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文科高考导数练习题
导数高中数学组卷 (附参考答案)
一.选择题(共 22 小题)
1.(2015•绵阳模拟)设函数 f(x)=ax3+3bx(a,b 为实数,a<0,b>0),当 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],则
b 的最大值是()
A.B.C.D.
2.(2015•红河州一模)若函数 f(x)= x3+x2﹣ 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是()
A.[﹣5,0)B.(﹣5,0)C.[﹣3,0)D.(﹣3,0)
3.(2015•开封模拟)函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是()
A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,2)C.[0,+∞)D.(2,+∞)
4.(2015•泸州模拟)设函数 f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f
(1))处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直,则直线
l 与坐标轴围成的三角形的面积为()
A.1
B.3 C.9
D.12
5.(2014•郑州一模)已知曲线
的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( )
A.3
B.2
C.1
D.
6.(2014•郑州模拟)曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.(2014•西藏一模)已知曲线
的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( )
A.1B.2
C.3
D.4
8.(2014•广西)曲线 y=xex﹣ 在点(1,1)处切线的斜率等于()
A.2eB.e
C.2
D.1
9.(2014•武汉模拟)若函数 f(x)=x2+ax+
是增函数,则 a 的取值范围是( )
A.[﹣1,0]B.[﹣1,∞]
C.[0,3]
D.[3,+∞]
10.(2014•包头一模)已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=()
A.﹣2 或 2B.﹣9 或 3C.﹣1 或 1D.﹣3 或 1
11.(2014•郑州模拟)已知 f(x)=x2+2xf′
(1),则 f′(0)等于()
A.0B.﹣4C.﹣2D.2
12.(2014•江西二模)已知函数 f(x)=x2+f′
(2)(lnx﹣x),则 f′
(1)=()
A.1
B.2 C.3
D.4
13.(2014•上海二模)已知 f(x)=(2x+1)3﹣
A.4B.5C.﹣2
+3a,若 f′(﹣1)=8,则 f(﹣1)=( )
D.﹣3
14.(2014•菏泽一模)已知函数 f(x)=x2﹣cosx,则 f(0.6),f(0),f(﹣0.5)的大小关系是()
A.(0)<(﹣0.5) .f(0)<f(0.6) .f(0.6)<f(﹣D.(﹣0.5)<(0)
<f(0.6)<f(﹣0.5)0.5)<f(0)<f(0.6)
15.(2014•呼伦贝尔一模)若函数 f(x)= x3﹣ ax2+(a﹣1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)
为增函数,则实数 a 的取值范围是()
A.(﹣∞,2]B.[5,7]C.[4,6]
D.(﹣∞,5]∪[7,
+∞)
16.(2014•福建模拟)函数 f(x)=﹣x3+3x2﹣4 的单调递增区间是()
A.(﹣∞,0)B.(﹣2,0)C.(0,2)D.(2,+∞)
17.(2014•佛山二模)已知函数 f(x)=x2﹣cosx,x∈R,则()
ff
>f(﹣
) >f(﹣ ) >f( ) )>f
(1)
18.(2014•江西模拟)已知 m 是区间[0,4]内任取的一个数,那么函数 f(x)= x3﹣2x2+m2x+3 在 x∈R 上是增函
数的概率是()
A.B.
C. D.
19.(2014•宁德模拟)函数 f(x)=x﹣sinx 是()
A.奇函数且单调 B.奇函数且单调
递增递减
C.偶函数且单调 D.偶函数且单调
递增递减
20.(2014•梧州模拟)已知 f(x)=﹣x3+ax 在(﹣∞,﹣1]上单调递减,则 a 的取值范围是()
A.(﹣∞,1]B.[1,+∞)C.(﹣∞,3]D.[3,+∞)
21.(2014•揭阳模拟)关于函数 f(x)=x3﹣3x+1,下列说法正确的是()
A.f(x)是奇函数
且 x=﹣1 处取得
极小值
B.f(x)是奇函数
且 x=1 处取得极
小值
C.f(x)是非奇非
偶函数且 x=﹣1
处取得极小值
D.f(x)是非奇非
偶函数且 x=1 处
取得极小值
22.(2014•贵州模拟)函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 ,则()
A.a﹣2b=0B.2a﹣b=0C.2a+b=0
D.a+2b=0
二.填空题(共 2 小题)
23.(2015•广东模拟)函数 f(x)=xlnx 在点(e,f(e))处的切线方程为_________.
24. 2015•赤峰模拟)已知 f(x)=x3﹣3x2+2x+a,若 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n,则 m+n=_________.
三.解答题(共 6 小题)
25.(2015•路南区二模)已知函数 f(x)=ax2﹣ex(a∈R)
(Ⅰ)当 a=1 时,判断函数 f(x)的单调区间并给予证明;
(Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),证明:
﹣ <f(x1)<﹣1.
