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三年级下册奥数教材
第二学期
一、加减法中的巧算
同学们,你们一定希望自己在计算时算得又正确又迅速,方法上既合理又灵活,
那么怎样才能做到这些呢?
首先,要熟练地掌握计算法则和运算顺序;其次,要了解题目的特点,选用合理、
灵活的计算方法。
下面我们将重点学习巧算的方法。
(一)加法中的巧算。
1.加法交换律两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
一般的,有a+b=b+
a。
2.加法结合律三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数
相加,再同第一个数相加,它们的和不变。
一般的,有a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。
这里应注意:
如果推广到多个数相加,任意交换加数的位置,它们的和不变;或
者先把其中的几个数结合成一组相加,再把所得的和同其余的数相加,它们的和不变。
把加法的交换律和结合律联系起来使用,先把加在一起是整十、整百、整千、……的
加数加起来,然后再与其他加数相加,可进行巧算。
例1巧算下列各题:
(1)32+81+23+19+68;
(2)(24+37+15)+(16+45+13)。
解
(1)32+81+23+19+68
=(32+68)+(81+19)+23
=100+100+23
=223;
(2)(24+37+15)+(16+45+13)
=(24+16)+(37+13)+(15+45)
=40+50+60
=150
同学们在运用以上定律进行巧算时,有些题目乍看起来不具备巧算的条件,那怎
么办呢?
我们说办法还是有的!
这就是利用转化的思考方法,把其中的一个加数拆成
两部分,用一部分与另一个加数相加,再用和与另一部分相加。
如:
计算673+288。
673+288=661+12+288
=661+(12+288)
=661+300
=961
德国有一位世界著名的数学家叫高斯(公元1777年-1855年)。
他上小学的时候,
老师出了一个题目,1+2+…+99+100=?
小高斯看了看,又想了想,很快说出结果是
5050。
同学们,你们知道他是怎么算出来的吗?
原来小高斯在认真审题的基础上,根
据题目的特点,发现了这样的关系:
1+100=101,2+99=101,3+98=101,…,50
+51=101。
一共有多少个101呢?
100个数,每两个数是一对,共有50个101。
所以
1+2+3+…+98+99+100
=101×50
即(100+1)×(100÷2)=101×50=5050
像高斯的老师所出的题目那样,按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数
称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;……,最后一个数叫末
项。
如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等
差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如:
1,2,3,4,…是等差数列,公差为1;
2,4,6,8,…是等差数列,公差为2;
5,10,15,20,…是等差数列,公差为5。
由高斯的巧算可知:
1+2+3+…+98+99+100
=(1+100)×(100÷2)
即(1+100)×(100÷2),可得出这样的公式:
总和=(首项+末项)×\u39033X数÷2
这样,由于高斯发现了巧算的方法,所以他最先得出了正确的答案。
因此,同学
们要想算得正确、迅速,方法合理、灵活,不仅要掌握数与运算的定律、性质,而且
要善于观察,认真审题,注意发现题目的特点。
例2计算下列各题:
(1)2+4+6+…+96+98+100;
(2)2+5+8+…+23+26+29。
解
(1)这是一个公差为2的等差数列,首项是2,末项是100,项数为50。
所以
2+4+6+…+96+98+100
=(2+100)×50÷2
=102×50÷2
=5100÷2=2550;
(2)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数是10的等差数列。
所以
2+5+8+…+23+26+29
=(2+29)×10÷2
=31×10÷2
=310÷2=155。
(二)减法中的巧算。
1.减法的性质
(1)一个数减去几个数的和,等于从这个数里依次减去和中的每个加数。
一般的,有a-(b+c+d)=a-b-c-d
反之,一个数连续减去几个数,等于从这个数里减去这几个数的和。
一般的,有a-b-c-d=a-(b+c+d)
(2)一个数减去两个数的差,等于从这个数中减去差里的被减数(在能减的情况
下),再加上差里的减数;或者先加上差里的减数,再减去差里的被减数。
一般的,有a-(b-c)=a-b+c
或a-(b-c)=a+c-b
(3)几个数的和减去一个数,等于从任何一个加数里减去这个数(在能减的情况
下),再同其余的加数相加。
