直线的方程和两条直线的位置关系讲课教案.docx

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直线的方程和两条直线的位置关系讲课教案

直线的方程和两条直线的位置关系

【考纲要求】

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；

，了解斜截

4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）式与一次函数的关系；

5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一：

直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

一条直线I向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角（如图）

2.直线的斜率

直线I的倾斜角的正切值叫做此直线的斜率，记作ktan。

要点诠释：

当直线I与x轴垂直时，直线I的斜率不存在.

3.直线的倾斜角与斜率间的关系

（1）直线的倾斜角和斜率都是直线方向的数量表示.它们反映了直线关于x轴正向的倾斜程度

（2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并非每条直线都存在斜率

（3）当k0时，0;当k0时，（0,900）；当k0时，（900,1800）。

4•过两点直线的斜率

已知两点A（X1,yJ、B（X2,y2）的直线I

当X1X2，即I与x垂直时，直线I的斜率不存在；

当X1X2，即I与x不垂直时，直线I的斜率为：

k业―y1（冷X20）。

x2X-I

考点二：

直线的方程

1点斜式：

yyk（xX0）（斜率存在）

2、斜截式：

y

kx

b（斜率存在）

3、

两点式：

y

y1

xx

1（直线不平行于坐标轴）

y2

y1

x2x1

4、

截距式：

x

y

1（横纵截距存在且不为零）

a

b

5、

一般式：

Ax

By

C0（A、B不同时为零）

要点诠释：

前四种方程的应用是有限制条件的，用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失

误。

考点三：

两直线的位置关系

1•特殊情况下的两直线平行与垂直.

（1）当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

（2）当一条直线的斜率不存在（倾斜角为90°）,另一条直线的倾斜角为0°时，两直线互相垂直。

2•斜率都存在时两直线的平行：

（1）已知直线Irykixbi和12:

yk?

xb?

，则h//"ki=k2且bib?

（2）已知直线11:

A1xB1yC10和12:

A，xC20（A1B1C10,A2B2C20），则

要点诠释：

对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。

3.斜率都存在时两直线的垂直:

（1）已知直线11:

yKxd和12:

yk?

xb?

，贝y1112k1k21；

（2）已知直线11:

A1xB1yC10和12:

A,xB2yC20,则

1112A1A2B1B20.

4•两条直线是否相交的判断

AxB1yC1A2xB2yC2

0是否有唯一解。

0

两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组:

|Ax。

By。

C

.A2B2

5.点到直线距离公式:

点P（X。

，y。

）到直线1:

AxByC0的距离为：

d

6.两平行线间的距离公式

已知两条平行直线l1和|2的一般式方程为l1:

AxByC10,l2:

AxByC20,则l1与l2的

距离为d

CC2

.A2B2

要点诠释：

一般在其中一条直线11上随意地取一点M再求出点M到另一条直线12的距离即可。

考点四：

对称问题

1•点关于点成中心对称

点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

设P（x0,y0），对称中心为A（a,b），则P关于A的对称点为P（2ax0,2by0）。

2.点关于直线成轴对称

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。

利用“垂直”“平分”这两个条件建立方

程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：

y

y。

k1

、…x

设点P（x0,y。

）关于直线ykxb的对称点为P（x,y），则有

x

求出x、y°

yy。

k

x0x

b

2

2

特殊地，点P（x0,y0）关于直线xa的对称点为P（2ax0,y0）;点P（x0,y0）关于直线yb的对称

点为P（Xo,2byo）°

3•曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称

一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）

4•两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：

（1）点（x,y）关于x轴的对称点为（x,y）；

（2）点（x,y）关于y轴的对称点为（x,y）；

（3）点（x,y）关于原点的对称点为（x,y）；

（5）点（x,y）关于直线xy

0的对称点为（y,x）°

（4）点（x,y）关于直线xy0的对称点为（y,x）；

【典型例题】

类型一：

直线的倾斜角与斜率

0,—U

6

C.

所以

°,”

【解析】由直线XCOS320，

【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。

【举一反三】

__一1

【变式】已知动直线ykx2k1与直线I：

yx2的交点在第一象限，求k的取值范围。

2

k丄为所求.

