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初一上册数学

初一数学科总复习

第一章有理数

一、 知识要点

本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。

有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。

有理数的运算是全章的重点。

在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

基础知识：

1、正数（positionnumber）：

大于0的数叫做正数。

2、负数（negationnumber）：

在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数（rationalnumber）：

正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

5、数轴（numberaxis）：

通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：

（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

（3）选取适当的长度为单位长度。

6、相反数（oppositenumber）：

绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

7、绝对值（absolutevalue）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

由绝对值的定义可得：

|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

8、有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：

有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：

a+b=b+a。

加法结合律：

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：

（a+b）+c=a+（b+c）

9、有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。

表达式：

a-b=a+（-b）

10、有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.

乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：

ab=ba

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：

（ab）c=a（bc）

乘法分配律：

一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

表达式：

a（b+c）=ab+ac

11、倒数

1除以一个数（零除外）的商，叫做这个数的倒数。

如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

12、有理数除法法则：

两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

13、有理数的乘方：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。

an中，a叫做底数（basenumber），n叫做指数（exponent）。

根据有理数的乘法法则可以得出：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

14、有理数的混合运算顺序

（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

15、科学计数法：

把一个大于10的数表示成a﹡10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数（即0

16、近似数（approximatenumber）：

17、有理数可以写成m/n（m、n是整数，n≠0）的形式。

另一方面，形如m/n（m、n是整数，n≠0）的数都是有理数。

所以有理数可以用m/n（m、n是整数，n≠0）表示。

拓展知识：

1、  数集：

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

（1）所有有理数组成的数集叫做有理数集；

（2）所有的整数组成的数集叫做整数集。

2、  任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。

3、  根据绝对值的几何意义知道：

|a|≥0，即对任何有理数a，它的绝对值是非负数。

4、  比较两个有理数大小的方法有：

（1）根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

（2）根据规定进行比较：

两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；

（3）做差法：

a-b>0⇔a>b;

（4）做商法：

a/b>1，b>0⇔a>b.

二、基础训练

选择题

1、下列运算中正确的是（     ）.

　A.a2·a3=a6　　        B.

=2　C.|（3-π）|=－π－3　  D.32=-9

2、下列各判断句中错误的是（）

A.数轴上原点的位置可以任意选定

B.数轴上与原点的距离等于

个单位的点有两个

C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示

D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。

3、

、

是有理数，若

＞

且

，下列说法正确的是（）

A.

一定是正数B.

一定是负数

C.

一定是正数D.

一定是负数

4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（）

A.同为正数B.同为负数C.一个正数，一个负数D.0和一个负数

5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）

A.0B.-1C.+1D.不能确定

6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（）

A.1B.-1C.±1D.±1和0

7、如果|a|=-a，下列成立的是（）

A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0

8、（-2）11+（-2）10的值是（）

A.-2B.（-2）21C.0D.-210

9、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（    ）

　　　　A. 3瓶        B. 4瓶              C. 5瓶            D.  6瓶

10、在下列说法中，正确的个数是（）

⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数

⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数

⑷每个有理数都有相反数

A、1B、2C、3D、4

11、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（）

A、正数B、负数

C、整数D、不等于零的有理数

12、下列说法正确的是（）

A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；

B、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；

C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；

D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；

13、如果零上３℃记作＋３℃，那么零下３℃记作（　　　）

　　Ａ、—３　　　Ｂ、－６　　Ｃ、－３℃　　Ｄ、－６℃

14、若ａ与２互为相反数，则∣ａ＋２∣等于（　　　）

　　Ａ、０　　Ｂ、－２　　Ｃ、２　　Ｄ、４

填空题

1、在有理数-7，

，-（-1.43），

，0，

，-1.7321中，是整数的有_____________是负分数的有_______________。

2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度。

3、如果一个数是6位整数，用科学记数法表示它时，10的指数是_____；用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是___________.

