二次函数压轴题最短路径问题.docx

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二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小

【方法说明】

“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l上找一点P使得PA＋PB最小．当点P为直线AB′与直线l的交点时，PA＋PB最小．

【方法归纳】

①如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小．过点A作AB⊥l，垂足为B，则线段AB即为所求．

②如图所示，在直线l上找一点P使得PA＋PB最小．过点B作关于直线l的对称点B′，BB′与直线l交于点P，此时PA＋PB最小，则点P即为所求．

③如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点C，D使得PC＋CD＋PD最小．过点P分别作关于AO，BO的对称点E，F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PC＋CD＋PD最小，则点C，D即为所求．

④如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点E，F使得DE＋EF＋CF最小．分别过点C，D作关于AO，BO的对称点D′，C′，连接D′C′，并与AO，BO分别交于点E，F，此时DE＋EF＋CF最小，则点E，F即为所求．

⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC＋BD最小的CD的位置．分别过点A，D作AA′∥CD，DA′∥AC，AA′与DA′交于点A′，再作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′与直线l交于点D′，此时点D′即为所求．

⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线（y＝x2）上的一点，点A（0，1）在y轴正半轴．点P在什么位置时PA＋PB最小？

过点B作直线l：

y＝－1的垂线段BH′，BH′与抛物线交于点P′，此时PA＋PB最小，则点P即为所求．

【典型例题】

1．（13广东）已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？

若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；

（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．

【解题过程】

解：

（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：

m2－1＝0，解得：

m＝±1，

∴二次函数的解析式为：

y＝x2－2x或y＝x2＋2x；

（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：

y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，

∴抛物线的顶点为：

D（2，－1），

当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：

（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；

（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，

【方法一】

∵C（0，3）、D（2，－1），

设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：

2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，

当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：

P（，0）．

【方法二】

过点D作DE⊥y轴于点E，

∵PO∥DE，∴＝，∴＝，解得：

PO＝，

∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：

P（，0）．

2．（11菏泽）如图，抛物线y＝x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

【思路点拨】

（1）把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；

（2）观察发现△ABC是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B，C的坐标，再得出AB，AC，BC的长度，易得AC2＋BC2＝AB2，得出△ABC是直角三角形；

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，连接C'D交x轴于点M，根据“两点之间，线段最短”可知MC＋MD的值最小．求出直线C'D的解析式，即可得出点M的坐标，进而求出m的值．

【解题过程】

解：

（1）∵点A（－1，0）在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴×（－1）2＋b×（－1）－2＝0，解得b＝－，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2＝（x－）2－，∴顶点D的坐标为（，－）．

（2）当x＝0时y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2．

当y＝0时，x2－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．

∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2．

∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2，

连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．

【方法一】

设直线C′D的解析式为y＝kx＋n，则，解得：

．∴y＝－x＋2．

∴当y＝0时，－x＋2＝0，x＝．∴m＝．

【方法二】

设抛物线的对称轴交x轴于点E．

∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM，∴△C′OM∽△DEM．

∴＝，∴＝，∴m＝．

3．（11福州）已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：

y＝x＋对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．

【思路点拨】

（1）二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一个未知参数a，令y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），即可得到点A，B的坐标．把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；

（2）根据点H、B关于过A点的直线l：

y＝x＋对称，得出AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，得AC＝AB＝2，利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；

（3）直线BK∥AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标．因为点H，B关于直线AK对称，所以HN＝BN，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN＋MN的最小值是MB．作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，所以QM＝KM，易得BM＋MK的最小值为BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，求出QB的长即可．

【解题过程】

解：

（1）依题意，得ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），解得x1＝﹣3，x2＝1，

∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），

∵直线l：

y＝x＋，当x＝﹣3时，y＝×（－3）＋＝0，∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：

y＝x＋对称，∴AH＝AB＝4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC＝AB＝2，HC＝2，

∴顶点H（－1，2），代入二次函数解析式，解得a＝－，

∴二次函数解析式为y＝－x2－x＋，

（3）直线AH的解析式为y＝x＋3，直线BK的解析式为y＝x＋3，

由

，解得，即K（3，2），则BK＝4，

∵点H、B关于直线AK对称，

∴HN＋MN的最小值是MB，KD＝KE＝2，

过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM＝MK，QE＝EK＝2，AE⊥QK，

∴BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，

∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝8，

∴HN＋NM＋MK的最小值为8．

4．（14海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a＋1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？

请说明理由．

【思路点拨】

（1）由对称轴为直线x＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y＝a（x－2）2＋k，再把点A，B的代入即可求出抛物线的解析式；

