北师大版初中数学定理公式汇编.docx

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北师大版初中数学定理公式汇编

初中数学定理、公式汇编

第一篇数与代数

第一节数与式

一、实数

1.实数的分类：

整数（包括:

正整数、0、负整数）和分数（包括:

有限小数和无限环循小数）都是有理数.如:

－3,

0.231,0.737373…,

等；无限不环循小数叫做无理数.如:

π,

0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）等.有理数和无理数统称为实数.

2.数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

实数和数轴上的点一一对应。

3.绝对值：

在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

如:

丨－

_丨=

；丨3.14－π丨=π－3.14.

4.相反数：

符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

5.有效数字：

一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:

0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.

6.科学记数法：

把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a<10,n是整数）,这种记数法叫做科学记数法.如:

407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

7.大小比较：

正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。

8.数的乘方：

求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。

9.平方根：

一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．

10．开平方：

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

11．算术平方根：

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．

12．立方根：

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．

13．开立方：

求一个数a的立方根的运算叫做开立方．

14．平方根易错点：

（1）平方根与算术平方根不分，如64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；

（2）

的平方根是士

，误认为

平方根为士2，应知道

=2．

15.二次根式：

（1）定义:

式子叫做二次根式.

16．二次根式的化简：

17．最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数的因式是整式或整数；

（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．

18．同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

19．二次根式的乘法、除法公式

20．.二次根式运算注意事项：

（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：

①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．

（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．

21．有理数加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．

22．有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数．

23．有理数乘法法则：

两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．

24．有理数除法法则：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．

25．有理数的混合运算法则：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．

二.代数式：

（1）用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独一个数或一个字母也是代数式。

（2）同类项：

是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

合并同类项的法则：

系数相加作系数，字母和字母的指数不变。

三.整式

1.幂的运算性质：

①同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

（m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

（a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

（n为正整数）；④零指数：

（a≠0）；⑤负整数指数：

（a≠0，n为正整数）；

2.整式的乘除法:

①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.

②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

③多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.

④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

⑤平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即

；

⑥完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即

3．分解因式：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

4．分解因式的方法：

⑴提公团式法：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：

公式

；

5．分解因式的步骤：

分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

6．分解因式时常见的思维误区：

⑴提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．

⑵提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉．

⑶分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

四.分式

1．分式：

整式A除以整式B，可以表示成

的形式，如果除式B中含有字母，那么称

为分式．

注：

（1）若B≠0，则

有意义；

（2）若B=0，则

无意义；

（2）若A=0且B≠0，则

=0

2．分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

3．约分：

把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

5．分式的加减法法则：

（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．

6．分式的乘除法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．

7．通分注意事项：

（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；

（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，

第二节方程与不等式

一、一元一次方程

1．方程：

含有未知数的等式叫方程．

2．一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程．一般形式：

ax＋b=0（a≠0）

3．解一元一次方程的一般步骤：

去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为一。

二、二元一次方程（组）

1．二元一次方程：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程组：

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．

3．二元一次方程组的解：

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．

4．二元一次方程组的解法．

（1）代人消元法：

解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中

的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．

（2）加减消元法：

通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．

三、分式方程

1．分式方程：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2.解分式方程的步骤:

①去分母,化为整式方程;②解整式方程;③验根;④下结论.

3．分式方程的增根问题：

⑴增根的产生：

分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵验根：

因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

四、一元二次方程

1．一元二次方程：

只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：

ax2＋bx+c=0（a≠0）

2．一元二次方程的解法：

⑴配方法：

配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：

ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为（x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．

⑵公式法：

公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是

（b2－4ac≥0）

⑶因式分解法：

用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：

①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

3．一元二次方程的注意事项：

⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．

⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：

①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．

⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）

⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：

开平方法→因式分解法→公式法．

五、一元一次不等式（组）

1．不等式：

用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．

2．不等式的基本性质：

（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

4．不等式的解集：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．

5．解不等式：

求不等式解集的过程叫做解不等式．

6．一元一次不等式：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．

7．解一元一次不等式易错点：

（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；

（2）在不等式两边不能同时乘以0．

8．解一元一次不等式的步骤：

①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1

9．求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解．

10．一元一次不等式组：

关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

11．一元一次不等式组的解集：

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．

12．解不等式组：

求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．

13．不等式组的分类及解集（a＜b）．

14．解一元一次不等式组的步骤：

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。

第三节函数

一.平面直角坐标系

1．平面直角坐标系：

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．

（2）象限:

二.一次函数

1．一次函数：

若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．

2．一次函数的图象：

一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）,（－

，0）的一条直线，正比例函数y=kx的图象原点（0，0）的一条直线，如下表所示．

3.一次函数的图象和性质:

y=kx+b（k、b为常数k≠0）的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标）.当k>0时,y随x的增大而增大（直线从左向右上升）;当k<0时,y随x的增大而减小（直线从左向右下降）.特别:

