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数学难题
数学难题
三等分角问题
三等分角问题(trisectionofanangle)是二千四百年前,古希腊人提出的几何三大作图问题之一,即用圆规与直尺把一任意角三等分。
问题的难处在于作图使用工具的限制。
古希腊人要求几何作图只许使用直尺(没有刻度,只能作直线的尺)和圆规。
这问题曾吸引着许多人去研究,但都无一成功。
1837年凡齐尔(1814-1848)运用代数方法证明了,这是一个标尺作图的不可能问题。
在研究”三等分角”的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。
人们还发现,只要放弃”标尺作图”的戒律,三等分角并不是一个很难的问题。
古希腊数学家阿基米得(前287-前212)发现只要在直尺上固定一点,问题就可解决了。
现简介其法如下:
在直尺边缘上添加一点P,命尺端为O。
设所要三等分的角是∠ACB,以C为圆心,OP为半径作半圆交角边于A,B;使O点在CA延在线移动,P点在圆周上移动,当尺通过B时,联OPB(见图)。
由于OP=PC=CB,所以∠COB=∠ACB/3。
这里使用的工具已不限于标尺,而且作图方法也与公设不合。
倍立方体问题
倍立方体问题(problemofduplicationofacube)是二千四百年前古希腊人提出的几何三大作图问题之一。
问题是指求作一立方体使其体积等于已知立方体体积的两倍。
本题难解的原因在于作图工具上有所限制,古希腊人强调几何作图只能用直尺(没有刻度,只能作直线的尺)和圆规。
关于倍立方问题的起源,有两个神话传说。
第一个是属于古希腊著名数学家、天文学家、哲学家埃拉托塞尼(前276-前195)的。
传说由于古希腊提洛岛(Delos,爱琴海上小岛)上瘟疫流行,人们向太阳神第力亚祈祷,据说神要求把它殿前的祭坛的体积扩大一倍,而保持祭台的立方体形状不变。
因此,后人往往称倍立方体问题为提洛问题(Delos'problem)。
由于提洛岛上的居民并没有完成太阳神的”要求”,所以瘟疫也没有消除。
后来人们去向哲学家柏拉图求教,但他却搪塞地回答”上帝大概不满意你们很少研究几何学吧!
”另一个故事说克里特王米诺斯为儿子修墓,命令将原来设计的体积加倍,但仍保持立方的形状。
倍立方体问题的实质就是用标尺作图的方法求作线段3√2,许多数学家为解决这个著名问题而耗费了不少精力,但无一取得成功。
法国数学家笛卡儿就是最早公开申明标尺不能作3√2线段的,1637年他提出一个问题:
非立方有理数的方根一般不能简化为有限次的开平立方运算。
至1837年法国数学家凡齐尔(1814-1848)首次运用了代数的方法严格证明了这个问题是标尺作图不可能的,至此这个才算获得解决。
但由于对它的研究,使人们发现了一些特殊的曲线,如圆锥曲线、蚌线、蔓叶线等,促进了圆锥曲线理论的建立和发展。
人们还发现,只要不受标尺作图工具的约束,倍立方体的问题是可以解决的。
化圆为方问题
化圆为方问题(problemofquadrature ofcircle)是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一,即求作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积。
其难度在于作图使用工具的限制。
古希腊人要求几何作图只许使用直尺(没有刻度,只能作直线的尺)和圆规。
最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯,他因”不敬神”的罪名被捕入狱,在狱中潜心研究化圆为方问题,可惜他的结果失传了。
以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰、希皮亚斯等人。
标尺作图问题曾吸引许多人研究,但无一成功。
化圆为方问题,实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。
1882年法国数学家林德曼(1852-1939)证明了π是超越数,同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。
因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位,则标尺可作的线段长必为代数数。
而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段,但√π并非代数数,故此标尺不可作。
二千年间,尽管对化圆为方问题上的研究没有成功,但却发现了一些特殊曲线。
希腊安提丰(公元前430)为解决此问题而提出的”穷竭法”,是近代极限论的雏形。
大意是指先作圆内接正方形(或正6边形),然后每次将边数加倍,得内接8、16、32、…边形,他相信”最后”的正多边形必与圆周重合,这样就可以化圆为方了。
虽然结论是错误的,但却提供了求圆面积的近似方法,成为阿基米得计算圆周率方法的先导,与中国刘徽的割圆术不谋而合,对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。
其实,若不受标尺的限制,化圆为方问题并非难事,欧洲文艺复兴时代的大师芬兰数学家达芬奇(1452-1519)用已知圆为底,圆半径的1/2为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积,如图,所以所得矩形的面积=r/2.2πr=πr2,然后再将矩形化为等积的正方形即可。
阿基米得群牛问题
公元前3世纪下半叶古希腊科学家阿基米德在论著《群牛问题》中记载了本问题。
原文用诗句写成,大意是:
西西里岛草原上有一大群牛,公牛和母牛各有4种颜色。
设W、X、Y、Z分别表示白、黑、黄、花色的公牛数,w、x、y、z分别表示这白、黑、黄、花色的母牛数。
要求有W=(1/2+1/3)X+Y,X=(1/4+1/5)Z+Y,Z=(1/6+1/7)W+Y,w=(1/3+1/4)(X+x),x=(1/4+1/5)(Z+z),z=(1/5+1/6)(Y+y),y=(1/6+1/7)(W+w),(W+X)为一个正方形(数),(Y+Z)为一个三角数(即m(m+1)/2,m为正数)。
