五年级奥数举一反三第26讲 最小公倍数一含答案.docx
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五年级奥数举一反三第26讲最小公倍数一含答案
第26讲最小公倍数
(一)
一、专题简析:
1、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],当(a、b)=1时,[a、b]=a×b。
2、两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即(a、b)×[a、b]=a×b
要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通过就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公约数问题混淆。
二、精讲精练
例题1两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
练习一
1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
2、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
例题2两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
练习二
1、求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
2、已知两个数的积是3072,最大公约数是16,求这两个数。
例题3甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。
有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?
练习三
1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车?
2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
例题4一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?
练习四
1.用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?
2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?
例题5甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?
练习五
1、有一条长400米的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若二人同时同地出发,同向而行,则10分钟后第一次相遇。
已知甲比乙快,求二人的速度。
2、一环形跑道长240米,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8米,乙每秒行6米,丙每秒行5米。
至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?
三、课后作业
1、两个数的最大公约数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?
2、已知两个数的最大公约数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷,二班的同学每6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家?
4、一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体小块,不许有剩余,这些小正方体的棱长最多是多少分米?
5、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步,甲每秒跑4米,乙每秒跑5米,丙每秒跑3米。
若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出发?
第26周最小公倍数
(一)
专题简析:
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],当(a、b)=1时,[a、b]=a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系:
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即(a、b)×[a、b]=a×b
要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通过就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公约数问题混淆。
例题1两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
分析根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积,再把这个积分解成两个数。
根据题意:
当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=20,15×3=45。
所以,这两个数是15和90或者30和45。
练习一
1,两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
2,两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
3,两个数的最大公约数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?
【答案】1.90÷9=10=1×10=2×5这两个数分别为9×1=9和9×10=90或者9×2=18和9×5=45
2.60÷12=5=1×5这两个数分别是1×12=12和5×12=60,它们的和是12+60=72
3.180÷60=3720÷3=240
例题2两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。
根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。
又因为(甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数,所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。
当a和b是1和40时,所求的数是3×1=3和3×40=120;当a和b是5和8时,所求的数是3×5=15和3×8=24。
练习二
1,求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
2,已知两个数的积是3072,最大公约数是16,求这两个数。
3,已知两个数的最大公约数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。
【答案】1.36×24=864
2.最小公倍数为3072÷16=192192÷16=12=1×12=2×6=3×4,这两个数分别是1×16=16和12×16=192或2×16=32和6×16=96或3×16=48和4×16=64
3.78÷13=6=1×6=2×3,这两个数分别是26和39或13和78,差是13或65
例题3甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。
有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?
分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
练习三
1,1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车?
2,甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3,五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷,二班的同学每6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家?
【答案】1.最小公倍数60,至少要过60分钟
2.(120,80,100)=12001200秒=20分钟,至少再过20分钟
3.再过42天
例题4一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?
分析把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
练习四
1,用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?
答案:
解:
9、6、7的最小公倍数是126
所以拼成的这个正方体的棱长最小是126厘米
(126÷9)×(126÷6)×(126÷7)
=14×21×18
=5292(块)
答:
至少需要这样的木块5292块.
2,有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?
答案:
解:
6、4、3的最小公倍数是12,则大正方体的棱长是12厘米,长用12÷6=2块,宽用12÷4=3块,高用12÷3=4块,此时最少需要用2×3×4=24块,
当大正方体的棱长是24厘米时,24÷6=4块,24÷4=6块,24÷3=8块;4×6×8=192块<200块,满足条件, 所以体积是:
24×24×24=13824(立方厘米), =13.824立方分米. 答:
这个正方体的体积是13.824立方分米.
3,一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体小块,不许有剩余,这些小正方体的棱长最多是多少分米?
答案:
解:
2.7米=27分米,1.8米=18分米,1.5米=15分米,因为27、18、15的最大公因数是3,所以,小正方体的棱长最多是3分米.
例题5甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?
分析甲跑一圈需要600÷3=200秒,乙跑一圈需要600÷4=150秒,丙跑一圈需要600÷2=300秒。
要使三人再次从出发点一齐出发,经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。
200、150和300的最小公倍数是600,所以,经过600秒后三人又同时从出发点出发。
练习五
1,有一条长400米的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若二人同时同地出发,同向而行,则10分钟后第一次相遇。
已知甲比乙快,求二人的速度。
解:
设甲的速度是每分钟x米,那么乙的速度就是每分钟(400 ÷1 -x)米=(400 -x)米
x -(400 -x)=400 ÷10
x=220 乙的速度是:
400 -220=180(米 /分)故答案为:
220;180
2,一环形跑道长240米,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8米,乙每秒行6米,丙每秒行5米。
至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?
答案:
解:
240÷8=30秒(甲一圈的时间)240÷6=40秒(乙一圈的时间)240÷5=48秒(丙一圈的时间)要同时在出发点,那么最少的时间就是30、40、48的最小公倍数240秒也就是4分钟.
3,甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步,甲每秒跑4米,乙每秒跑5米,丙每秒跑3米。
若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出发?
答案解:
(米)
(秒),
(秒),
(秒),
120、96、160的最小倍数是28800,
答:
至少经过28800秒三人又同时从出发点出发.
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