26.(2015•汕尾模拟)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的极值点为 x=﹣ 和 x=1
(1)求 b,c 的值与 f(x)的单调区间
(2)当 x∈[﹣1,2]时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
27.(2015•南昌模拟)函数 f(x)=x﹣alnx﹣2.
(Ⅰ)求 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)a=1 时,不等式 f(x)+(b+1)f′(x)<x﹣1 对 x>1 恒成立,求正整数 b 的取值集合.
28.(2015•安徽一模)已知函数 f(x)=b+(1﹣2a)x+x2﹣x3.
(I)讨论 f(x)在其定义域上的单调性;
(II)设曲线 y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为 y=4x﹣1,求函数 f(x)在定义域上的极小值.
29.(2015•重庆一模)已知函数
(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值;
(2)若 f(x)在区间
上是增函数,求实数 a 的取值范围.
30.(2014•广西)函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.
导数高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 22 小题)
1.(2015•绵阳模拟)设函数 f(x)=ax3+3bx(a,b 为实数,a<0,b>0),当 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],则
b 的最大值是()
A.
考点:
专题:
分析:
解答:
B. C. D.
利用导数求闭区间上函数的最值.
计算题.
求导数,利用函数的单调性,结合 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],即可 b 的最大值.
解:
∵f(x)=ax3+3bx,∴f′(x)=3ax2+3b
令 f′(x)=0,可得 x=
,
①
≥1,则 f(x)max=f
(1)=1,∴b∈(0, ];
②0<
<1,f(x)max=f(
)=1,f
(1)≥0,∴b∈( , ].
∴b 的最大值是
.
故选:
C.
点评:
本题考查导数知识的运用,考查函数的值域,考查学生的计算能力,属于中档题.
2.(2015•红河州一模)若函数 f(x)= x3+x2﹣ 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是()
A.[﹣5,0)B.(﹣5,0) C. [ ﹣3,0)D. (﹣3,0)
考点:
利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:
计算题;作图题;导数的综合应用.
分析:
由题意,求导 f′(x)=x2+2x=x(x+2)确定函数的单调性,从而作出函数的简图,由图象求实数 a
的取值范围.
解答:
解:
由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),
故 f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上是增函数,
在(﹣2,0)上是减函数,
作其图象如右图,
令 x3+x2﹣ =﹣ 得,
x=0 或 x=﹣3;
则结合图象可知,
;
解得,a∈[﹣3,0);
故选 C.
点评:
本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力,属于中档题.
3.(2015•开封模拟)函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是()
A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,2) C. [0 ,+∞)D. (2,+∞)
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
导数的概念及应用.
分析:
问题等价于 f′(x)=2 在(0,+∞)上有解,分离出参数 a,转化为求函数值域问题即可.
解答:
解:
函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,即 f′(x)=2 在(0,+∞)上有解,
而 f′(x)= +a,即 +a=2 在(0,+∞)上有解,a=2﹣ ,因为 x>0,所以 2﹣ <2,
所以 a 的取值范围是(﹣∞,2).
故选 B.
点评:
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题,注意体会转化思想在本题中的应用.
4.(2015•泸州模拟)设函数 f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f
(1))处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直,则直线
l 与坐标轴围成的三角形的面积为()
A.1B.3C.9D. 12
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
导数的综合应用.
分析:
求出原函数的导函数,得到 f
(1)=3a+3,由 3a+3=﹣6 求得 a 的值,代入原函数解析式,求出
(1),
由直线方程的点斜式得到 l 的方程,求出其在两坐标轴上的截距,由三角形的面积公式得答案.
解答:
解:
由 f(x)=ax3+3x,得
f′(x)=3ax2+3,f′
(1)=3a+3.
∵函数 f(x)=ax3+3x 在点(1,f
(1))处的切线 l 与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直,
∴3a+3=﹣6,解得 a=﹣3.
∴f(x)=﹣3x3+3x,
则 f
(1)=﹣3+3=0.
∴切线方程为 y=﹣6(x﹣1),
即 6x+y﹣6=0.
取 x=0,得 y=6,取 y=0,得 x=1.
∴直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选:
B.
点评:
本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函数在该
点处的导数值,是中档题.
5.(2014•郑州一模)已知曲线
的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( )
A.
3 B.
2 C. 1 D.
考点:
分析:
解答:
∵曲线
导数的几何意义.
根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间.
解:
设切点的横坐标为(x0,y0)
的一条切线的斜率为 ,
∴y′=﹣= ,解得 x0=3 或 x0=﹣2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为 3
故选 A.
点评:
考查导数的几何意义,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比如,该题的
定义域为{x>0}.
