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关于MBA联考共享笔记数学重点习题

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MBA2002联考共享笔记——数学重点习题（6）

1、假设由自动线加工的某种零件内径ξ（单位：

mm）服从正态N（μ，1）分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件不合格品亏损，已经销售利润T（单位：

元）与销售零件的内径ξ关系为：

T=

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

（答案：

μ≈10.9）

【思路】利润L=-1*φ（10-μ）+20*[φ（12-μ）-φ（10-μ）]-5*[1-φ（12-μ）]=25φ（12-μ）-21φ（10-μ）-5

=25∫1/（2π）^0.5e^（-0.5x^2）从-∞到12-μ的积分

-21∫1/（2π）^0.5e^（-0.5x^2）从∞到10-μ的积分-5

对上式求导得

L’=1/（2π）^0.5（21e^[0.5（10-μ）^2]-25e^[0.5（12-μ）^2]

令L’=0即可以求得μ=10.9

此时销售一个零件的平均利润最大.

2、设某种商品每周的需求量ξ是服从区间[0，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]的某一整数，商店每销售1单位的商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每单位仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

（这道题绕老绕去，把我给整晕了，希望高手指点迷津！

书上的答案是24）

【思路】设进货量为N,需求量X,则

N

10≤X≤N时,利润Y=-100（N-X）+500X=600X-100N

已知X~区间[0，30]上的均匀分布

则E（Y）=∫Y*1/20从10到30积分

=1/20∫（300X+200N）dx（从N到30积分）+1/20∫（600X-100N）dx（从10到N积分）

=-7.5N^2+350N+5250≥9280

得,62/3≤N≤26所以N=21

3、设a,b是正整数，且x2+ax+2b=0和x2+2bx+a=0各有实根，则a+b的最小可能值是？

【思路】1、两个方程的△都应大于等于0，得:

a2≥8b

（1）式；b2≥a

（2）式。

2、由

（2）式得：

b≥a1/2，代入

（1）得：

a2≥8*a1/2，所以，a≥4，（等号成立时，b=2）

3、由

（1）式得：

a≥（8*b）1/2，代入

（2）得：

b1/2≥≥（8*b）1/2，所以，b≥2，（等号成立时，a=4）

4、由以上可知，当a取最小值4时，b取最小值2，所以a+b的最小值为6

4、设一年中第i季度某地段发生交通事故的次数Xi服从参数为λi的泊松分布。

i=1，2，3，4，并且各季度发生交通事故的次数互不影响。

求：

、

（1）该地段上半年发生交通事故次数的分布；

（2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数；

（3）若记Z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算EZ与DZ。

【思路】

（1）该地段上半年发生交通事故次数的分布；

设pi（i=0,1,2...）第季度某地段发生交通事故的次数X1=i服从参数为λ1的泊松分布；

qj（j=0,1,2,...）第2季度某地段发生交通事故的次数X2=j服从参数为λ2的泊松分布;

k=0,1,2...为上半年某地段发生交通事故Y的次数

已知pi=[（λ1^i）*e^（-λ1）]/i!

;qj=[（λ2^j）*e^（-λ2）]/j!

;

P{y=k}=pi*pj（i+j=k的所有组合）＝西格阿｛[（λ1^i）*e^（-λ1）]/i!

｝*{[（λ2^j）*e^（-λ2）]/j!

}=[（λ1+λ2）^k*e^（-λ1-λ2）]/k!

该地段上半年发生交通事故次数的分布[（λ1+λ2）^k*e^（-λ1-λ2）]/k!

（k=1,2,3....）

（2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数；

E（Y）=λ1+λ2

10年平均次数有独立性知为10＊E（Y）=10（λ1+λ2）

（3）若记Z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算EZ与DZ。

上半年未发生交通事故概率为u=P{Y=0}=e^（-λ1-λ2）

上半年发生交通事故概率为v=1-P{Y=0}=e^（-λ1-λ2）

连续10年中该地段上半年未发生交通事故的年数服从二项分布（10,u）

EZ=10*u

DZ=10*u*v

5、设随机变量X1与X2相互独立同分布，X1的概率函数为P（X1=i）=1/3,i=1,2,3.

