴有公共点.
对于方程
,判别式
≥0,有
≤
.3分
①当
时,由方程
,解得
.
此时抛物线为
与
轴只有一个公共点
.4分
②当
时,
时,
,
时,
.
由已知
时,该抛物线与
轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为
,
应有
即
解得
.
综上,
或
.6分
(Ⅲ)对于二次函数
,
由已知
时,
;
时,
,
又
,∴
.
于是
.而
,∴
,即
.
∴
.7分
∵关于
的一元二次方程
的判别式
,
∴抛物线
与
轴有两个公共点,顶点在
轴下方.8分
又该抛物线的对称轴
,
由
,
,
,
得
,
∴
.
又由已知
时,
;
时,
,观察图象,
可知在
范围内,该抛物线与
轴有两个公共点.10分
77(08湖北宜昌25题)如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数,m>1,n>0.
(1)请你确定n的值和点B的坐标;
(2)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax
+bx+c的顶点,且在双曲线y=
上时,求这时四边形OABC的面积.
(08湖北宜昌25题解析)解:
(1)从图中可知,当P从O向A运动时,△POC的面积S=
mz,z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m,故OA=2,n=2.(1分)
同理,AB=1,故点B的坐标是(1,2).(2分)
(2)解法一:
∵抛物线y=ax
+bx+c经过点O(0,0),C(m,0),∴c=0,b=-am,(3分)
∴抛物线为y=ax
-amx,顶点坐标为(
,-
am2).(4分)
如图1,设经过点O,C,P
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