（2）求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P作PN⊥y轴于点N，由S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME即可得出；

（3）四边形PMEF的四条边中，线段PM，EF长度固定，当ME＋PF取最小值时，四边形PMEF的周长取得最小值．将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得到点M1（1，1），作点M1关于x轴的对称点M2（1，－1），连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．

【解题过程】

解：

（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x－2）2＋k．

将A（－1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．

（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，－x2＋4x＋5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，

∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．

S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝（PN＋OF）•ON－PN•MN－OM•OE

＝（x＋2）（－x2＋4x＋5）－x•（－x2＋4x＋4）－×1×1

＝－x2＋x＋

＝－（x－）2＋

∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．

令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2＋，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，

因此只要ME＋PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，－1）；

连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．

设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P（2＋，3），M2（1，－1）代入得：

，解得：

m＝，n＝，∴y＝x－．

当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a＋1＝，∴a＝．

∴a＝时，四边形PMEF周长最小．

图1图2

2．（14福州）如图，抛物线y＝（x3）21与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了．

（1）求点A，B，D的坐标；

（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD．求证：

∠AEO＝∠ADC；

（3）以

（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

【思路点拨】

（1）由顶点式直接得出点D的坐标，再令y＝0，得（x3）21＝0解出方程，即可得出点A，B的坐标；

（2）设HD与AE相交于点F，可以发现△HEF与△ADF组成一个“8字型”．对顶角∠HFE＝∠AFD，只要∠FHE＝∠FAD即可．因为∠EHF＝90°，只需证明∠EAD＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE为直角三角形，得∠FHE＝∠FAD＝90°即可得出结论；

（3）先画出图形．因为PQ为⊙E的切线，所以△PEQ为直角三角形，半径EQ长度不变，当斜边PE最小时，PQ的长度最小．设出点P的坐标，然后表示出PE，求出PE的最小值，得到点P的坐标，再求出点Q的坐标即可．

【解题过程】

解：

（1）顶点D的坐标为（3，1）．令y＝0，得（x3）21＝0，解得x1＝3＋，x2＝3．

∵点A在点B的左侧，∴A点坐标（3，0），B点坐标（3，0）．

（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G．则G（0，1），GD＝3．令x＝0，则y＝，∴C点坐标为（0，）．

∴GC＝

（1）＝．设对称轴交x轴于点M．∵OE⊥CD，∴∠GCD＋∠COH＝90．

∵∠MOE＋∠COH＝90，∴∠MOE＝∠GCD．又∵∠CGD＝∠OMN＝90，∴△DCG∽△EOM．

∴＝，即＝．∴EM＝2，即点E坐标为（3，2），ED＝3．

由勾股定理，得AE2＝6，AD2＝3，∴AE2＋AD2＝6＋3＝9＝ED2．

∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90．

设AE交CD于点F．∴∠ADC＋∠AFD＝90．又∵∠AEO＋∠HFE＝90，

∴∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC．

（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2＝EP2－1．

要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．

设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2＝（x－3）2＋（y－2）2．

∵y＝（x－3）2－1，∴（x－3）2＝2y＋2．∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝（y－1）2＋5．

当y＝1时，EP2最小值为5．把y＝1代入y＝（x－3）2－1，得（x－3）21＝1，解得x1＝1，x2＝5．

又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去．∴点P坐标为（5，1）．

此时Q点坐标为（3，1）或（，）．

6．（14遂宁）已知：

直线l：

y＝﹣2，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：

PO＝PQ．

（3）请你参考

（2）中结论解决下列问题：

（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y＝ax2＋bx＋c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：

ON⊥OM．

（ii）已知：

如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）因为抛物线的对称轴是y轴，所以b＝0，再代入点（0，﹣1），（2，0）即可求出抛物线的解析式；

（2）由

（1）设出P的坐标，分别表示出PE，PQ的长度，即可得出结论；

（3）（i）因为BN∥AM，所以∠ABN＋∠BAM＝180°．由

（2）的结论可得BO＝BN，AO＝AM，可得出∠BON＝∠BNO，∠AOM＝∠AMO，易得∠BON＋∠AOM＝90°再得到∠MON＝90°即可；

（ii）如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由

（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．

【解题过程】

解：

（1）由题意，得，解得：

，∴抛物线的解析式为：

y＝x2－1；

（2）如图①，设P（a，a2﹣1），就有OE＝a，PE＝a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ＝2，∴QP＝a2＋1．

