全等三角形难题集锦超级好0111091236.docx
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全等三角形难题集锦超级好0111091236
1.如图,已知等边厶ABCP在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M连接AM,求证:
(1)BP=CE
(2)试证明:
EM-PM=AM.
2、点C为线段
(1)AN=MB.
然成立?
(3)
AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E,BM,CN
将厶ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条件不变,
AN
与BM相交所夹锐角是否发生变化。
交于点F。
求证:
中的结论是否依
(1)
B
D在一条直
5•已知,如图①所示,
△ABC和厶ADE中,ABAC,ADAE,BACDAE,且点B,
线上,连接BE,CD,
M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
①BE
CD:
②AMan;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写
出
(1)中的两个结论是否仍然成立
D
图①
A
图②
E
A
D
G
B
F
10•已知:
如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG//BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,
使DEDB,连接AE,CD.
(1)求证:
△AGE=△DAC;
(2)过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.
11、如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断△ABC与厶AEG面积之间的关系,并说明理由.巳..
C
(图1)
9如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDEAD与BE交于点0,
AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论:
1AD=BE;
2PQ//AE
3AP=BQ
4DE=DP
5/AOB=60.
恒成立的结论有
B
(把你认为正确的序号都填上)
如图所示,已知△ABC和厶BDE都是等边三角形,且A、B、D三点共线.下列结论:
①AE=CD:
②BF=BG:
③HB
平分/AHD;④/AHC=60。
,⑤△BFG是等边三角形;⑥
A.3个B.4个C.5个D.6个
FG//AD.其中正确的有(
)
1、在厶ABC中,ABBC2,ABC120°,将厶ABC绕
点B顺时针旋转角
(0°90°)得厶ABCi,AiB交AC于点E,AG分别交AC、BC于D、F两点.如图1,观察并猜想,在
旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
2.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,/ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
/ADC=ZBDE.
3.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边
经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F
⑴如图14—1,当点E在AB边的中点位置时:
1通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
3请证明你的上述两猜想•
⑵如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
S14-1
S14-2
已知Rt△ABC中,ACBC,ZC90,D为AB边的中点,EDF90°
EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
1
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1),易证SADEFSACEF-SAABC.
2
当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,
请给予证明;
若不成立,SAdef、Sacef、SAABC又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
F图1
图2
F
2.等边△ABC,DABC外一点,/BDC=120°,BD=DC./MDN=60。
射线DM与直线AB相交
于点M,射线DN与直线AC相交于点N,
1当点MN在边ABAC上,且DM=DN^,直接写出BMNGMN之间的数量关系.
2当点MN在边ABAC上,且D昨DN时,猜想①中的结论还成立吗?
若成立,请证明.
3当点MN在边ABCA的延长线上时,请画出图形,并写出BMNCMN之间的数量关系.
3、如图4,在厶ABC中,BD=CD/ABD=ZACD,求证AD平分/BAC.
成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
M
P
F
图②
10、如图在△ABC中,AB>AC,/1=Z2,P为AD上任意一点,求证
;AB-AC>PB-PC
A
1
2
P
D
8如图①,0P是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作
全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,/ACB是直角,/B=60°,AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(1)中所得结论是否仍然
(2)如图③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而⑴中的其它条件不变,请问,你在
12、(2009年赤峰市)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,
BF是/ABC的平分线,AF//DC,连接AC、CF,求证:
CA是/DCF的平分线。
1、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.AEF90°,且EF交
正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AMEECF,
所以AEEF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C夕卜)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然
成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
图1图2图3
/C=40,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+A
4.问题背景,如下命题:
1如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角/ACK的平分线若/ANM=60,则AN=NM
2如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正方形外角/DCK的平分线,若/ANM=90,则AN=NM
3如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角/DCK的平分线若/ANM=10°则
AN=NM
任务要求:
图2
⑴请你证明以上三个命题;
⑵请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n》3边形ABCDEF-中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角/DCK的平分线,问当/ANM等于多少度时,结论AN=NM成立(不要求证明).
②如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为/DCN的平分线,若/ANM=/ABC,请问AN=NM是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由•
5.