4、实数a、b、c在数轴上的位置如图：

化简|a－b|+|b－c|-|c－a|.

5、绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________，其和为___________.

6、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则（a+b）3-3（cd）4=________.

7、1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________.

8、若（a-1）2+|b+2|=0，那么a+b=_____________________.

9、平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________.

10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是          ，用科学记数法表示302400，应记为            ,近似数3.0×

 精确到          位。

11、正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________

12、甲乙两数的和为-23.4，乙数为-8.1，甲比乙大

13、在数轴上表示两个数，的数总比的大。

（用“左边”“右边”填空）

14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。

15、温度由－５℃下降３℃后，结果可记为＿＿＿＿＿．

16、－1/3的相反数是_______，绝对值是_______,倒数是_______.

三、强化训练

1、计算：

1+2+3+…+2002+2003=__________.

2、已知：

若

（a,b均为整数）则a+b=

3、观察下列等式，你会发现什么规律：

，

，

，。

。

。

请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来

4、已知

，则

___________

5、已知

是整数，

是一个偶数，则a是（奇，偶）

6、已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。

7、在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？

请列出算式解答。

8、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/（a+b），求2*（-3）*4的值。

9、已知|x+1|=4，（y+2）2=4，求x+y的值。

10、投资股票是一种很重要的投资方式，但股市的风云变化又牵动了股民的心。

例：

某股民在上星期五买进某种股票500股，每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：

元）：

星期

一

二

三

四

五

每股涨跌

+4

+4.5

-1

-2.5

-6

（1）

（1） 星期三收盘时，每股是多少元？

（2）

（2） 本周内最高价是每股多少元？

最低价是多少元？

（3） 已知买进股票是付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费，如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？

（4） 以买进的股价为0点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。

第二章整式的加减总复习

【知识点定义】

1、单项式

对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．

2、系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

4、多项式

几个单项式的和叫做多项式．

5、多项式的项

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

－6是常数项．

6、常数项

多项式中，不含字母的项叫做常数项．

7、多项式的次数

多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

8、降幂排列

把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．

9、升幂排列

把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

10、整式

单项式和多项式统称整式。

11、同类项

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项．

12、合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项的法则是：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

13、去括号法则

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；

括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．

例：

a+（b-2c）-（e-2d）=a+b-2c-e+2d

14、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

　　添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．

　　例：

m+2x－y+z－5=m+（2x－y）－（－z+5）

15、整式的加减

整式加减的一般步骤：

　　1.如果遇到括号，按去括号法则先去括号；

　　2.合并同类项．

16、代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形．

第三章《一元一次方程》综合复习指导

【知识点归纳】

一、方程的有关概念

1.方程：

含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：

只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.例如：

1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

3．方程的解：

使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：

⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

    等式的性质

（1）：

等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.用式子形式表示为：

如果a=b，那么a±c=b±c

（2）等式的性质

（2）：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：

如果a=b，那么ac=bc;如果a=b（c≠0），那么

=

三、移项法则：

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

四、去括号法则

1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

五、解方程的一般步骤

1、去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）

2、去括号（按去括号法则和分配律）

3、移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）

4、合并（把方程化成ax=b（a≠0）形式）

5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=

）.

六、用方程思想解决实际问题的一般步骤

1、审：

审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．

2.、设：

设未知数（可分直接设法，间接设法）

3、列：

根据题意列方程．

4、解：

解出所列方程．

5、检：

检验所求的解是否符合题意．

6、答：

写出答案（有单位要注明答案）

七、有关常用应用类型题及各量之间的关系

1、和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2、等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

3、劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4、数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c.

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

5、工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

6、行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间.

（2）基本类型有

　　　　①相遇问题；

　　　　②追及问题；常见的还有：

相背而行；行船问题；环形跑道问题.

7、商品销售问题

有关关系式：

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

8、储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

【典型例题】

一、一元一次方程的有关概念

例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程.

分析与解：

这是一道开放性试题，答案不唯一.如

x=1，x-2=0等等.