一般的,有(a+b+c)-d=(a-d)+b+c
=a+(b-d)+c
=a+b+(c-d)
为了帮助同学们记忆,我们可以简要地概括如下:
第一,在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,计算时可以带着符号
“搬家”。
一般的,有a-b-c=a-c-b
a-b+c=a+c-b
第二,在加、减混合运算中,如果括号的前面是“-”号,那么,去掉括号时,括
号内的减号变加号,加号变减号;如果括号的前面是“+”号,那么,去掉括号时,
括号内的符号不变,一般把这种做法叫做同级运算去括号的性质。
一般的,有a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c
a+(b+c)=a+b+c
a+(b-c)=a+b-c
例3巧算下列各题:
①5283+1396-283
②4325-1347-325
③4328-(328+497)
④8495-(495-287)
⑤1825+(175+348)
⑥576+(432-176)
⑦1242-396
⑧1243+998
分析:
①、②题可利用“带着符号搬家”的性质,使运算简便;③~⑥题可利用
“去括号”的性质,其中⑥题去括号后再带着符号“搬家”,这样可使运算简便;⑦、
⑧题可先把减数或加数“转化”成整十、整百、整千、……的数,再利用“去括号”
的性质进行运算。
解①5283+1396-283
=5283-283+1396
=5000+1396
=6396
③4328-(328+497)
=4328-328-497
=4000-497
=3503
②4325-1347-325
=4325-325-1347
=4000-1347
=2653
④8495-(495-287)
=8495-495+287
=8000+287
=8287
⑤1825+(175+348)
=1825+175+348
=2000+348
=2348
⑦1242-396
=1242-(400-4)
=1242-400+4
=842+4
=846
⑥576+(432-176)
=576+432-176
=576-176+432
=400+432
=832
⑧1243+998
=1243+(1000-2)
=1243+1000-2
=2243-2
=2241
这里应注意:
同级运算有“去括号”的性质。
反之,同级运算也可以“添括号”,
这样有时可使计算简便。
总之,通过改变运算顺序和利用运算性质,可使运算简便。
2.灵活应用所学知识进行巧算
例4计算4000-5-10-15-…-95-100。
分析:
通过观察可知,题目中的减数可以组成等差数列,所以,可先求这些减数
的和,再从被减数中减去这个和。
解4000-5-10-15-…-95-100
=4000-(5+10+15+…+95+100)
=4000-(5+100)×(20÷2)
=4000-105×10
=4000-1050
=2950
小结:
当一个数连续减去几个数,这些减数能组成等差数列时,可以先求这些减
数的和,再从被减数中减去这个和。
例5计算83+82+78+79+80+81+78+79+77+84。
分析:
当许多大小不同而又比较接近的数相加时,可选择其中一个数,最好是整
十、整百、整千、……的数作为计数的基础,这个数叫做基准数。
再把大于基准数的
加数写成基准数与某数的和,把小于基准数的加数写成基准数与某数的差的形式,最
后再利用加、减混合运算的性质进行简便计算。
本题的基准数选为80。
解83+82+78+79+80+81+78+79+77+84
=(80+3)+(80+2)+(80-2)+(80-1)+80+(80+1)
+(80-2)+(80-1)+(80-3)+(80+4)
=80×10+(3+2-2-1+1-2-1-3+4)
=800+(3+2+1+4)-(2+1+2+1+3)
=800+10-9=800+(10-9)
=01
小结:
当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时,可选择其中一个数,最好
是整十、整百、整千、……的数作为计数的基础,再找出每个加数与这个数(基准数)
的差。
大于基准数的作为加数,小于基准数的作为减数,把这些差累计起来。
再用基
准数乘以加数的个数,加上累计差,就是答案。
脱式计算时可简略如下:
原式=80×10+(3+2+1+4)-(2+1+2+1+3)
=800+10-9
=801
练习一
1.用简便方法计算下列各题:
①729+154+271
②7999+785+215
③8376+2538+7462+1624
④997+95+548
2.求和:
①3+4+5+…+99+100
②4+8+12+…+32+36
③65+63+61+…+5+3+1
3.用简便方法计算下列各题:
①516-56-44-16
②8216-6734+2734
③5723-(723-189)
④2356-(356+187)
⑤723-800+277
⑥576+(257-176)
⑦756+478-156
⑧526-189-126
4.用简便方法计算下列各题:
①958-596②1543+498
5.巧算下列各题:
①5000-2-4-6-…-98-100