求各种颜色牛的数目。
最后两个条件中的正方形数有两种解释:
一种是W+X=mn,(因为牛的身长与体宽不一样,排成正方形后两个边牛的数目不一样)称为”较简问题”,求解后牛的总数近6万亿,另一种为W+X=n2(长与宽的数目相等),称为”完全问题”。
即使没有最后两个条件,群牛问题的最小正数解也达几百万到上千万。
1880年阿姗托尔提供了一种解答,导致二元二次方程t2-du2=1,因d的值达400多万亿,所以完全问题的最小解中牛的总数已超过20多万位的数。
可见阿基米得当时未必解出过这个问题,而它的叙述与实际也不符。
历史上对这问题的研究丰富了初等数论的内容。
希尔伯特数学问题
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题,称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert'sMathematicalProblems﹞。
内容涉及现代数学大部份重要领域,目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果,结果大大推动了20世纪数学的发展。
该23个问题的简介如下:
1.连续统假设。
2.算术公理体系的兼容性。
3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。
即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。
4.直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5.拓扑群成为李群的条件。
6.物理学各分支的公理化。
7.某些数的无理性与超越性。
8.素数问题。
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9.一般互反律的证明。
10.丢番图方程可解性的判别。
11.一般代数数域的二次型论。
12.类域的构成问题。
具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理域。
13.不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14.证明某类完全函数系的有限性。
15.舒伯特计数演算的严格基础。
16.代数曲线与曲面的拓扑研究。
17.正定形式的平方表示式。
18.由全等多面体构造空间。
19.正则变分问题的解是否一定解析。
20.一般边值问题。
21.具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22.用自守函数将解析关系单值化。
23.发展变分学的方法。
孙子问题
孙子问题﹝SunZi’sproblem﹞记载于中国古代约公元3世纪成书的《孙子算经》内面,是原书卷下第26题:
“今有物不知其数,三三数之剩二;五五数之剩三;七七数之剩二,问物几何?
答曰:
二十三”。
用现代符号表示为N≡2﹝mod3﹞≡3﹝mod5﹞≡2﹝mod7﹞,其最小正数解是23。
《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是:
“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五”。
因此可设N=70×2+21×3+15×2–2×105=23。
原题及其解法中的3、5、7后来叫“定母”,70、21、15叫“乘数”。
但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法,直到1247年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法。
70是5与7最小公倍的2倍,21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。
秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”,求出乘率,就可知乘数。
《数书九章》给出求乘率的方法,称之为“大衍求一术”。
1874年清代数学家黄宗宪发现了求乘率简法,使“求一术”广泛流传。
在西方与《孙子算经》同类的算法最早见于1202年意大利数学家斐波那契的《算盘书》,同样没有证明。
直到1801年,才有与秦九韶“求一术”同类的算法出现于高斯的《算术探究》中。
1852年英国传教士伟烈亚力最早将“大衍求一术”介绍到西方,使中国独特之算法开始为欧洲人所知。
现在一般数论中将满足同余式组数的存在及特性称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。
孙子问题的算法名称很多,宋代周密称为“鬼谷算”、“隔墙算”。
宋代杨辉﹝1275﹞称为“秦王暗点兵”、“剪管术”,明代程大位叫它“物不知总”、“韩信点兵”,并在《算法统宗》﹝1592﹞中将孙子算法编成歌诀:
”三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆整半月,除百零五便得知。
”译成现代汉语便是:
三个人共同走路,其中七十岁以上的老人可能性很小,五棵梅花树总共有二十一枝,七个孩子当正月十五日时在家中团圆,把一百零五的某个倍数减去,就得到答案。
按照这首歌诀,问题的解与上文一致:
x=70×2+21×3+15×2–2×105=23。
推动了该算法的普及。
百鸡问题
本问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张邱建算经》中,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题:
“今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。
凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?