在Rt△POE中，由勾股定理，得PO＝＝a2＋1，∴PO＝PQ；

（3）（i）如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN＝BO，AM＝AO，BN∥AM，

∴∠BNO＝∠BON，∠AOM＝∠AMO，∠ABN＋∠BAM＝180°．

∵∠BNO＋∠BON＋∠NBO＝180°，∠AOM＋∠AMO＋∠OAM＝180°，

∴∠BNO＋∠BON＋∠NBO＋∠AOM＋∠AMO＋∠OAM＝360°，∴2∠BON＋2∠AOM＝180°，

∴∠BON＋∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴ON⊥OM；

（ii）如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，

∴∠EGH＝∠GHF′＝∠F′EG＝90°，FO＝FG，F′H＝F′O，

∴四边形GHF′E是矩形，FO＋FD＝FG＋FD＝DG，F′O＋F′D＝F′H＋F′D，∴EG＝F′H，∴DE＜DF′，

∴DE＋GE＜HF′＋DF′，∴DG＜F′O＋DF′，∴FO＋FD＜F′O＋DF′，∴F是所求作的点．

∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，）．

【举一反三】

1．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．

（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．

2．（13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移

（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前

（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？

若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；

（3）在

（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

【参考答案】

1．解：

（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，得

，解得a＝﹣，b＝1，c＝0，∴解析式为y＝﹣x2＋x．

（2）由y＝﹣x2＋x＝﹣（x﹣1）2＋，

可得抛物线的对称轴为x＝1，并且对称轴垂直平分线段OB，∴OM＝BM，

∴OM＋AM＝BM＋AM，连接AB交直线x＝1于M点，则此时OM＋AM最小，

过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB＝＝＝4，

∴OM＋AM最小值为4．

2．解：

（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，－1），C的坐标为（4，3），

∴点B的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A（0，－1），B（4，－1）两点，

∴，解得：

b＝2，c＝－1，

∴抛物线的函数表达式为：

y＝－x2＋2x－1．

（2）（i）∵A（0，－1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：

y＝x－1．

设平移前抛物线的顶点为P0，则由

（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．

∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m－1），

则平移后抛物线的函数表达式为：

y＝－（x－m）2＋m－1．

解方程组：

，解得，，

∴P（m，m－1），Q（m－2，m－3）．

过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则

PE＝m－（m－2）＝2，QF＝（m－1）－（m－3）＝2．∴PQ＝2＝AP0．

若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：

点M到PQ的距离为2（即为PQ的长）．

由A（0，－1），B（4，－1），P0（2，1）可知，

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0＝2．

如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y＝－x2＋2x－1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l1的解析式为：

y＝x＋b1，∵B（4，－1），∴－1＝4＋b1，解得b＝＝－5，

∴直线l1的解析式为：

y＝x－5．解方程组，得：

，，

∴M1（4，－1），M2（－2，－7）．

②当PQ为斜边时：

MP＝MQ＝2，可求得点M到PQ的距离为2．

如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，－1）．

由A（0，－1），F（2，－1），P0（2，1）可知：

△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为2．

过点F作直线l2∥AC，交抛物线y＝－x2＋2x－1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l2的解析式为：

y＝x＋b2，

∵F（2，－1），∴－1＝2＋b2，解得b2＝－3，∴直线l2的解析式为：

y＝x－3．

解方程组，得：

，，

∴M3（1＋，－2＋），M4（1－，－2－）．

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（4，－1），M2（－2，－7），M3（1＋，－2＋），M4（1－，－2－）．

（ii）存在最大值．理由如下：

由i）知PQ＝2为定值，则当NP＋BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ＝B′Q．

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN＝PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP＝FQ．

∴NP＋BQ＝FQ＋B′Q≥FB′＝＝2．

∴当B′、Q、F三点共线时，NP＋BQ最小，最小值为2．∴的最大值为＝．

3．解：

（1）设抛物线的解析式：

y＝ax2，∵拋物线经过点B（﹣4，4），∴4＝a•42，解得a＝，

所以抛物线的解析式为：

y＝x2；

过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，

∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，∴OD＝AD＋OA＝5，∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，

∵点P在抛物线y＝x2上，∴b＝a2，∴d1＝a2，

∵AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝a2﹣1，PF＝a，

在Rt△PAF中，PA＝d2＝＝＝a2＋1，∴d2＝d1＋1；

（3）由

（1）得AC＝5，∴△PAC的周长＝PC＋PA＋5＝PC＋PH＋6，

要使PC＋PH最小，则C、P、H三点共线，

∴此时P点的横坐标为3，把x＝3代入y＝x2，得到y＝，

即P点坐标为（3，），此时PC＋PH＝5，∴△PAC的周长的最小值＝5＋6＝11．