②103+99+103+96+105+102+98+98+101+102
6.求下列数据的平均数:
199,202,195,201,196,201
二、乘除法中的巧算
在进行加法、减法、连加、连减或加减混合运算时,可利用加法的运算定律或连
减及加减混合运算的性质进行简便运算。
而乘、除法更有着一些巧妙的简便的运算方
法,下面就让我们来学习有关的运算定律及运算性质。
(一)乘法中的巧算。
1.乘法交换律两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
一般的,有a×b=b×a。
2.乘法结合律三个数相乘,可以把前两个数结合起来先乘,也可以把后两个数结合起
来先乘,积不变。
一般的,有a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
这里应注意:
如果推广到多个数相乘,我们可以选择两个因数相乘,得出较简单
的(整十、整百、整千、……)积,再将这个积与其他因数相乘;有时也可以把某个因
数再分解成两个因数,使其中一个因数与其他的乘数的积成为较简单的数,然后再与
其他的因数相乘,这样就可以进行巧算。
例1用简便方法计算下列各题:
(1)16×4×25;
(2)125×(17×8);
(3)125×28;(4)25×32×125。
分析与解
(1)题可将4和25结合起来先乘;
(2)题可将125和8结合起来先乘;(3)
题可把28变为4×7,再将125和4结合起来先乘;(4)题可先把32变为4×8,再把
25和4,125和8结合起来先乘。
(1)16×4×25
(2)125×(17×8)
=16×(4×25)=(125×8)×17
=16×100
=1600;
=1000×17
=17000;
(3)125×28(4)25×32×125
=(125×4)×7=(25×4)×(8×125)
=500×7
=3500;
=100×1000
=100000。
3.乘法分配律两个加数的和与一个数相乘,可以用每一个加数分别与这个数相乘,
再把所得的积相加。
一般的,有(a+b)×c=a×c+b×c。
这里应注意:
乘法的分配律可以进行推广,一般的,有(a-b)×c=a×c-b×c。
当
两个数相乘时,有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘;也可以把一
个因数变为两个数的差与另一个因数相乘,这样可使计算简便。
例2用简便方法计算下列各题:
(1)125×(10+8);
(2)(20-4)×25;
(3)4004×25;(4)125×798。
分析与解
(1)、
(2)题可直接运用乘法分配律及其推广;(3)题可先把4004变为(4000
+4),再运用分配律;(4)题可先把798变为(800-2),再运用分配律的推广。
(1)125×(10+8)
(2)(20-4)×25
=125×10+125×8=20×25-4×25
=1250+1000
=2250;
(3)4004×25
=(4000+4)×25
=500-100
=400;
(4)125×798
=125×(800-2)
=4000×25+4×25=125×800-125×2
=100000+100
=100100;
(二)除法中的巧算。
=100000-250
=99750。
1.商不变的性质:
被除数和除数同乘以或同除以一个数(零除外),它们的商不变。
一般的,有
a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)。
2.两个数的和(差)除以一个数,可以用这个数分别去除这两个数(在都能整除的情
况下),再求两个商的和(差)。
一般的,有(a+b)÷c=a÷c+b÷c;
(a-b)÷c=a÷c-b÷c。
这个性质也可以推广到多个数的和除以一个数的情况。
3.乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质:
(1)两个数的商除以一个数,等于商中的被除数先除以这个数,再除以原来商中的
除数。
一般的,有a÷b÷c=a÷c÷b。
(2)两个数的积除以一个数,等于用除数先去除积的任意一个因数,再与另一个因
数相乘。
一般的,有a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
以上这两条运算性质,说明在连除、乘除混合运算时,可以交换因数、除数的位
置,在交换位置时,也要连同运算符号一起“搬家”。
例3用简便方法计算下列各题:
(1)825÷25;
(2)47700÷900;
(3)(250+165)÷5;
(4)(702-213-414)÷3;
(5)525÷7÷5;
(6)128×5÷8。
分析与解
(1)、
(2)题可运用“商不变”的性质;
(2)、(3)题运用“两个数的和(差)
除以一个数”的除法运算性质;(5)、(6)题运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性
质。
(1)825÷25
=(825×4)÷(25×4)
=3300÷100
=33;
(3)(250+165)÷5
=250÷5+165÷5
=50+33
=83;
(5)525÷7÷5
=525÷5÷7
=105÷7