答曰:
鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡雏七十八,值钱二十六。
又答:
鸡翁八,值钱四十;鸡母十一,值钱三十三,鸡雏八十一,值钱二十七。
又答:
鸡翁十二,值钱六十;鸡母四、值钱十二;鸡雏八十四,值钱二十八。
”该问题导致三元不定方程组,其重要之处在于开创”一问多答”的先例,这是过去中国古算书中所没有的。
原书没有给出解法,只说如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。
所以只要得出一组答案,就可以推出其余两组答案。
中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法,只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。
到了清代,研究百鸡术的人渐多,1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。
1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。
在此前后时曰醇(约1870)推广了百鸡问题,作《百鸡术衍》,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。
百鸡问题还有多种表达形式,如百僧吃百馒,百钱买百禽等。
宋代杨辉算书内有类似问题,中古时近东各国也有相仿问题流传。
例如印度算书和阿拉伯学者艾布卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题,且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
莲花问题
莲花问题是指:
”一个高出水面1/4腕尺(一种古时长度单位)的莲(荷)花在距原地2腕尺处正好浸入水中,求莲花的高度和水的深度。
”本题亦称荷花问题(problemoflotusflower)。
原记载于印度古代约公元600年的数学家婆什迦罗第一的着作《阿耶波多历书注释》中。
到12世纪,印度另一位著名数学家婆什迦罗第二在他的名著《丽罗娃提》中重新阐述了这一问题,只将高出水面的1/4尺改为1/2尺,并用歌谣的形式记载下来,使莲花问题成为几何定理应用的典型问题之一。
14世纪印度另一位数学家纳拉亚讷也在著作中记述过类似的问题。
其实在纪元前后成书的《九章算术》,是历史上最早记载这类问题的古算书。
其中第九章题六叙述如下:
”今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。
引葭赴岸,适与岸齐。
问水深、葭长各几何?
”故数学史家为这是中印古文化交流的结果。
中国后来的古算书也有很多类似的题目,如《张邱建算经》(5-6世纪)卷上十三题,《四元玉鉴》(1303)卷中之六,《算法统宗》(1593)卷八等。
其中《四元玉鉴》还是用歌谣体给出的题述。
《九章算术》及后世算书都给出了该题的解法,但中算的“葭生池中”题是勾股定理的应用题,而印度的莲花问题则是圆内相交弦性质的应用题。
此外阿拉伯数学家阿尔卡西在《算术之尺》(1427)中给出类似的“矛立水中”题目。
16世纪英国算书中也有”芦苇立于池中”的类似题目。
斐波那契兔子的问题
问题是指某人有一对兔子饲养在围墙中,如果它们每个月生一对兔子,且新生的兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子,问一年后围墙中共有多少对兔子。
该问题记载于公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》﹝1202﹞1228年的修订本中,并在原书中对此作了分析:
第一个月是最初的一对兔子生下一对兔子,围墙内共有两对兔子。
第二个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子,共有3对兔子。
到第三个月除最初的兔子新生一对兔子外,第一个月生的兔子也开始生兔子,因此共有5对兔子。
继续推下去,第12个月时最终共有对377对兔子。
书中还提出,每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得。
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...{Un+1=Un+Un-1}命名为斐波那契级数,它是一种特殊的线性递归数列,在数学的许多分支中有广泛应用。
1680年意大利──法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式Un+1Un-1-Un2=(-1)n。
1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式
,19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式,现在称为之为比内公式。
1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究斐波那契数列。
合理分配赌注问题
合理分配赌注问题(problemofrationaldivision ofstakes)被认为是概率论的科学起源,一般表述为:
一场赌博因故中断,已知两个赌者当时的赌分及赢得赌博所需点数,求赌金该如何分配。
问题亦称”点的问题”或”得分问题”。
最早于1494年由意大利数学家帕乔利提出,16世纪中期的卡尔达诺和塔尔塔利亚等人也讨论过这类问题。
17世纪中叶法国人梅雷向数学家帕斯卡重提这类问题,引起帕斯卡与另一数学家费马在1654年7月至10月间的通信讨论,数学史上称这些通信为最早的概率论文献。
他们研究的问题有:
两个赌徒各出32个金币,约定先赢三局为胜。
如果其中甲赢了二局,乙赢了一局时中断,赌金如何分配;如果甲赢了二局,乙一局未赢或甲赢了一局,乙一局未赢时,赌金又如何分配。
帕斯卡用纯算术的方法,费马则用组合方法都得到正确解答。
费马区分了独立概率事件和条件概率事件,还讨论了某一赌徒在第一次轮到他掷骰子时不掷让出而应该得到的赌金比例,甚至应用了n重伯努利试验的思想。
帕斯卡则进一步提出了三个赌徒间分配赌金的问题。
1657年荷兰科学家惠更斯在此基础上潜心钻研,写成了《论赌博中的计算》一书,第一次提出数学期望的概念,成为概率论的较早论著。
到1713年雅各布布.伯努利的《猜度术》出版后,概率论已成为数学科学的一个分支了。
费马猜想
费马猜想﹝Fermat'sconjecture﹞又称费马大定理或费马问题,是数论中最著名的世界难题之一。
1637年,法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道:
”将一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂,或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的。