【点拨】解答这类开放性问题时要敢于大胆猜想，然后利用一元一次方程的定义与解来完成.

二、一元一次方程的解

例2.若关于

的一元一次方程

的解是

则

的值是（）

A．

B．1C．

D．0

分析：

根据方程解的定义，一元一次方程的解能使方程左、右两边的值相等，把x=-1代入原方程得到一个关于k的一元一次方程，解这个方程即可得到k的值.

解：

把x=-1代入

中得，

-

=1，解得：

k=1.答案为B.

【点拨】根据方程解的概念，直接把方程的解代入即可.

三、一元一次方程的解法

例3.如果

那么

等于（）

（A）1814.55（B）1824.55（C）1774.45（D）1784.45

分析与解：

移项，得2005-200.5+20.05=x，解得：

x=1824.55.答案为A.

【点拨】由于一元一次方程的形式、结构多种多样，所以在解一元一次方程时除了要灵活运用解一元一次方程的步骤外，还要根据方程的特定结构运用适当的解题技巧，只有这样才能降低解题难度.

例4.

{

[

（x-1）-3]-3}=3

分析：

观察本题中各个系数的特点，可以选择由外到内去括号的方法，从而可以一次性去掉大括号和中括号，既简化了解题过程，又能避开一些常见解题错误的发生.

解：

去大括号，得[

（x-1）-3]-2=3

    去中括号，得

（x-1）-3-2=3

    去小括号，得

x-

-3-2=3

    移项，得

x=

+3+2+3

    合并，得

x=

    系数化为1，得：

x=17

四、一元一次方程的实际应用

例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：

同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？

请说明理由．

分析：

可以先设1个小餐厅可供

名学生就餐，这样的话，2个小餐厅就可供2y个学生就餐，因此大餐厅就可共（1680-2y）名学生就餐.然后在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2（1680-2y）+y=2280

解：

（1）设1个小餐厅可供

名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得

2（1680-2y）+y=2280

解得：

y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

答：

（略）．

（2）因为

，

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．

【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题，而第⑵问属于说理题，关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐，然后比较即可.

例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

分析：

根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，就可以列出一元一次方程.

解：

设该工艺品每件的进价是

元,标价是（45+x）元.依题意，得:

8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

解得：

x=155（元）

所以45+x=200（元）　

答：

（略）.

【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：

商品售价=商品标价×折扣率

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价

商品利润率=

×100%

例7.（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：

李小波：

阿姨，您好！

售货员：

同学，你好，想买点什么？

李小波：

我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.

售货员：

好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.

根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

分析：

这是一道情景对话问题，具有一定的新颖性.解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元，同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费（100-5）=95元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.

解：

设笔记本每本x元，则钢笔每支为（x+2）元，据题意得

　　10（x+2）+15x=100-5

　　解得，x=3（元）

所以x+2=5（元）

答：

（略）.

【点拨】在情景问题应用中，捕捉等量关系是关键.

第四章图形认识初步

【知识点归纳】

一、多姿多彩的图形

1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2.点、线、面、体

A．点：

线和线相交的地方。

B．线：

面和面相交的地方，线可分为直线、射线、线段

C．体：

正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体，几何体简称体。

D．面：

包围着体的是面，面可分为平的面、曲的面。

二、直线、射线、线段

1.两点确定一条直线

2.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，

这个公共点叫做它们的交点。

3.两点之间，线段最短。

4.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

三、角

1.有且只有一个角

2.把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记做1°﹔把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′﹔把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。

3.角的运算：

1周角=360°，1平角=180°,1°=60′,1′=60″

4.角的平分线：

A.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

B.角平分线上的一点到角的两边距离相等。

四、线段、射线和直线的联系与区别

联系：

线段、射线、直线是部分与整体的关系.线段向一方无限延长形成了射线,向两个方向无限延长得到了直线.直线上的两点和它们之间的部