全国各地高考数学分类汇编9数列.docx
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全国各地高考数学分类汇编9数列
2017年全国各地高考数学分类汇编9-数列
一、选择题(共5小题;共25分)
1.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列,,,,,,,,,,,,,,,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数:
且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.B.C.D.
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍,则塔的顶层共有灯
A.盏B.盏C.盏D.盏
3.等差数列的首项为,公差不为,若,,成等比数列,则前项的和为
A.B.C.D.
4.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为
A.B.C.D.
5.已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题(共4小题;共20分)
6.等比数列的各项均为实数,其前项为,已知,,则 .
7.设等比数列满足,,则 .
8.等差数列的前项和为,,,则 .
9.若等差数列和等比数列满足,,则 .
三、解答题(共11小题;共143分)
10.已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
11.已知是各项均为正数的等比数列,且,.
(1)求数列通项公式;
(2)为各项非零的等差数列,其前项和为,已知,求数列的前项和.
12.已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
13.已知等差数列和等比数列满足,,.
(1)求的通项公式;
(2)求和:
.
14.已知是各项均为正数的等比数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系中,依次连接点,得到折线,求由该折线与直线,,所围成的区域的面积.
15.对于给定的正整数,若数列满足:
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:
等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”又是“数列”证明:
是等差数列.
16.设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
17.记为等比数列的前项和.已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并判断,,是否能成等差数列.
18.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,,,.
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求.
19.设和是两个等差数列,记,其中表示,,,这个数中最大的数.
(1)若,,求,,的值,并证明是等差数列;
(2)证明:
或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得,,,是等差数列.
20.已知数列满足:
,,证明:
当时,
(1);
(2);
(3).
答案
第一部分
1.A【解析】设该数列为,设,则,
由题意可设数列的前项和为,数列的前项和为,则.
可知当为时,数列的前项和为数列的前项和,即为.
容易得到时,,
A项,由,,可知,故A项符合题意.
B项,仿上可知,可知,显然不为的整数幂,故B项不符合题意.
C项,仿上可知,可知,显然不为的整数幂,故C项不符合题意.
D项,仿上可知,可知,显然不为的整数幂,故D项不符合题意.
方法二:
由题意可知:
,,,,,
根据等比数列前项和公式,求得每项和分别为:
,,,,,
每项含有的项数为:
,,,,,
总共的项数为,
所有项数的和为
由题意可知:
为的整数幂.只需将消去即可,
则①,解得:
,总共有,不满足,
②,解得:
,总共有,不满足,
③,解得:
,总共有,不满足,
④,解得:
,总共有,满足.
所以该款软件的激活码为.
2.B3.A【解析】因为等差数列的首项为,公差不为.
,,成等比数列,
所以,
所以,且,,
解得,
所以前项的和为.
4.C5.C
第二部分
6.
7.
8.
【解析】等差数列的前项和为,,,,
可得,数列的首项为,公差为,
,,
则
9.
第三部分
10.
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由已知,得,而,
所以.
又因为,解得.
所以,.
由,可得
由,可得
联立,解得,,由此可得.
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(2)设数列的前项和为,
由,,有,
故,
,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
11.
(1)记正项等比数列的公比为,
因为,,
所以,,解得:
,
所以;
(2)因为为各项非零的等差数列,
所以,
又因为,
所以,
所以,,两式相减得:
,即,即
12.
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由已知,得,而,
所以.
又因为,解得.
所以,.
由,可得.
由,可得,联立①②,解得,,由此可得.
所以,的通项公式为,的通项公式为.
(2)设数列的前项和为,由,有,,上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
13.
(1)等差数列,,,
可得:
,解得,
所以的通项公式:
.
(2)由(Ⅰ)可得,
等比数列满足,,
可得(等比数列奇数项符号相同),
所以,是等比数列,公比为,首项为,
.
14.
(1)设数列的公比为,则,
由题意得
两式相比得:
,解得或(舍),
所以,
所以.
(2)过,,,,向轴作垂线,垂足为,,,,,
即梯形的面积为,
则,
所以
所以
得:
所以.
15.
(1)设等差数列首项为,公差为,则,
则
所以等差数列是“数列”.
(2)由数列是“数列”则当时,
数列是“数列”当时,
由可知:
由,
整理得:
,其中,
所以,,,是等差数列,设其公差为,
在中,取,则,所以,
在中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
16.
(1)数列满足.
时,.
以上两式相减,得
所以.
所以.
当时,,上式也成立.
所以.
(2)由()得.
所以数列的前项和
17.
(1)设等比数列首项为,公比为,
则,则,,
由,,整理得:
,解得:
,
则,,
所以的通项公式;
(2)由()可知:
,
则,,
即,
所以,,成等差数列.
18.
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,,,,,
可得,,
解得,或,(舍去),
则的通项公式为;
(2),,
可得,
解得,
当时,,,,;
当时,,,,.
19.
(1),,,,,,
当时,,
当时,,
当时,,
下面证明:
对,且,都有,
当,且时,
则
由,且,
则,则,
因此,对,且,,,
又,
所以对均成立,
所以数列是等差数列.
(2)设数列和的公差分别为,,下面考虑的取值,
由,,,,
考虑其中任意(,且),
则
下面分,,三种情况进行讨论,
①若,则,
当若,则,
则对于给定的正整数而言,,此时,
所以数列是等差数列;
当,,
则对于给定的正整数而言,,
此时,
所以数列是等差数列;
此时取,则,,,是等差数列,命题成立;
②若,则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数,
故必存在,使得时,,
则当时,
因此当时,,
此时,故数列从第项开始为等差数列,命题成立;
③若,此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数,
故必存在,使得时,,
则当时,
因此,当时,,
此时
令,,,
下面证明:
对任意正整数,存在正整数,使得,,
若,取,表示不大于的最大整数,
当时,
此时命题成立;
若,取,
当时,
此时命题成立,
因此对任意正数,存在正整数,使得当时,;
综合以上三种情况,命题得证.
20.
(1)用数学归纳法证明:
,当时,,成立,
假设当时成立,则,那么时,若,则,矛盾,故,因此,
所以,因此.
(2)由得,
记函数,,
所以,
所以在上单调递增,
所以,
因此,
故.
(3)因为,
所以,
由得,
所以,
所以,
综上所述.
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