=15;
4.乘除混合运算去括号的性质:
(2)47700÷900
=(47700÷100)÷(900÷100)
=477÷9
=53;
(4)(702-213-414)÷3
=702÷3-213÷3-414÷3
=234-71-138
=25;
(6)128×5÷8
=128÷8×5
=16×5
=80。
(1)一个数除以两个数的积,等于这个数依次除以积的两个因数。
一般的,有a÷(b×c)=a÷b÷c。
(2)一个数乘以两个数的商,等于这个数乘以商中的被除数,再除以商中的除数。
一般的,有a×(b÷c)=a×b÷c。
(3)一个数除以两个数的商,等于这个数除以商中的被除数,再乘以商中的除数。
一般的,有a÷(b÷c)=a÷b×c。
上面的三个性质,使我们看出这样的规律:
乘除混合运算的算式中,如果括号前
是除号,去掉括号改变运算顺序时,要把括号内的除号变乘号,乘号变除号。
如果括
号前是乘号,则不需要改变括号内的运算符号。
反之,算式需要添括号改变运算顺序
时,规律也是如此。
需要注意的是:
我们在使用以上全部除法的运算性质时,必须具备的条件是——
商不能有余数。
如果商有余数,在使用这些运算性质时余数是会发生变化的。
如:
324÷(9×7)324÷(9×7)
=324÷63=324÷9÷7
=5……9=36÷7
=5……1
例4用简便方法计算下列各题:
(1)756÷(7×9);
(2)1260÷7÷9;
(3)720×12÷4;
(4)125×(8÷2);
(5)216÷24×6;
(6)875000÷(1000÷8)。
分析与解以上各题可根据乘除混合运算“去括号”或“添括号”的性质进行巧算。
(1)756÷(7×9)
=756÷7÷9
=108÷9
=12;
(3)720×12÷4
=720×(12÷4)
=720×3
=2160;
(2)1260÷7÷9
=1260÷(7×9)
=1260÷63
=20;
(4)125×(8÷2)
=125×8÷2
=1000÷2
=500;
(5)216÷24×6
=216÷(24÷6)
=216÷4
=54;
例5巧算下列各题:
(6)875000÷(1000÷8)
=875000÷1000×8
=875×8
=7000。
(1)1326÷39;
(2)248×68-17×248+248×48;
(3)520×125;
(4)999×99×9。
分析与解我们可以把
(1)、(3)、(4)题中的已知数适当分解或把已知数转化为整十、
整百、整千、……的数,然后运用有关运算性质,使计算简便。
第
(2)题可灵活运用乘
法分配律进行巧算。
(1)1326÷39
(2)248×68-17×248+248×48
=1326÷(13×3)=248×(68-17+48)
=1326÷13÷3
=102÷3
=248×99
=248×(100-1)
=34;
(3)520×125
=248×100-248
=24552;
(4)999×99×9
=520×(1000÷8)=(1000-1)×99×9
=520×1000÷8
=520÷8×1000
=65×1000
=65000;
=(99000-99)×9
=98901×(10-1)
=989010-98901
=890109。
通过例5可以使我们懂得:
有些算式当表面上看来不能进行简便运算时,可把已
知数适当分解或转化,从而使计算简便。
另外,在计算时无论题目是否要求简算,都
应尽量地使用简便方法,有时可反复使用有关的定律和性质。
(三)接近100的两位数相乘的速算。
例6计算98×91。
对于98×91,应如下速算:
(1)100-98=2……①差
(2)100-91=9……②差
98-9=89或91-2=89
2×9=182×9=18
∴98×91=8918∴98×91=8918
接近100的两位数相乘,用被乘数减去,100减乘数的差,所得的结果作积的前
两位;再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘,所得的结果作积的后两位。
或用乘数减去,100减被乘数的差,所得的结果作积的前两位;再用100减去被乘数
的差与100减去乘数的差相乘,所得的结果作积的后两位。
用这种方法计算,有两种特例需要注意:
特例1用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时,要在这个一位数前添0,
否则积变成三位数就错了。
如:
96×98速算为:
100-96=4……①差
100-98=2……②差
96-2=944×2=8
∴96×98=9408(注意8前添0)
特例2用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于100时,要将百位作为向前进
位的数,否则积变成五位数就错了。
如:
93×84速算为:
100-93=7……①差
100-84=16……②差
84-7=777×16=112
∴93×84=7812(注意百位上的1要向前进位)
练习二
1.简算下列各题:
①125×25×50×2×8×4
②568×123-45×568-568×53
③(10000-100
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