6.(2014•郑州模拟)曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.
考点:
专题:
B.
导数的几何意义.
压轴题.
C.
D.
分析:
(1)首先利用导数的几何意义,求出曲线在 P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程;
(2)
利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公式求出面积.
解答:
解:
若 y= x3+x,则 y′|x=1=2,即曲线
在点 处的切线方程是 ,
它与坐标轴的交点是( ,0),(0,﹣ ),围成的三角形面积为 ,故选 A.
点评:
函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,
过点 P 的切线方程为:
y﹣y0=f′(x0)(x﹣x0)
7.(2014•西藏一模)已知曲线
的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( )
A.
1 B.
2 C. 3 D. 4
考点:
分析:
解答:
导数的几何意义.
利用导数的几何意义,列出关于斜率的等式,进而得到切点横坐标.
解:
已知曲线 的一条切线的斜率为 ,∵ = ,
∴x=1,则切点的横坐标为 1,
故选 A.
点评:
函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率.应
熟练掌握斜率与导数的关系.
8.(2014•广西)曲线 y=xex﹣1 在点(1,1)处切线的斜率等于()
A.2e B.eC.2D. 1
考点:
导数的几何意义.
专题:
导数的概念及应用.
分析:
求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.
解答:
解:
函数的导数为 f′(x)=ex﹣1+xex﹣1=(1+x)ex﹣1,
当 x=1 时,f′
(1)=2,
即曲线 y=xex﹣1 在点(1,1)处切线的斜率 k=f′
(1)=2,
故选:
C.
点评:
本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.
9.(2014•武汉模拟)若函数 f(x)=x2+ax+
是增函数,则 a 的取值范围是( )
A.
考点:
专题:
[﹣1,0] B.
利用导数研究函数的单调性.
导数的综合应用.
[﹣1,∞] C. [0 ,3] D. [3,+∞]
分析:
由函数 在( ,+∞)上是增函数,可得
≥0 在( ,+∞)
上恒成立,进而可转化为 a≥
a 的取值范围.
﹣2x 在( ,+∞)上恒成立,构造函数求出
﹣2x 在( ,+∞)上的最值,可得
解答:
故
即 a≥
解:
∵ 在( ,+∞)上是增函数
≥0 在( ,+∞)上恒成立
﹣2x 在( ,+∞)上恒成立
令 h(x)=
则 h′(x)=﹣
﹣2x,
﹣2
当 x∈( ,+∞)时,h′(x)<0,则 h(x)为减函数
∴h(x)<h( )=3
∴a≥3
故选 D
点评:
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档.
10.(2014•包头一模)已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=()
A.﹣2 或 2B.﹣9 或 3 C. ﹣1 或 1 D. ﹣3 或 1
考点:
利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系.
专题:
计算题.
分析:
求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公
共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值.
解答:
解:
求导函数可得 y′=3(x+1)(x﹣1)
令 y′>0,可得 x>1 或 x<﹣1;令 y′<0,可得﹣1<x<1;
∴函数在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调增,(﹣1,1)上单调减
∴函数在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值
∵函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点
∴极大值等于 0 或极小值等于 0
∴1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0
∴c=﹣2 或 2
故选 A.
点评:
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于0 或极小值等
于 0.
11.(2014•郑州模拟)已知 f(x)=x2+2xf′
(1),则 f′(0)等于()
A.0B.﹣4C.﹣2D. 2
考点:
导数的运算.
专题:
导数的概念及应用.
分析:
把给出的函数求导得其导函数,在导函数解析式中取 x=1 可求 2f′
(1)的值.
解答:
解:
由 f(x)=x2+2xf′
(1),
得:
f′(x)=2x+2f′
(1),
取 x=1 得:
f′
(1)=2×1+2f′
(1),
所以,f′
(1)=﹣2.
故 f′(0)=2f′
(1)=﹣4,
故答案为:
B.
点评:
本题考查了导数运算,解答此题的关键是理解原函数解析式中的 f′
(1),在这里 f′
(1)只是一个常
数,此题是基础题.
12.(2014•江西二模)已知函数 f(x)=x2+f′
(2)(lnx﹣x),则 f′
(1)=()
A.1B.2C.3D. 4
考点:
导数的运算.
专题:
导数的概念及应用.
分析:
f′
(2)是一个常数,对函数 f(x)求导,能直接求出 f′
(1)的值.
解答:
解:
∵f(x)=x2+f′
(2)(lnx﹣x),
∴f′(x)=2x+f′
(2)( ﹣1);
∴f′
(1)=2×1+f′
(2)×(1﹣1)=2.
故选:
B.
点评:
本题考查了利用求导法则求函数的导函数问题,解题时应知f′
(2)是一个常数,根据求导法则进行
计算即可,是基础题.