62

类型二：

两直线的位置关系

例2•四边形ABCD的顶点为A（2,22J2）,B（2,2）,C（0,22“），D（4,2），试判断四边形ABCD的形状.

【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.

【解析】AB边所在直线的斜率kAB

CD边所在直线的斜率kcD

BC边所在直线的斜率kBC2,

DA边所在直线的斜率kDA2•

•••kABkcD,kBckDA，二AB//CD,BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.

例3.过点P（2,1）作直线I与x轴、y轴正半轴交于AB两点，求厶AOB面积的最小值及此时直线I的方程•

【思路点拨】因直线I已经过定点P（2,1），只缺斜率，可先设出直线I的点斜式方程，且易知k<0,

再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解•

令y=0,得：

x=

2k1

k

【解析】解法一：

设直线I的方程为:

y-1=k（x-2）,

令x=0,得y=1-2k,

•/I与x轴、y轴的交点均在正半轴上,

2k1

>0且1-2k>0

故k<0,

12k1111J1

△AOB的面积S（12k）（4k4）2.'（4k）44

2k2k2Yk

11

当且仅当-4k=-，即k=-时，

k2

S取最小值4,

1

故所求方程为y-1=-（x-2），即：

x+2y-4=0.

2

解法二：

设直线方程为-1,

ab

•A（a,0）,B（0,b），且a>0,b>0,

•/点P（2,1）在直线|上，故-11，由均值不等式：

1=-12.2得ab8,当且仅当

abab\ab

1,即:

x+2y-4=0.

11，即a=4,b=2时取等号，且S=1ab=4,此时l方程为—丄

b2242

解法三：

如图，过P（2,1）作x轴与y轴的垂线PMPN

垂足分别为MN,设=/PAMMBPN则厶AOB面积

S=S矩形OMF+SaPAI+SaBPN

1fT

=21cot2tan22、'、cot2tan

2•2

11

=4,当且仅当一cot2tan,即tan时，Saaob

22

1

有最小值4，故此时直线I的方程为y-仁-（x-2），即:

x+2y-4=0.

2

【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结

合的思想，体现了解题的“灵活性”.已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直

线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在

坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

【举一反三】

【变式1】求通过点（1,-2），且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线;

【答案】由题设，设所求直线方程为x11，由已知条件得

|a||b|

ab

解之得：

a1或a3

b1b3

故所求直线方程为：

x+y+仁0或x-y-3=0.

【变式2】直线l过点P（1,4），且在两轴上的截距之和为零，求I的方程。

【答案】

（1）若直线1过原点，设直线

I:

y

kx,

因为直线I过点P（1,4），代入上式得

41

k，解得k4

所以直线I的方程为；y4x.

（2）若直线

I在两轴上截距不为零,

设

I的方程为：

xy1

aa

将P（1,4）

1

代入上式得：

'-

4

1，解得

a

5,

a

a

•xy

1，即xy50,

55

由

（1）、

（2）

知：

直线1的方程为

y

4x或x

y

50.

类型三：

对称问题

例4.求直线a:

2xy40关于直线l:

3x4y10对称的直线b的方程。

【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。

2.由平面几何知识可知，若a与b关于I对称，则应具有下列几何性质：

（1）若点A在直线a上，则A点关于I的对称点B一定在直线b上，即I为线段AB的垂直平分线

（ABl,AB的中点在|上）；

（3）若a与b相交，则I过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案。

0上取一点A（2,0），设A点于l的对称点B（x0,y0）,

a//l，贝Ub//l//a，

【解析】方法一:

在直线

x°2

2

y。

0

a:

2xy

4y^_0

2

0

48

，解得B（4,-）,

55

X。

由2x

3x

y

4y

0

，解得交点D（3,2）。

0

b的方程：

2x11y16

1

由两点式可求得直线

方法二：

设P（x,y）是所求直线b上任一点；设P关于

0。

l的对称点P（x,y）,

xx',yy'

3410

则有：

22，解得

yy'4

xx'3

•/P（x,y）在直线a:

2xy40上，

7x24y6

25

24x7y8

25

7x24y6

25

24x7y8

25

0,整理得2x11y16