令X=max（X1,X2）,Y=min（X1,X2）

（1）求二维随机向量（X，Y）的联合分布；

（2）求X与Y的协差阵。

6、

先看四道题：

1把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成甲，乙两组（组不同，计次序），每组2个元素（平均分），有几种分法？

c（4,2）*c（2,2）=6

2把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成两堆（堆相同，不计次序），每堆2个元素（平均分），有几种分法？

c（4,2）*c（2,2）/2！

=3

3把6件不同的奖品分成三堆（堆相同，不计次序），一堆1件，一堆2件，一堆3件（不平均分），有几种分法？

c（6,1）*c（5,2）*c（3,3）=60

4把6件不同的奖品分给甲，乙，丙三个人（人不一样，计次序），一人1件，一人2件，一人3件（不平均分），有几种分法？

c（6,1）*c（5,2）*c（3,3）*3!

=360

【思路总结】

n个不同的元素，分成m个和n-m个两组（当然两组以上相同），有几种分法？

公式一：

计次序（即组不一样）；平均分（即m=n-m）

（也可以写成n!

/m!

*（n-m）!

）

公式二：

计次序（即组不一样）；不平均分

2！

（2！

是组数的阶乘）

公式三：

不计次序（即组看成一样，无区别）；平均分

/2！

公式四：

不计次序（即组看成一样，无区别）；不平均分

这四个公式是这类问题的万能公式，关键在于搞清是不是平均分，计不次序，学会了这类问题就迎刃而解了，但是要活学活用，不能死套

例如：

把9本书分甲2本，乙3本，丙4本，有几种分法？

从题上看是不平均分，计次序，应该用公式二，但是次序已经固定了，甲2本，乙3本，丙4本，应该用公式四，c（9,2）*c（7,3）*c（4,4）=1260.

公式一与公式四的结果一样。

7、假设当鱼塘中有X公斤鱼时,每公斤鱼的捕捞成本是2000/（10+X）元,已知鱼塘中现有鱼10000公斤,问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需要花费多少成本?

答案:

2000*ln（10010/4010）

【思路】所求成本=

=2000*ln（10010/4010）

8、设某工厂生产某型号的车床,年产量为A台,分若干批进行生产,每批生产准备费为B元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半,设每年每台库存费为C元,问如何选择批量,使一年中库存费与生产准备费之和最小.

【思路】一年中库存费=XC/2

一年生产准备费=BA/X

所求的和=XC/2+BA/X≥2

=

当XC/2=BA/X即X=

时取等号

9、设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在（假定T=0）就售出,总收入为R0元,如果窖藏起来待来年按陈酒价格出售,T年末总收入R（T）=R0

元,假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少煎售出可以使总收入的现值最大.答案:

T0=1/（25*r2）

【思路】复利意义：

现在1元年利率2%，则一年后1*（1+0.02）1；

二年后1*（1+0.02）1*（1+0.02）1=1*（1+0.02）2……第n年后有1*（1+0.02）n元，现值也就是多少年后的1元钱相当于现在的多少元钱，即设第n年后的1元，则1=x*（1+0.02）n其中的x就是第n年后1元的现值。

设T年末总收入的现值f（T），则f（T）=R0

/（（1+r）T）

10、在一大批元件中只有40%合用的,现一个个的随机从中取元件,取到5个合用的为止,记X是所取的元件总数,求X的期望和方差.

【思路】设第一次取到合用的为止共取x1个元件，从第一次取到合用到取到第二个为止取了x2个元件，从第二次取到合用到取到第三个为止取了x3个元件，从第三个取到合用到取到第四个为止取了x4个元件，从第四次取到合用到取到第五个为止取了x5个元件，这五个事件相互独立，且符合参数为0.4的几何分布，故∑Xi=1/0.4

则X=X1+X2+X3+X4+X5

∑X=∑X1+∑X2+∑X3+∑X4+∑X5=5/0.4（其实你只是需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：

几何分布EX=

EX2=

DX=

）

11、5张牌，分别是2.3.4.5.6点，从中任意摸出3张，以X表示出3张牌中点数的最大值，求X的分布率。

【思路】P（X=4）=1/C（3，5）=0.1。

P（X=5）=C（2,3）/C（3，5）=0.3，

P（X=6）=C（2,4）/C（3，5）=0.6

12、某射手对同一目标进行射击，直到击中r次为止，记X为所用射击次数，已知他的命中率为p,求E（X），D（X）答案E（X）=r/pD（X）=r（1-p）/p^2D（X）