(1)如图,已知在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN丄DM且交/CBE的平分线于N.试判定线段MD与MN的大小关系;
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任意一点”,其余条件不变.试问
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
1..如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,/B=/C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与厶CQP是否全等,请说明理由;
2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使厶BPD与厶CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,
则经过后,点P与点Q第一次在厶ABC的
边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
2.已知:
在△ABC中,/ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角厶ADE,解答下列各题:
如果AB=AC,/BAC=90°.
(i)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段BD,CE之间的位置关系为(ii)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i)中的结论是否还成立?
为什么?
3.(2012?
内江)已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使/DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF:
②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?
若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.
2.(08河北中考第24题)如图14-1,在厶ABC中,BC边在直线I上,AC丄BC,且AC=BC.AEFP的边FP也在直线I上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将厶EFP沿直线I向左平移到图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将厶EFP沿直线I向左平移到图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
3.(2006年辽宁沈阳25题).如图1,在正方形ABC[中,点E、F分别为边BCCD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:
①AF=DE②AF丄DE.(不需要证明)
(1)如图2,若点E、F不是正方形ABCD勺边BCCD的中点,但满足CE=DF则上面的结论①、②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”)
⑵如图3,若点E、F分别在正方形ABCD勺边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF此时上面的结论①、②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由
图龙
4.如图1,A、E、F、C在同一条直线上,AE=CF过E、F分别作DELAC,BF丄AC,若AB=CD试说明BD平分EF;若将
△DEC!
的边EC沿AC方向移动变为图2时,其余条件不变,BD是否还平分EF,请说明理由。
6.如图,两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起,/DEANACB=90,/DAE=/ABC=30,
E、A、C三点在一条直线上,连接BD取BD中点M连接MEMC试判断△EMC的形状,并说明理由.
7.已知BE,CF是厶ABC的高,且
BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
8.在Rt△ABC中,AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中点,DG丄AC交AB于点G.
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H.
1求证:
DG=DC
2判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上,
(1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。
在你所
画图形中找出一对全等三角形,并判断你在
(1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明)
30、如图,AD//BC,AD=BCAELAD,AF丄AB,且AE=ADAF=AB求证:
AC=EF
1•直线CD经过BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且BECCFA
(1)若直线CD经过BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若BCA90°,90°,则EFBEAF(填“”,“”或“”号);
②如图2,若0°BCA180°,若使①中的结论仍然成立,则
与BCA应满足的关系是
(2)如图3,若直线CD经过BCA的外部,证明.
BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予
图1
图2
图3
3•操作:
如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角/BDC=120°的等腰三角形,以两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.
D为顶点作一个60°角,角的
探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
4.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且/DAE2FAE求证:
AF=AD-CF
5.如图所示,已知△ABC中,AB=ACD是CB延长线上一点,/ADB=60,E是AD上一点,且DE=DB求证:
AC=BE+BC
旋转
4.(2008河南).(9分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:
“如图①,已知在厶ABC中,AB=AC
P是厶ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ使/QAP/BAC连接BQCP贝UBQCP”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了厶ABQ^^ACP从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰
三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BOCP仍然成立,请你就图②给出证明.
5.(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和厶DEF•且
△ABC△DEF。
将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与
DF相交于点O.
①当△DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,AFD与DCA的数量关系是
(1)
②当△DEF继续旋转至如图③位置时,
图③
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,
F为CD上的一点,BE+DF=EF求/EAF的度数.
例2D为等腰
(1)
RtABC斜边ab的中点,
当
(2)
DMLDN,DM,DN分别交
MDN绕点D转动时,求证
DEC啲面积。
若AB=2,求四边形
•••/CDEhADF
在厶DCE^HAADF中,
/DCE=/DAFDC=DAZCDE艺ADF
/•△DCE^AADF,
/•DE=DF
(2):
上DCE^AADF,
/•SADCE=S\ADF,
四边形DECF的面积=SAACD
而AB=2,
DE=DF
(图1)
即对应角相等,对应线段相等,
/•CD=DA=1
四边形DECF的面积=SAACD=12CD?