13.(2014•上海二模)已知 f(x)=(2x+1)3﹣
+3a,若 f′(﹣1)=8,则 f(﹣1)=( )
A.
考点:
专题:
4 B. 5 C.
导数的加法与减法法则.
计算题.
﹣2D. ﹣3
分析:
先求出函数的导数,再把 x=﹣1 代入 f′(x)的解析式得到 f'(﹣1),再由 f'(﹣1)=8,求得 a 的
值,即可得到函数 f(x)的解析式,从而求得 f(﹣1)的值.
解答:
解:
已知
,
∴f′(x)=3(2x+1)2×2+
,
∵f'(﹣1)=8,
∴3×2+2a=8,故有 a=1,
∴=,
∴f(﹣1)=﹣1+2+3=4,
故选 A.
点评:
本题主要考查函数在某一点的导数的定义,求一个函数的导数的方法,属于基础题.
14.(2014•菏泽一模)已知函数 f(x)=x2﹣cosx,则 f(0.6),f(0),f(﹣0.5)的大小关系是()
A.f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6)B.f(0)<f(0.6)<f(﹣0.5)C. f (0.6)
<f(﹣0.5)<f(0) D.f(﹣0.5)<f(0)<f(0.6)
考点:
利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
专题:
导数的综合应用.
分析:
由 f(x)=x2﹣cosx 为偶函数,得 f(﹣0.5)=f(0.5),只须比较 f(0.6),f(0),f(﹣0.5)的大小
关系即可.
解答:
解:
∵f(﹣x)=(﹣x)2﹣cos(﹣x)=x2﹣cosx=f(x),
∴f(x)是偶函数;
∴f(﹣0.5)=f(0.5);
又∵f′(x)=2x+sinx,
当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数,
∴f(0)<f(0.5)<f(0.6);
即 f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6).
故选:
A.
点评:
本题考查了利用导数判定函数的单调性并比较函数值的大小问题,是基础题.
15.(2014•呼伦贝尔一模)若函数 f(x)= x3﹣ ax2+(a﹣1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)
为增函数,则实数 a 的取值范围是()
A.(﹣∞,2]B.[5,7]C. [4 ,6]D. (﹣∞,5]∪[7,+∞)
考点:
利用导数研究函数的单调性.
专题:
导数的综合应用.
分析:
求出原函数的导函数,求得导函数的零点 1,a﹣1,然后分 1 与 a﹣1 的大小分析导函数在不同区间
内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助于已知条件得到a﹣1 与 4 和 6 的关系,则答案可求.
解答:
解:
由函数 ,
得 f′(x)=x2﹣ax+a﹣1.
令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=a﹣1.
当 a﹣1≤1,即 a≤2 时,f′(x)在(1,+∞)上大于 0,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;
当 a﹣1>1,即 a>2 时,f′(x)在(﹣∞,1)上大于 0,函数 f(x)在(﹣∞,1)上为增函数,
f′(x)在(1,a﹣1)内小于 0,函数 f(x)在(1,a﹣1)内为减函数,f′(x)在(a﹣1,+∞)内大于 0,
函数 f(x)在(a﹣1,+∞)上为增函数.
依题意应有:
当 x∈(1,4)时,f′(x)<0,
当 x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
∴4≤a﹣1≤6,解得 5≤a≤7.
∴a 的取值范围是[5,7].
故选:
B.
点评:
本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,采用了逆向思维方法,
解答的关键是对端点值的取舍,是中档题.
16.(2014•福建模拟)函数 f(x)=﹣x3+3x2﹣4 的单调递增区间是()
A.(﹣∞,0)B.(﹣2,0) C. (0,2)
考点:
利用导数研究函数的单调性.
专题:
导数的概念及应用.
分析:
利用导数求解,由 f′(x)>0 得,0<x<2.
解答:
解:
∵f′(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2)
∴由 f′(x)>0 得,0<x<2.
∴f(x)的递增区间是(0,2).
故选 C.
点评:
本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法,属基础题.
17.(2014•佛山二模)已知函数 f(x)=x2﹣cosx,x∈R,则()
D. (2,+∞)
A.
>f
(1)>f(
f(
) D.
)>f
(1)>f(﹣
f(
)
)>f(﹣
B. f
(1)>f( )>f(﹣ ) C. (﹣ )
)>f
(1)
考点:
专题:
分析:
利用导数研究函数的单调性.
导数的概念及应用.
由 f(x)=x2﹣cosx 得,f(x)为偶函数且在(0,
)上是增函数,利用函数单调性及奇偶性的性
质得出结论.
解答:
解:
∵f′(x)=2x+sinx,
∴当 x∈(0,)时,f′(x)=2x+sinx>0,
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