1991年高考数学 理工农医类全国卷 真题.docx

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1991年高考数学理工农医类全国卷真题

1991年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）

一、选择题:

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.

（）

（2）焦点在（-1,0）,顶点在（1,0）的抛物线方程是（）

（A）y2=8（x+1）（B）y2=-8（x+1）（C）y2=8（x-1）（D）y2=-8（x-1）

（3）函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是（）

（4）如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有（）

（A）12对（B）24对（C）36对（D）48对

（）

（6）如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相

等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的（）

（A）垂心（B）重心（C）外心（D）内心

（7）已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于（）

（A）5（B）10（C）15（D）20

（）

（A）（0,0）,（6,π）（B）（-3,0）,（3,0）

（C）（0,0）,（3,0）（D）（0,0）,（6,0）

（9）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有（）

（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种

（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（11）设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么（）

（A）丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件

（B）丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

（C）丙是甲的充要条件

（D）丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

（13）如果奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f（x）在区间[-7,-3]上是（）

（A）增函数且最小值为－5（B）增函数且最大值为－5

（C）减函数且最小值为－5（D）减函数且最大值为－5

（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（15）设全集为R,f（x）=sinx,g（x）=cosx,M={x│f（x）≠0},N={x│g（x）≠0},那么集合{x│f（x）g（x）=0}等于（）

二、填空题:

把答案填在题中横线上.

（18）已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是

45°,那么这个正三棱台的体积等于.

（19）在（ax+1）7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数

a>1,那么a=.

（20）在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是.

三、解答题.

（21）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

（23）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.

（24）根据函数单调性的定义,证明函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是减函数.

（25）已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式

1991年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）参考答案

一、选择题:

（1）A

（2）D（3）B（4）B（5）A（6）D（7）A（8）D（9）C（10）C

（11）A（12）C（13）B（14）C（15）D

二、填空题:

三、解答题：

（21）

解:

y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+（1+cos2x）

=2+sin2x+cos2x

（22）

（23）

解:

如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC,

∴EF⊥HC.

∵GC⊥平面ABCD,

∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG.

∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

注:

未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.

（24）

证法一:

在（-∞,+∞）上任取x1,x2,且x1

∵x1

∴x1-x2<0.

所以,函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是减函数.

证法二:

在（-∞,+∞）上任取x1,x2,且x1

∵x1

∴x1-x2<0.

∵x1,x2不同时为零,

即f（x2）

所以,函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是减函数.

（25）

解:

利用对数换底公式,原不等式左端化为

因为a>1,②式等价于

logax

因为a>1,②式等价于

（26）本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.

依题意知,点P,Q的坐标满足方程组

将②式代入①式,整理得

（5b2-3a2）x2+6a2cx-（3a2c2+5a2b2）=0.③

根据根与系数的关系,有

整理得3c（x1+x2）-8x1x2-3c2=0.⑥

将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得

3a4+8a2b2-3b4=0,

（a2+3b2）（3a2-b2）=0.

因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2,

整理得（x1+x2）2-4x1x2-10=0.⑦

将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.

将a2=1代入b2=3a2得b2=3.

解法二:

④式以上同解法一.

将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,

即（a2+3b2）（3a2-b2）=0.

因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.

即（x2-x1）2=10.⑥

将④式代入⑥式并整理得

（5b2-3a2）2-16a2b4=0.

将b2=3a2代入上式,得a2=1,

将a2=1代入b2=3a2得b2=3.

故所求双曲线方程为