【思路】把开始到第一次射中设为x1，一~二之间设为x2，依次类推直到Xr

则X=X1+X2+…+Xr，这r个事件两两独立，符合几何分布

E（Xi）=1/pD（Xi）=q/（p^2）

则E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）+…E（Xr）=r/p

D（X）=D（X1）+D（X2）+D（X3）+…D（Xr）=r（1-p）/（p^2）

注：

你需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：

几何分布EX=

EX2=

DX=

可以自己推算的。

13、设f（x）在定义域内严格单调，可导，且f'（x）不为0,

已知:

f

（1）=-2f'

（1）=-1/根下2f''

（1）=2求:

14、n阶A（a1,a2,...aN）,n阶B（a1+a2,a2+a3,...aN+A1）

若R（A）=n，判断Bx=0是否有非0解？

为什么？

【思路】

求行列式B的值：

/B/=/a1+a2,a2+a3,…,an+a1/

=/a1,a2+a3,…,an+a1/+/a2,a2+a3,…,an+a1/

对分解后的第一个行列式,用-1*a1加到第n列（an+a1）,

用得到的新的第n列的-1倍加到前一列,

如此直到第二列可得到/a1,a2,…,an/;

对后一个可用第一列的-1倍加到第二列,

再用新得到的第二列的-1倍加到第三列,

如此直到第n列可得/a2,a3,…,an,a1/=（-1）^（n-1）/a1,a2,…,an/

所以/B/=/A/+（-1）^（n-1）/A/

因R（A）=n即/A/≠0当n=2k+1时/B/=2/A/≠0当n=2k时/B/=0k=0,1,2……

所以当n为奇数时BX=0只有零解,当n为偶数时有非零解

15、设V1，V2，V3是AX=0的一个基础解系，则（A）也是AX=0的基础解系。

A、V1，V2-V1，V3-V1

B、V1，V1+V2

C、V1+V2，V2-V3，V1+V3

D、V1+V2，V2+V3，V3+V1，V1+V2+V3

答案是A，但是C为什么不对。

【思路】（V1+V2）-（V2-V3）-（V1+V3）=0

相关则肯定不是基础解系。

16、设A为n阶方阵，且r（A）=n-1,如果a1,a2是Ax=0的两个不同解向量，则Ax=0的通解为____。

a）ka1b）ka2

c）k（a1-a2）d）k（a1+a2）

【思路】选c.举个例子.若其中一个向量是０向量,则排除Ａ.Ｂ

若是两个负向量,则加起来为０向量,排除Ｄ

17、12盏路灯,要熄灭3盏,但两端的灯不能被熄灭,且不能熄灭相邻的两盏灯.

求熄灯的方法有几种.

【思路1】C（3,10）-（8+7+7+7+7+7+7+7+7）=56种

【思路2】不管首尾灯，将中间十个灯编号为1,2...10,分成两组

（1，3，5，7，9）与（2，4，6，8，10）

1、分别从两组里取三个，编号肯定不相邻——2*c（3，5）

2、从奇数组里面取一个，从偶数组里面取两个；以奇数组为例：

取1，那么可以从（4，6，8，10）中选2个，c（2，4）；如果取3，那么只能从（6,8,10）中选两个c（2,3）；5，7，9的取法一样，

3、从偶数组里面取一个，从奇数组里面取两个，和2.的取法一样

2*c（3，5）+2*[c（2，4）+4*c（2，3）]=56

【思路3】答案最简洁的形式是C（3,8）（可以这样来想，如果在8盏灯中任取的3盏灯熄灭，然后在任意两盏熄灭的灯间插入两盏亮着的灯，就是我们想要的组合方式

）

18、某企业对一种外购物资的年需求量为6000t，如果该物资的每次订货费为5元，每吨物资仓储保管存货费用为每年50元。

已知该企业每次订货两相同，一年内的订货费用以及存货费用共计2500元，则该物资的每次订货吨数为[]

（A）10（B）20（C）100（D）200答案是B

【思路】我的方程列的就是

（6000÷x）×5＋50*x＝2500就解得20是其中的一个解。

对于sunsea的这个题目，我想可以列如下式子：

（2400/x）*100+150*6%*x/12=240000/x+3x/4

当240000/x=3x/4时取最少，你认为呢？

但是x解出来好象不是个整数。