关于此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。
”费马去世后,人们找不到这个猜想的证明,由此激发起许多数学家的兴趣。
欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过,但谁也没有得到普遍的证法。
300多年以来,无数优秀学者为证明这个猜想,付出了巨大精力,同时亦产生出不少重要的数学概念及分支。
若用不定方程来表示,费马大定理即:
当n>2时,不定方程xn+yn=zn没有xyz≠0的整数解。
为了证明这个结果,只需证明方程x4+y4=z4,(x,y)=1和方程xp+yp=zp,(x,y)=(x,z)=(y,z)=1﹝p是一个奇素数﹞均无xyz≠0的整数解。
n=4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。
费马本人证明了p=3的情,但证明不完全。
勒让德﹝1823﹞和狄利克雷﹝1825﹞证明了p=5的情形。
1839年,拉梅证明了p=7的情形。
1847年,德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。
他创立了理想数论,这使得他证明了当p<100时,除了p=37,59,67这三个数以外,费马猜想都成立。
后来他又进行深入研究,证明了对于上述三个数费马猜想也成立。
在近代数学家中,范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。
他从本世纪20年代开始研究费马猜想,首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。
在以后的30余年内,他进行了大量的工作,得到了使费马猜想成立一些充分条件。
他和另外两位数学家共同证明了当p<4002时费马猜想成立。
现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想,使p的数目有很大的推进。
到1977年为止,瓦格斯塔夫证明了p<125000时,费马猜想成立。
《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导,费马猜想近年来取得了惊人的研究成果:
格朗维尤和希思─布龙证明了”对几乎所有的指数,费马大定理成立”。
即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数,则
证明中用到了法尔廷斯﹝Faltings﹞的结果。
另外一个重要结果是:
费马猜想若有反例,即存在x>0,y>0,z>0,n>2,使xn+yn=zn,则x>101,800,000。
经过三百多年来历代数学家的不断努力,剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题。
有兴趣的读者可参考本网页资源中心﹝讲义﹞一栏内”费马最后定理”之数据。
柯尼斯堡七桥问题
18世纪初在普鲁士柯尼斯堡镇(今苏联加里宁格勒)流传一个问题。
这问题是城内一条河的两支流绕过一个岛,有七座桥横跨这两支流。
问一个散步者能否走过每一座桥,而每座桥却只走过一次。
欧拉在1736年圆满地解决了这一问题,证明这种方法并不存在。
他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重要文献。
欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合,每一座桥视为一条线,桥所连接的地区视为点。
这样若从某点出发后最后再回到这点,则这一点的线数必须是偶数。
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全部走一次的判定法则。
如果通奇数座桥的地方不止两个,那么满足要求的路线便不存在了。
如果只有两个地方通奇数座桥,则可从其中任何一地出发找到所要求的路线。
若没有一个地方通奇数座桥,则从任何一地出发,所求的路线都能实现,他还说明了怎样快速找到所要求的路线。
七桥问题引发了网络理论之研究,被认为是拓扑学理论基本应用题,对解决最短邮路等问题很有帮助。
孪生素数猜想
1849年,波林那克提出孪生素生猜想(theconjectureoftwinprimes),即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。
例如3和5,5和7,11和13,…,10016957和10016959等等都是孪生素数。
到1988年为止,人们所知道的最大的孪生素数是260497545x26625?
。
1966年,中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果:
存在无穷多个素数p,使p+2是不超过两个素数之积。
孪生素数猜想至今仍未解决,但一般人都认为是正确的。
四色问题
英国人格思里于1852年提出四色问题(fourcolourproblem,亦称四色猜想),即在为一平面或一球面的地图着色时,假定每一个国家在地图上是一个连通域,并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色,问是否只要四种颜色就可完成着色。
1878年英国数学家凯莱重新提出这问题,引起人们关注。
次年,英国数学家肯普提出用可约构形证明四色问题,虽然他的证明过程有漏洞,但为该问题的解决指出方向。
1890年英国人希伍德沿着这方向证明了任何地图只用五种颜色着色便够了,取得初步进展。
1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。
1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色,推进了四色问题的研究。
70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集,因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。
1976年美国数学家哈肯和阿佩尔花了1200多小时的电子计算器工作时间,找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集,因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。
后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。
四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。
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