当b=0时,y=kx_又叫做正比例函数（y与x成正比例）,图象必过原点；一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移的到一条直线,

三.反比例函数

1.定义:

________________________________________________________的函数成为反比例函数

2.图象和性质:

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=

具有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

四.二次函数

1.定义:

一般形如y=ax2+bx+c（abc常数且a≠0）的函数称为二次函数。

2.图象和性质:

函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴的抛物线；

①开口方向：

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；

②对称轴：

过点（

且平行于y轴的直线；③顶点坐标（

；

④增减性：

当a>0时，如果

，则y随x的增大而减小，如果

，则y随x的增大而增大；当a<0时，如果

，则y随x的增大而增大，如果

，则y随x的增大而减小；

3．图象的平移：

将二次函数y=ax2（a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2＋k的图象．

⑴将y=ax2的图象向上（c＞0）或向下（c<0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c）

形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑵将y=ax2的图象向左（m>0）或向右（m<0）平移|m|个单位，即可得到y=a（x+m）2的图象．其顶点是（-m，0），对称轴是过点（-m，0）且平行于y轴的直线（直线x=-m），形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑶将y=ax2的图象向左（m>0）或向右（m<0）平移|m|个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位，

即可得到y=a（x+m）2+k的图象，其顶点是（-m，k），对称轴是过点（-m，k）且平行于y轴的直线（直线x=-m），形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

4.二次函数的图象与一元二次方程的根的关系:

（1）一元二次方程

就是二次函数

当函数y的值为0时的情况．

（2）当二次函数

的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程

有两个不相等的实数根；当二次函数

的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程

没有实数根．

第二篇空间与图形

第一节图形的认识

一、点线面

二、角

1.角平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。

三、相交线与平行线

1.余角、补角、对顶角（相交）的性质：

同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等。

2.垂直

（1）垂线的性质：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

（2）线段垂直平分线定义：

过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；

（3）线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；

3.平行

（1）平行线的定义：

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；

（2）平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补

（3）平行线的判定：

①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；

（4）平行的性质：

经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。

四、三角形

1.三角形的有关概念。

2.三角形的有关性质：

①三角形的三边关系：

三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②三角形的内角和定理：

三角形的三个内角的和等于

；

③三角形的外角和定理：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；

④三角形的三条角平分线交于一点（内心）；

⑤三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；

⑥三角形中位线定理：

三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

3.全等三角形

（1）定义：

两个能够重合的三角形是全等三角形。

（2）性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（3）三角形全等的条件：

边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）；边边边（SSS）；斜边、直角边（HL）

4.等腰三角形

（1）等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

（2）等腰三角形的判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；

5.直角三角形

（1）直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中

角所对的直角边等于斜边的一半；

（2）直角三角形的判定：

①有两个角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系

，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

6.三角函数：

在Rt△ABC中，∠C=

，SinA=

，cosA=

tanA=

；sinA=cosB;00.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小.

特殊角的三角函数值：

Sinα

Cosα

tanα

1

五、四边形

1.多边形

（1）多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于

（n≥3，n是正整数）；

（2）多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和等于

。

2．平行四边形

平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等角相等和直线平行的根据之一．

（1）平行四边形的定义。

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）两条平行线间的距离：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

（3）平行四边形的性质：

平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．

（4）平行四边形的判定：

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

2两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

4对角线互相平分的四边形是平行四边形．

3.矩形

（1）定义:

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

（2）矩形的性质：

（除具有平行四边形所有性质外）①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；

（3）矩形的判定：

①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；

4.菱形

（1）定义:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）菱形的性质：

（除具有平行四边形所有性质外）①菱形的四边相等；

②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的判定：

①四边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

5.正方形

（1）定义:

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

.

（2）正方形的性质：

①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

（3）正方形的判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

6.等腰梯形

（1）等腰梯形的性质:

①等腰梯形同一底边上的两个内角相等②等腰梯形的两条对角线相等。

（2）等腰梯形的判定：

①同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；*②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

六、圆

1.圆有关的概念:

（1）圆：

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．

（2）圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角．

（3）圆周角：

顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．

（4）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

（5）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2.圆的有关的性质：

（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；

（2）垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（3）圆心角定理：

圆心角的度数等于它所对弧的度数；

（4）圆心角与圆周角的关系:

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．

（5）圆内接四边形:

顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补.

（6）圆周角定理：

直径所对的圆周角是直角，反过来，

的圆周角所对的弦是直径；

（7）切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

（8）切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径；

（9）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；

3．三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：