DA=12.点评:
本题考查了旋转的性质:
旋转前后两图形全等,I对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角•也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.
中的结论还成立吗?
A0与DO存在怎样的数量关系?
请说明理由.
1、已知四边形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,/ABC120°,/MBN60°,/MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
当/MBN绕B点旋转到AECF时(如图1),易证AECFEF.
当/MBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段
AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
解:
匡山一2曲立・Sin-3^成立,
iff眄匿L07・如图】
世规匚至盘,m-AK,蛙实过,
則△占血3厶£6:
?
BE=£K.Q&ff=ZOC■
弋4胚土dZ2JC=12(Tt口百U*SEEmET
..Z?
J£C+Z££C=tO,,.^^=Z^A=60*,
.■-AOF^^SBP>:
.昨H:
一KC+CF=EF*
?
PA£+C^=£F-塾0-环或
AE,CFt朋的去帝帑血亠UF二E押.
国10-<
2、(西城09年一模)已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD使P、D两点落在直线AB的两侧.
⑴如图,当/APB=45时,求AB及PD的长;
(2)当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/APB的大小.
3、在等边
ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点
M、N,D为VABC外一点,且
MDN
60,BDC120,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、
NC、MN之间的数量关系及
AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
图2图3
(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN
时,BM、NC、MN之间的数量关系是
此时—
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM
DN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=X,_则Q=(用X、L表示).
例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和厶ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱
形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你
的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,
图13—2
F时(如图13—2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
考点:
菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;旋转的性质•分析:
(1)利用全等三角形的判定
得出△ABEACF即可得出答案;
(2)根据已知可以得出/BAE=/CAF,进而求出△ABE◎△ACF即可;
(3)利用四边形AECF的面积S=SAAEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可.解答:
解:
(1)得出结论是:
BE=CF,
证明:
•••/BAC=/EAF=60°,
•••/BAC-/EAC=/EAF-/EAC,即:
/BAE=/CAF,
又•••AB=AC,/ABE=/ACF=60°,
•
图13—1
/BAE=/CAFAB=AC/ABE=/ACF
•△ABE◎△ACF(ASA),
•BE=CF,
(2)还成立,
证明:
•••/BAC=/EAF=60°,
•/BAC+/EAC=/EAF+/EAC,
即/BAE=/CAF,
又•••AB=AC,/ABE=/ACF=60°,
即/BAE=/CAFAB=AC/ABE=/ACF
•△ABE◎△ACF(ASA),
•BE=CF,
(3)证明:
•••△ABEACF,
•SAABE=S△ACF,
•四边形AECF的面积S=SAAEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC;
而SAABC=12S菱形ABCD,
•S=12S菱形ABCD•点评:
此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积,熟练利用全等三角形判定求出是解题关键.
解:
(1)BE=CF.
证明:
在厶ABE和厶ACF中,I/BAE+/EAC=ZCAF+/EAC=60°,
•/BAE=/CAF.
•/AB=AC,/B=/ACF=60°,•△ABE◎△ACF(ASA).
•BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明厶ABE和厶ACF
旋转型
2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,
连结DC
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DCLBE
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形•
专题:
证明题.图1图2
分析:
(1)此题根据厶ABC与厶AED均为等腰直角三角形,容易得到全等条件证明△ABEACD;
(2)根据
(1)的结论和已知条件可以证明DC丄BE.
解答:
证明:
(1):
△ABC与厶AED均为等腰直角三角形,
/•AB=AC,AE=AD,/BAC=/EAD=90.
/•ZBAC+/CAE=/EAD+/CAE.
即/BAE=ZCAD,
在厶ABE与厶ACD中,
AB=AC
Z
BAE=
ZCAD
AE=AD
/•△ABEACD.
(2):
△ABEACD,
/ZACD=ZABE=45.
又:
ZACB=45,
/ZBCD=ZACB+ZACD=90.
•/DC丄BE.
点评:
此题是一个实际应用问题,利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题,关键是理解题意,得到所需要的已知条件.
OAB和等边三角形
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